1、1第 9级上 优秀 A 版教师版 第 14 讲 漫画释义漫画释义 四年级春季 操作类智巧趣题 五年级暑假 棋盘中的数学 五年级暑假 必胜策略 五年级秋季 神奇的 9 五年级春季 从反面情况考虑 拿火柴（包括质数类） ，石子，划方格等游戏中的必胜策略； 对称思想 知识站牌知识站牌 第十四讲第十四讲 必胜策略必胜策略 2第 9级上优秀 A 版教师版 我国古代有一个“田忌赛马”的故事；齐王经常要求将军田忌和他赛马.规定各从自己的马中选 上等马、中等马、下等马各一匹，进行三场比赛，每场各出一匹马.每胜一场可得一千金.田忌的这三 个等级的马都不如齐王的好.但田忌的上等马要优于齐王的中等马，田忌的中等马要
2、优于齐王的下等 马.田忌的朋友孙膑给他出了一个主意，叫田忌用下等马对齐王的上等马，上等马对齐王的中等马， 中等马对齐王的下等马.结果，田忌先负一场然后连胜两场，反而赢了一千金.这个故事是对策的一个 典型例子.他告诉我们：在竞争时，要认真分析研究、寻求并制定尽可能好的方案.利用它取得尽可能 大的胜利，或在胜利无望的时候，也不至于输得太惨.这种思想在 20 世纪形成了对策论这门新兴学 科.下面我们就研究下游戏中的必胜策略. 1.掌握对策问题寻找胜局的方法掌握对策问题寻找胜局的方法； 2.利用数论的知识解决相关的对策问题利用数论的知识解决相关的对策问题 小学数学中的对策问题小学数学中的对策问题，主要
3、是研究在两人的游戏过程中如何使自己取胜的策略问题主要是研究在两人的游戏过程中如何使自己取胜的策略问题对策问对策问 题研究的是一个题研究的是一个“ 活的活的” 对手对手，因而在考虑问题时往往需要设想对手可能采取的各种方案因而在考虑问题时往往需要设想对手可能采取的各种方案，并使己方并使己方 的策略能在对手所采取的各种可能的方案中都占据有利的局面的策略能在对手所采取的各种可能的方案中都占据有利的局面这种局面称作这种局面称作“ 胜局胜局” ，那么在一种那么在一种 游戏规则下游戏规则下，是否存在是否存在“ 胜局胜局” ？怎样找寻胜局和如何把握胜局就成了研究对策问题的关键怎样找寻胜局和如何把握胜局就成了研
4、究对策问题的关键概括起概括起 来来，我们把用数学的观点和方法来研究取胜的策略叫做对策问题我们把用数学的观点和方法来研究取胜的策略叫做对策问题 对策问题的对策问题的 3个最基本要素个最基本要素： 局中人局中人，在一场竞赛或争斗中的参与者在一场竞赛或争斗中的参与者他们为了在对策中取得最终胜利他们为了在对策中取得最终胜利，必须制定出对付必须制定出对付 对手的行动计划对手的行动计划，这种有决策权的参加者称为局中人这种有决策权的参加者称为局中人局中人并不是特指某一个人局中人并不是特指某一个人，而是指参加竞而是指参加竞 争的各个阵营争的各个阵营只有两个局中人的对策问题为只有两个局中人的对策问题为“双人对策
5、双人对策”，而多于两个局中人的对策问题为而多于两个局中人的对策问题为“多人对多人对 策策” 策略策略，是指某一局中人的一个是指某一局中人的一个“自始至终通盘筹划自始至终通盘筹划”的可行方案的可行方案，在一局对策中在一局对策中，各个局中人各个局中人 可以有一个策略可以有一个策略，也可以有多个策略也可以有多个策略 一局对策的得失一局对策的得失在一局对策中在一局对策中，必有胜利者和失败者必有胜利者和失败者比赛成绩的好坏比赛成绩的好坏，我们称之为我们称之为“得得 失失”每个局中人在一局对策中的得失与全体局中人所采取的策略的优劣有着直接的关系每个局中人在一局对策中的得失与全体局中人所采取的策略的优劣有着
6、直接的关系 经典精讲经典精讲 教学目标教学目标 课堂引入课堂引入 3第 9级上 优秀 A 版教师版 第 14 讲 模块模块 1： 例例 1- 3：奇偶性奇偶性 模块模块 2： 例例 4- 5：数论数论 桌子上放着桌子上放着 55 根火柴根火柴，巍巍巍巍、涛涛二人轮流取涛涛二人轮流取，每次可取走每次可取走 1 根根、3根或根或 5 根根，规定谁取走最后一规定谁取走最后一 根火柴谁获胜根火柴谁获胜如果双方都采用最佳方法如果双方都采用最佳方法，巍巍先取巍巍先取，那么谁将获胜那么谁将获胜？ (学案对应学案对应：学案学案 1) 【分析分析】法 1：抓不变量，巍巍每次都能保证二人每轮都拿走 6 根，于是
