1、第 1 页 共 18 页 中考总复习：中考总复习：平面直角坐标系与一次函数、反比例函数平面直角坐标系与一次函数、反比例函数 -知识讲解（知识讲解（提高提高） 【考纲要求】【考纲要求】 结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想； 会确定函数自变量的取值范围，即能用三种方法表示函数，又能恰当地选择图象去描述两个 变量之间的关系； 理解正比例函数、反比例函数和一次函数的概念，会画他们的图象，能结合图象讨论这些函 数的基本性质，能利用这些函数分析和解决有关的实际问题. 【知识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 考考点一、平面直角坐标系点一、平面直角坐标系 1.1.平面直
2、角坐标系平面直角坐标系 平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐标平面内一点对应的有序实 数对叫做这点的坐标.在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形” （平面内的点）和“数” （有序实数 对）紧密结合起来. 2 2各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点 点 P(x,y)在第一象限0, 0yx； 点 P(x,y)在第二象限0, 0yx； 第 2 页 共 18 页 点 P(x,y)在第三象限0, 0yx； 点 P(x,y)在第四象限0, 0yx； 点 P(x,y)在 x 轴上0 y，x 为任意实数； 点 P(x,y)在 y
3、轴上0 x，y 为任意实数； 点 P(x,y)既在 x 轴上，又在 y 轴上x，y 同时为零，即点 P 坐标为（0，0）. 3 3. .两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x 与 y 相等； 点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x 与 y 互为相反数. 4 4. .和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同； 位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同. 5 5. .关于关于 x x 轴、轴、y y 轴或原点对称的点的坐标的特征轴或原点
4、对称的点的坐标的特征 点 P 与点 p关于 x 轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数； 点 P 与点 p关于 y 轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数； 点 P 与点 p关于原点对称横、纵坐标均互为相反数. 6.6.点点 P(x,y)P(x,y)到坐标轴到坐标轴及原点的距离及原点的距离 （1）点 P(x,y)到 x 轴的距离等于y； （2）点 P(x,y)到 y 轴的距离等于x； （3）点 P(x,y)到原点的距离等于 22 yx . 7.7.在平面直角坐标系内在平面直角坐标系内两点之间的距离公式两点之间的距离公式 如果直角坐标平面内有两点 2211 ,yxByxA、，那么 A、B 两点的距离为：
5、 2 21 2 21 yyxxAB. 两种特殊情况： （1）在直角坐标平面内，x轴或平行于x轴的直线上的两点yxByxA, 21 、的距离为： 21 2 21 22 21 xxxxyyxxAB （2）在直角坐标平面内，y轴或平行于y轴的直线上的两点 21 ,yxByxA、的距离为： 21 2 21 2 21 2 yyyyyyxxAB 要点诠释：要点诠释： （1）注意：x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限； （2）平面内点的坐标是有序实数对，当ba 时， （a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标. 考考点二、函数点二、函数 1.1.函数的概念函数的概念 设在某个变化过程中有两个变量 x、y,如
6、果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确 定的值与它相对应，那么就说 y 是 x 的函数，x 叫做自变量. 第 3 页 共 18 页 2.2.自变量的取值范围自变量的取值范围 对于实际问题， 自变量取值必须使实际问题有意义.对于纯数学问题， 自变量取值应保证数学式子有 意义. 3 3表示方法表示方法 解析法；列表法；图象法. 4 4画函数图象画函数图象 （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值； （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点； （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来. 要点诠释：要点诠释： （1）在某一变化过程中
7、，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量； （2）确定自变量取值范围的原则：使代数式有意义；使实际问题有意义. 考考点三、几种基本函数点三、几种基本函数（定义图象性质）（定义图象性质） 1.1.正比例函数及其图象性质正比例函数及其图象性质 （1）正比例函数：如果 y=kx(k 是常数，k0)，那么 y 叫做 x 的正比例函数 （2）正比例函数 y=kx（ k0)的图象： 过（0，0） ， （1，K）两点的一条直线 （3）正比例函数 y=kx （k0)的性质 当 k0 时，图象经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大； 当 k0 时，图象经过第二、四象限，y 随 x 的增大而减小
8、 . 2.2.一次函数及其图象性质一次函数及其图象性质 （1）一次函数：如果 y=kx+b(k,b 是常数，k0),那么 y 叫做 x 的一次函数 （2）一次函数 y=kx+b（k0)的图象 第 4 页 共 18 页 （3）一次函数 y=kx+b（k0)的图象的性质 一次函数ykxb的图象是经过(0，b)点和)0 ,( k b 点的一条直线 当 k0 时，y 随 x 的增大而增大； 当 k0 k0 时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限.在每个象限内，y 随 x 的增大而减小. x 的取值范围是 x0， y 的取值范围是 y0； 当 k0 时，函数图像的两个分支分别 在第二、四象限.在每个
9、象限内，y 随 x 的增大而增大. （5）反比例函数解析式的确定： 利用待定系数法（只需一对对应值或图象上一个点的坐标即可求出k） （6） “反比例关系”与“反比例函数” ： 成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数 x k y 中的两个变量必成反比例关系. （7）反比例函数的应用 反比例函数中反比例系数的几何意义， 如下图， 过反比例函数)0(k x k y图像上任一点),(yxP 作 x 轴、y 轴的垂线 PM，PN，垂足为 M、