7、556=9 1，所以先去 1 根，接下来对方取 a 根，巍巍就取6- a 根即可； 法 2（重点） ：奇偶性，显然，每次只能取走奇数根，55 只能是奇数个奇数的和，于是巍巍 胜. 想想练练想想练练：桌子上放着桌子上放着 60 根火柴根火柴，甲甲、乙二人轮流每次取走乙二人轮流每次取走1 3根根规定谁取走最后一根火柴谁规定谁取走最后一根火柴谁 获胜获胜如果双方都采用最佳方法如果双方都采用最佳方法，甲先取甲先取，那么谁将获胜那么谁将获胜？ 【分析分析】乙胜，和对方凑4 桌子上放着桌子上放着 55 根火柴根火柴，巍巍巍巍、涛涛二人轮流取涛涛二人轮流取，每次可取走每次可取走 1 根根、3根或根或 7 根
8、根，规定谁取走最后一规定谁取走最后一 根火柴谁获胜根火柴谁获胜如果双方都采用最佳方法如果双方都采用最佳方法，巍巍先取巍巍先取，那么谁将获胜那么谁将获胜？ 【分析分析】显然，每次只能取走奇数根，55 只能是奇数个奇数的和，于是巍巍胜. 想想练练想想练练：桌子上放着桌子上放着 56 根火柴根火柴，巍巍巍巍、涛涛二人轮流取涛涛二人轮流取，每次可取走每次可取走 2 根根、6 根或根或 14 根根，规定规定 谁取走最后一根火柴谁获胜谁取走最后一根火柴谁获胜如果双方都采用最佳方法如果双方都采用最佳方法，巍巍先取巍巍先取，那么谁将获胜那么谁将获胜？ 【分析分析】显然， 每次取走的都是偶数， 但都不是 4 的
9、倍数，因此可以将总根数和取的根数都除以2， 变成有 28 根火柴，每次可取走 1、3、7 根，于是可知涛涛必胜. 例 2 例 1 例题思路例题思路 4第 9级上优秀 A 版教师版 在在 44 的方格纸上有一粒石子的方格纸上有一粒石子，它放在左下角的方格里它放在左下角的方格里.甲乙二人玩游戏甲乙二人玩游戏，由甲开始由甲开始，二人交替地移二人交替地移 动这粒石子动这粒石子，每次只能向上每次只能向上、向右或向右上方移动一格向右或向右上方移动一格，谁把石子移到右上角谁胜谁把石子移到右上角谁胜.问甲能取胜吗问甲能取胜吗？ 如果要取胜如果要取胜，应采取什么办法应采取什么办法？ (学案对应学案对应：学案学案
10、 2) 【分析分析】甲要取胜，必须向右上走一格，还剩下 2 上 2 右.然后，乙如果向上走，甲也向上走，还剩 2 右；乙向右走，甲也向右走；乙向右上走，甲也向右上走，就能发现甲走完之后向上和 向右都差偶数格.总之，甲走完第一步以后，乙朝哪个方向走，甲就朝哪个方向走，这样甲 就能取胜 甲甲、乙两人玩数字游戏乙两人玩数字游戏，他们轮流用他们轮流用 19中任一数字中任一数字（数字可重复使用数字可重复使用）代表五位数代表五位数ABCDE中的中的 一个一个，如果最后这个五位数能被如果最后这个五位数能被 4 整除整除，则甲胜则甲胜；如果不能被如果不能被 4 整除整除，则乙胜则乙胜甲先填甲先填，谁有必胜谁有
11、必胜 策略策略？ (学案对应学案对应：学案学案 3) 【分析分析】甲一上来必填 E，否则乙在 E 填 1，肯定不是 4 的倍数，于是甲需要在 E 填一偶数，如果 填 2 或 6，乙在 D 处填2，肯定不是 4 的倍数；如果填 4 或 8，乙在 D 处填 1,就可，所以 乙有必胜策略. 例 4 例 3 博弈论中诺贝尔奖博弈论中诺贝尔奖 从 1994 年诺贝尔经济学奖授予3 位博弈论专家开始， 共有 5 届的诺贝尔经济学奖与博弈论 的研究有关，分别为： 1994 年，授予美国伯克利加利福尼亚大学的约翰海萨尼（J.Harsanyi） 、普林斯顿大学约 翰纳什（J.Nash）和德国波恩大学的赖因哈德泽
12、尔滕（Reinhard Selten） 。 1996 年，授予英国剑桥大学的詹姆斯莫里斯（James A. Mirrlees）与美国哥伦比亚大学 的威廉维克瑞（William Vickrey） 。 2001年，授予美国伯克利加利福尼亚大学的乔治阿克尔洛夫（George A. Akerlof ）生于 1940年、美国斯坦福大学的迈克尔斯宾塞（A. Michael Spence ）和美国纽约哥伦比亚大 学的约瑟夫斯蒂格利茨（Joseph E. Stiglitz） 。 2005年，授予美国马里兰大学的托马斯克罗姆比谢林(Thomas Crombie Schelling)和耶路 撒冷希伯来大学的罗伯特
13、约翰奥曼(Robert John Aumann） 。 2007 年，授予美国明尼苏达大学的里奥尼德赫维茨（Leonid Hurwicz） 、美国普林斯顿大 学的埃里克马斯金(Eric S. Maskin）以及美国芝加哥大学的罗杰迈尔森(Roger B. Myerson） 。 2012 年，授予美国经济学家埃尔文罗斯（Alvin E. Roth）与罗伊德沙普利因（Lloyd S. Shapley） 。 作为一门工具学科能够在经济学中如此广泛运用并得到学界垂青实为罕见。 5第 9级上 优秀 A 版教师版 第 14 讲 想想练练想想练练：甲甲、乙两人玩数字游戏乙两人玩数字游戏，他们轮流用他们轮流用
14、19 中任一数字中任一数字（数字可重复使用数字可重复使用）代表五位数代表五位数 ABCDE中的一个 中的一个，如果最后这个五位数能被如果最后这个五位数能被 8 整除整除，则甲胜则甲胜；如果不能被如果不能被 8 整除整除，则乙胜则乙胜.甲先填甲先填， 谁有必胜策略谁有必胜策略？ 【分析分析】能被 8 整除，必能被 4 整除，此题与例4 一样，所以乙有必胜策略. 黑板上写有黑板上写有 1、2、3、 、100 这这 100 个自然数个自然数，甲甲、乙二人轮流每次每人划去一个数乙二人轮流每次每人划去一个数，直到剩下两直到剩下两 个数为止个数为止如剩下的两数互质则判甲胜如剩下的两数互质则判甲胜，否则判乙
15、胜否则判乙胜 乙先划甲后划乙先划甲后划，谁有必胜策略谁有必胜策略?必胜策略是怎样的必胜策略是怎样的? 甲先划乙后划甲先划乙后划，谁有必胜策略谁有必胜策略?必胜策略是怎样的必胜策略是怎样的? (学案对应学案对应：学案学案 4) 【分析分析】甲有必胜策略将这 100 个数分成（1，2） ， （3，4） ， ， （99，100）这 50 组，乙每 划一个数，甲就划去与乙划去的数同组的数，这样最后必然剩下两个在同一组的数由于 同组的数都是互质的，所以甲必胜 乙有必胜策略无论甲如何划，乙在前 47 次只划去奇数，并且留下 3，9，15 这三个奇 数如果乙做不到这一点，即甲在前 47 次中划了奇数，那么乙
16、只要一直划奇数即可使最后 剩下的两个数都是偶数，这样乙必胜如果乙能做到这一点，则甲前 47 次都划了偶数，此 时还剩下 3，9，15 和三个偶数如果接下来甲划掉了奇数，那么乙只要在剩下的两次中都 划去奇数即可保证剩下两个偶数； 如果接下来甲划掉了偶数， 那么乙接下来也要划去偶数， 这样即可保证 3，9，15 这三个数最后必然能剩下两个，所以乙必胜 智猪博弈智猪博弈 假设猪圈里有一头大猪、一头小猪。猪圈的一头有猪食槽，另一头安装着控制猪食供应 的按钮， 按一下按钮会有 10 个单位的猪食进槽， 但是谁按按钮就会首先付出2 个单位的成本， 若大猪先到槽边，大小猪吃到食物的收益比是 91；同时到槽边
17、，收益比是 73；小猪先到 槽边，收益比是 64。那么，在两头猪都有智慧的前提下，最终结果小猪选择等待还是按控 制按钮。 答案：小猪选择等待，让大猪去按控制按钮，而自己选择等待的原因很简单：在大猪选择行 动的前提下，小猪选择等待的话，小猪可得到 4 个单位的纯收益，而小猪行动的话，则仅仅 可以获得大猪吃剩的 1 个单位的纯收益，所以等待优于行动；在大猪选择等待的前提下，小 猪如果行动的话，小猪的收入将不抵成本，纯收益为-1 单位，如果小猪也选择等待的话，那 么小猪的收益为零，成本也为零，总之，等待还是要优于行动。 例 5 6第 9级上优秀 A 版教师版 甲甲，乙轮流从乙轮流从117 这这 17
18、 个数中标记数个数中标记数，规定规定： （1）每次标记一个数每次标记一个数；（2）不能标记已标记的数不能标记已标记的数； （3）不能标记已标记数的不能标记已标记数的 2 倍倍； （； （4）不能标记已标记数的不能标记已标记数的 1 2 ； （5）谁没数可标记谁就输谁没数可标记谁就输. 现在甲先标记了现在甲先标记了 8，乙要保证自己必胜乙要保证自己必胜，乙接着应该标记乙接着应该标记_. 【分析分析】甲标了 8 后，4 和 16 就不能再标记.剩下的数分成以下几组. 第一组（3，6，12） 第二组（1，2）（5，10）（7，14） 第三组（9）（11）（13）（15）（17） 其中第一组是可选的，
19、当选 6 时，就不能选其他数，而选3 或 12 时还可以再选一个.第一 组数决定了最终的局数.根据奇偶性，乙应该选6，这样就可以总共进行 10 轮.因此甲先， 所以最后一个可标记数是乙标记的.乙必胜. 1.甲乙两人轮流在黑板上写甲乙两人轮流在黑板上写 27 之间的正整数之间的正整数，规定在黑板上写过的数规定在黑板上写过的数，它的任何倍数就不能再它的任何倍数就不能再 写了写了， 最后不能写的人为失败者最后不能写的人为失败者.如果甲第一个写数如果甲第一个写数， 那么谁有必胜策略那么谁有必胜策略？如果是写如果是写 28 之间的之间的 正整数呢正整数呢？ 【分析分析】27 乙胜，如果甲取 2，那么乙取
20、3，还剩 5、7，一人写一个，乙胜； 如果甲取3，那么乙取 2，还剩 5、7，一人写一个，乙胜； 如果甲取4，那么乙取 6，还剩 2、3、5、7，一人写两个，乙胜； 如果甲取5，那么乙取 2，还剩 3、7，一人写一个，乙胜； 如果甲取6，那么乙取 4，还剩 2、3、5、7，一人写两个，乙胜； 如果甲取7，那么乙取 2，还剩 3、5，一人写一个，乙胜； 28 甲胜，因为甲取了 8，就相当于27，乙先取，后者胜，甲胜. 2.如下图如下图，将将 2008 个方格排成一行个方格排成一行，在最左边的方格中放有一枚棋子在最左边的方格中放有一枚棋子，巍巍巍巍、涛涛二人交替地移涛涛二人交替地移 动这枚棋子动这
21、枚棋子，巍巍先涛涛后巍巍先涛涛后，每人每次可将棋子向右移动若干格每人每次可将棋子向右移动若干格，但移动的格数不能是合数但移动的格数不能是合数， 将棋子移到最右边格子的人获胜将棋子移到最右边格子的人获胜如果巍巍先移如果巍巍先移，巍巍是否有制胜的策略巍巍是否有制胜的策略？ 【分析分析】由于每人每次移动的格数都不能是合数，所以移动的格数有以下情况：1；唯一的偶质 数 2；奇质数所以每次移动 1、2 或者3 格是符合题意的，而移动 4 或者 4的倍数格不 合题意那么每次移动的格数除以 4 的余数为1、2 或 3所以巍巍有必胜策略：巍巍先移 3 格，这样还剩下 2004 格(4 的倍数格)；以后涛涛每移
22、动4nk格(1k 、2 或 3)，巍巍就 移动4k格，这样每次巍巍移动后还剩下 4 的倍数格，而涛涛每次移动后剩下的格数都不 是 4 的倍数，所以要移完 2004 格，最后肯定是由巍巍完成，所以巍巍获胜 2008200765432 附加题附加题 杯赛提高杯赛提高 7第 9级上 优秀 A 版教师版 第 14 讲 3.甲乙两人轮流在黑板上写小于甲乙两人轮流在黑板上写小于 9 的正整数的正整数，规定在黑板上写过的数规定在黑板上写过的数，它的任何它的任何因因数就不能再写数就不能再写 了了，最后不能写的人为失败者最后不能写的人为失败者.如果甲第一个写数如果甲第一个写数，那么谁有必胜策略那么谁有必胜策略？
23、 【分析分析】甲胜，甲可以先取 2，剩下（3、6） 、 （4、8） 、5、7，正好对称，甲胜；甲也可以先取 5，剩下（2、4、8） 、 （3、6） 、7，乙取 2，甲就取 7；乙取 4，甲取 6；乙取 8，甲取3；乙 取 3，甲取 8；乙取 6，甲取 4，乙取 7，甲取 2，必胜；甲也可以先取 7，剩下（2、4、 8） 、 （3、6） 、5，同理，甲必胜，别的取法都会输. 4.有一个有一个3 3的棋盘以及的棋盘以及 9 张大小为一个方格的卡片张大小为一个方格的卡片，9 张卡片分别写有张卡片分别写有：1，3，4，5，6，7，8， 9，10 这几个数这几个数小兵和小强两人做游戏小兵和小强两人做游戏
24、，轮流取一张卡片放在轮流取一张卡片放在 9 格中的一格格中的一格，小兵计算上小兵计算上、下下 两行两行 6 个数的和个数的和，小强计算左小强计算左、右两列右两列 6 个数的和个数的和，和数大的一方取胜和数大的一方取胜，怎么才能获胜怎么才能获胜？ 【分析分析】注意题目中的条件，小兵计算上、下两行 6 个数的和即为abcfgh ；小强计算 左、右两列数的和，即为adfceh 现在看这两个和，其中a、c、f、h为重 复项，对于比较大小来说没有意义，真正有意义的是小兵的bg和小强的de，这几个 数决定他们谁输谁赢，要想获胜就要尽量把大的数填在自己一方，小的数填在别人一方， 试一下就知道怎么填是必胜的了
25、 假设小兵先填，把大的填在自己一方，填 10，那么小强有两种对付方式：一种是将 9 填在 自己一方，一种是将 1 填在小兵那里若小强将 9 填在自己一方，则下次小兵将 1 填在小 强那里，小兵必胜，从而小强需将 1 填在小兵那里，那么下次小兵只能将最小的 3 填在小 强那里，还是小强获胜(再往自己的格里填 9)，从而得到，先往自己的格里填大数是不可取 的，并不能保证获胜，从而知，必须往别人的格里填小数还是假设小兵先填，那么，他 要把 1 填在小强的格里，那么，小强有两种应对方法：一种是把10 填在自己格里，一种是 把 3 填在小兵格里，若小强把 10 填在自己格里，则小兵把9 填在自己格里，小
26、强再填的话 最少填 3，小兵必胜若小强把 3 填在小兵格里，则小兵把 10 填在自己格里，也必胜从 而，先填的人必胜此题的策略为：先把 1 填在别人的格里 5.在一个在一个3 3的方格纸中的方格纸中，巍巍巍巍、铮铮两人轮流铮铮两人轮流(巍巍先巍巍先)往方格纸中填写往方格纸中填写 1、2、3、4、5、6、7、 8、10 九个数中的一个九个数中的一个，数不能重复数不能重复最后巍巍的得分是不计中间行的上下两行六个数之和最后巍巍的得分是不计中间行的上下两行六个数之和，铮铮 铮的得分是不计中间列的左右两列六个数之和铮的得分是不计中间列的左右两列六个数之和，得分多者为胜得分多者为胜请你为巍巍找出一种必胜的
27、策请你为巍巍找出一种必胜的策 略略 【分析分析】应把 10 填在自己的势力范围之内. 6.在一个在一个3 3的方格纸中的方格纸中，甲甲、乙两人轮流乙两人轮流(甲先甲先)往方格纸中填写往方格纸中填写 1、2、3、4、5、6、7、8、9九九 个数中的一个个数中的一个，数不能重复数不能重复最后甲的得分是不计中间行的上下两行六个数之和最后甲的得分是不计中间行的上下两行六个数之和，乙的得分是乙的得分是 不计中间列的左右两列六个数之和不计中间列的左右两列六个数之和，得分多者为胜得分多者为胜请你为甲找出一种必胜的策略请你为甲找出一种必胜的策略 【分析分析】上两个问题，由于 9 个数字的不对称性，策略分别是选
28、择“ 削弱别人” 和“ 增强自己” .两种不 同的方法.而这个问题中，9 个数字是对称的，故以上两种方法都不适用.9 个格子里面，有 5 个无关格，即对甲乙都没有用的格子；2 个对甲有影响，2 个对乙有影响.由于数字的对称 性，在这个问题里面第一步选择“ 削弱别人” 与“ 增强自己” 都是可以的，关键在于之后怎么 走.我们假设甲第一步选择增强自己. （1）甲把9 给自己.那么此时乙有 3 种选择，增强自己，削弱甲，填无关格.若乙选择增强 自己或填无关格，那么甲只要拿到 7 或 8 给自己，乙必败.因此乙只能选择削弱甲. （2）乙把1 放入甲的格子.此时甲格子里有 9 和 1.他要想获胜，那么不
29、能让乙的两个格子 里的数字和达到 10.甲有两种选择：削弱乙，或填无关格.若甲选择削弱乙，那么只能把剩 下最小的 2 放在乙的格子中，此时乙只要选 8，那么就是平局.为了避免乙拿到 8，那么甲 只能把 8 填入无关格. （3）甲把8 放入无关格.此时乙有两种选择：增强自己，填无关格.如果增强自己，选 7， 那么甲必然会把 2 放入乙的格子.因此乙只能先把 2 放入无关格. 8第 9级上优秀 A 版教师版 以此类推.(乙，2，无关)- (甲，7，无关)- (乙，3，无关)- (甲，6，无关).这时无关格已经 填满，只剩下 4,5 两个数给乙，甲胜. 若甲第一步选择削弱别人，有同样的思路.这时是乙
30、的关键格有 10 分，甲有 11 分. 7.甲乙两人轮流在黑板上写甲乙两人轮流在黑板上写 38 之间的正整数之间的正整数，规定每次在黑板上写的数要满足以下条件规定每次在黑板上写的数要满足以下条件：它的它的 任何约数都不能是黑板上已写的数任何约数都不能是黑板上已写的数.最后不能写的人为失败者最后不能写的人为失败者.如果甲第一个写数如果甲第一个写数，那么谁能胜那么谁能胜？ 必胜策略是什么必胜策略是什么？39呢呢？ 【分析分析】38，乙胜，可分组， （3、6） 、 （4、8） 、5、7，甲取 3 或 4，乙就对应取 4或 3，能写的只 剩下 5、7，乙胜；甲取 6 或 8，乙就对应取 8 或 6，剩
31、下没关系的 3、4、5、7，乙胜；甲 取 5 或 7，乙取 7 或 5，下面还是对称的，所以乙胜. 39，甲胜，先写 9，剩下的就相当于乙先写38，甲胜. 对策问题的对策问题的 3个最基本要素个最基本要素： 局中人局中人，在一场竞赛或争斗中的参与者在一场竞赛或争斗中的参与者他们为了在对策中取得最终胜利他们为了在对策中取得最终胜利，必须制定出对付必须制定出对付 对手的行动计划对手的行动计划，这种有决策权的参加者称为局中人这种有决策权的参加者称为局中人局中人并不是特指某一个人局中人并不是特指某一个人，而是指参加竞而是指参加竞 争的各个阵营争的各个阵营只有两个局中人的对策问题为只有两个局中人的对策问
32、题为“双人对策双人对策”，而多于两个局中人的对策问题为而多于两个局中人的对策问题为“多人对多人对 策策” 策略策略，是指某一局中人的一个是指某一局中人的一个“自始至终通盘筹划自始至终通盘筹划”的可行方案的可行方案，在一局对策中在一局对策中，各个局中人各个局中人 可以有一个策略可以有一个策略，也可以有多个策略也可以有多个策略 一局对策的得失一局对策的得失在一局对策中在一局对策中，必有胜利者和失败者必有胜利者和失败者比赛成绩的好坏比赛成绩的好坏，我们称之为我们称之为“得得 失失”每个局中人在一局对策中的得失与全体局中人所采取的策略的优劣有着直接的关系每个局中人在一局对策中的得失与全体局中人所采取的
33、策略的优劣有着直接的关系 1.桌子上放着桌子上放着 55 根火柴根火柴， 甲甲、 乙二人轮流每次取走乙二人轮流每次取走 14 根根 规定谁取走最后一根火柴谁获胜规定谁取走最后一根火柴谁获胜 如如 果双方都采用最佳方法果双方都采用最佳方法，甲先取甲先取，那么谁将获胜那么谁将获胜？ 【分析分析】乙胜，和对方凑5 2.右图是一个右图是一个46的方格棋盘的方格棋盘，左上角有一枚棋子左上角有一枚棋子甲先乙后甲先乙后，二人轮流走这枚棋子二人轮流走这枚棋子，每人每次每人每次 只能向下只能向下，向右走一格向右走一格如图中棋子可以走入如图中棋子可以走入A、C两格之一两格之一，谁将棋子走入右下角方格中谁谁将棋子走
34、入右下角方格中谁 获胜获胜如果都按最佳方法走如果都按最佳方法走，那么谁将获胜那么谁将获胜？有什么必胜的策略有什么必胜的策略？ A CB 家庭作业家庭作业 知识点总结知识点总结 9第 9级上 优秀 A 版教师版 第 14 讲 【分析分析】一共差 8 个格，每次走一个格，所以肯定要走 8 次，肯定乙赢. 3.右图是一个右图是一个46的方格棋盘的方格棋盘，左上角有一枚棋子左上角有一枚棋子甲先乙后甲先乙后，二人轮流走这枚棋子二人轮流走这枚棋子，每人每次每人每次 只能向下只能向下，向右或向右下走一格向右或向右下走一格如图中棋子可以走入如图中棋子可以走入A、B、C三格之一三格之一，谁将棋子走入右谁将棋子走
35、入右 下角方格中谁获胜下角方格中谁获胜如果都按最佳方法走如果都按最佳方法走，那么谁将获胜那么谁将获胜？有什么必胜的策略有什么必胜的策略？ 【分析分析】法 1（奇偶，重点）甲先走到 B 处，还需向下走 4 格，向右走 2 格，都是偶数，接下来甲 保证每次走之后向下和向右都是偶数格，就行了，甲必胜 法 2（倒推法，选讲）要想最后一步走到右下角的方格 1 中，必须让对方倒数第二步走入 方格 1 周围的三个方格 2 中 若想达到此目的， 倒数第三步必须走到两个标“3”的方格中； 倒数第四步必须让对方走到两个方格 3 附近的 6 个方格 4 中； 倒数第五步则必须走到标“5” 的方格中；依次类推，倒数第
36、六步必须让对方走到标“6”的方格中；倒数第七步必须走到 方格B中而棋子可一步走到方格B中，因此先走的甲有必胜的策略：甲第一步先走入方 格B中，若乙走入方格6 中，则甲第二步走入方格 5 中；若乙走入方格4 中，则甲第二步 走入方格3中 下一步乙只能走入方格4或方格 2中， 甲第三步就走入方格3或方格 1中 甲 走入方格 1 中即获胜；若甲走入方格3 中，乙只能走入方格 2 中，甲第四步走入方格 1 中 获胜因此，甲就必胜 4.甲甲、乙两人玩数字游戏乙两人玩数字游戏，他们轮流用他们轮流用 19中任一数字中任一数字（数字可重复使用数字可重复使用）代表五位数代表五位数 ABCDE 中的一个中的一个，
37、如果最后这个五位数能被如果最后这个五位数能被 9 整除整除，则甲胜则甲胜;如果不能被如果不能被 9 整除整除，则乙胜则乙胜.甲先填甲先填，谁谁 有必胜策略有必胜策略？ 【分析分析】甲，因为甲写最后一个数字，19 中必有一个能让数字和是 9 的倍数，所以甲胜. 5.一场数学游戏在小聪和小明间展开一场数学游戏在小聪和小明间展开：黑板上写着自然数黑板上写着自然数 2、3、4、 、1000，两人轮流擦去两人轮流擦去 其中的一个数其中的一个数，由小明先擦由小明先擦，小聪后擦小聪后擦，若到最后剩下的两个数互质若到最后剩下的两个数互质，则判小聪胜则判小聪胜；否则判小否则判小 明胜明胜问问：小聪和小明谁有必胜
38、策略小聪和小明谁有必胜策略？说明理由说明理由 【分析分析】小明有， 只要小明一直擦奇数，直到将奇数擦光， 因为整个游戏当中，小明要擦499 个数， 而黑板上恰好有 499 个奇数，所以一定能将所有奇数擦光，最后剩下两个偶数，它们一定 不互质 6.巍巍巍巍、涛涛两人用涛涛两人用 28 个球进行取球比赛个球进行取球比赛比赛的规则是比赛的规则是：巍巍巍巍、涛涛轮流取球涛涛轮流取球，每人每次可以每人每次可以 取取 1个个、2个或个或 5 个个，取最后一个球的人胜利取最后一个球的人胜利 问问： 若巍巍先取若巍巍先取， 巍巍为了取胜巍巍为了取胜， 他应采取怎样的策略他应采取怎样的策略？若巍巍先拿了若巍巍先
39、拿了 2 个球个球， 涛涛为了必胜涛涛为了必胜， 应当采取怎样的策略应当采取怎样的策略？ 【分析分析】1+2=3,1+5=6，于是巍巍凑 3 的倍数就行了，28- 27=1，所以巍巍先拿1 个球，之后每次都 和对方凑 3 的倍数就OK 了，还剩下 26 个球，26- 2=24，26- 5=21，所以涛涛拿 2 个球或 者 5 个球都行，都剩下 3 的倍数，之后涛涛每次都和对方凑 3 的整数倍就行了. A CB 3 44 4 66 56 12 22 34 44 56 66A CB 10第 9级上优秀 A 版教师版 【学案学案 1】桌子上放着桌子上放着 55 根火柴根火柴，巍巍巍巍、涛涛二人轮流每
40、次取走涛涛二人轮流每次取走 13 根根，规定谁取走最后一根火规定谁取走最后一根火 柴谁获胜柴谁获胜如果双方都采用最佳方法如果双方都采用最佳方法，巍巍先取巍巍先取，那么谁将获胜那么谁将获胜？ 【分析分析】采用逆推法分析获胜方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须 留给对方 4 根，此时无论对方取 1、2 或 3 根，获胜方都可以取走最后一根；再往前逆推， 获胜方要想留给对方 4 根，在倒数第三次取时，必须留给对方 8根由此可知，获胜方只 要每次留给对方的都是 4 的倍数根，则必胜现在桌上有 55 根火柴，554133 ，所以 只要巍巍第一次取走 3 根，以后每一次，涛涛取几根，
41、巍巍就取 4 减几根，使得每次巍巍 取后剩下的火柴根数都是 4 的倍数，这样巍巍必胜 思考：为什么一定要留给对方 4 的倍数根火柴，而不是 5 的倍数根或者其它数的倍数根呢？关键在 于规定每次只能取 13 根，134 ， 这样涛涛每次取a根， 而巍巍取4a根， 能保证4a也在1 3 的范围内 【学案学案 2】如图如图，在棋盘的右上角放有一枚棋子在棋盘的右上角放有一枚棋子，每一步只能向左每一步只能向左、向下或向左下对角线走一格向下或向左下对角线走一格二二 人交替走人交替走，谁先到达左下角谁先到达左下角，谁为胜者谁为胜者问必胜的策略是什么问必胜的策略是什么？ 【分析分析】法 1（奇偶） ：先走者胜
42、，可知每走一步，行或者列要走一个奇数格，那么现在距离胜利剩 9 行 9 列，可以先走一步对角线，现在差 8 行 8 列，对方无论怎么走，一定会让行或者列 差奇数个，先手的任务就是把奇数个都变成偶数个，最后就胜利了. 法 2 （选讲） ： 采用倒推法分析 要想占领下图左下角的O点， 就必须先占领图中的A、B、 C三点之一因为： 如果你占领了A点，按照游戏规则，对方只能向下走一步，O必然被你占领 如果你占领了C点，按照游戏规则，对方只能向左走一步，O点同样被你占领 如果你占领了B点，按照游戏规则，对方只能向左、向下或向左下对角线走一步若向 左走一步，你可占领A点，可以获胜；若向下走一步，你可占领C
43、点，也可以获胜；若 向左下对角线走一步，你可继续向左下对角线走一步而到达O点 A 版学案版学案 11第 9级上 优秀 A 版教师版 第 14 讲 下面继续倒推， 采用同样的方法分析出： 要想占领A点， 就必须占领D、E、B三点之一； 要想占领B点，就必须占领E、F、G三点之一；要想占领C点，就必须占领B、G、H 三点之一如图所示 依此类推，即可找出应该抢占的所有“ 制高点” ，见下图，只要你占领了一个“ 制高点” ，不 管对方怎样走，你都可以去占领下一个“ 制高点” 所以必胜的策略是： (1)先走，将棋子向左下对角线走一步，到达一个“ 制高点” (2)对方每走一步后， 你都设法去占领下一个“
44、制高点” (“ 制高点” 如图中的黑点所示)， 而最终 先到达O点 【学案学案 3】甲甲、乙两人玩数字游戏乙两人玩数字游戏，甲先乙后甲先乙后，他们轮流用他们轮流用 19 中任一数字中任一数字（数字可重复使用数字可重复使用）代代 表五位数表五位数ABCDE中的一个中的一个，如果最后这个五位数能被如果最后这个五位数能被 4 整除或者被整除或者被 4 除余除余 1，则甲胜则甲胜；如果被如果被 4 除余除余 2 或余或余 3，则乙胜则乙胜.谁有必胜策略谁有必胜策略？ 【分析分析】被 4 除只跟 D、E 有关，而且无论 D 怎么填，E 都可以决定最终的余数；无论 E 怎么填， D 也都可以决定最终的余数
45、， 所以， 不能抢先填 D 和 E， 于是甲乙先填 ABC， 而乙没得填， 只能在 D 或 E 中选一个填，甲胜. 【学案学案 4】99 张卡片上分别写着张卡片上分别写着 199甲先从中抽走一张甲先从中抽走一张，然后乙再从中抽走一张然后乙再从中抽走一张，如此轮流下如此轮流下 去去若最后的两张上的数是互质数若最后的两张上的数是互质数，则甲胜则甲胜；若最后剩下的两个数不是互质数若最后剩下的两个数不是互质数，则乙胜则乙胜问问：甲要甲要 想获胜应该怎样抽取卡片想获胜应该怎样抽取卡片？ 【分析分析】甲抽，把剩下的数两两分组为 2,3， 4,5，98,99，无论乙抽何数，甲都抽同组 O C B A H G FE D O C B A O 12第 9级上优秀 A 版教师版 中的另一个数这样最后将剩下同一组中的两个数，这两数相邻，必定互质，甲胜 点评：从上面的分组方法可以看出，甲第一次不一定要抽 1，实际上第一次他可以抽其中的任何一 个奇数，然后把剩下的数每相邻的两数分为一组即可
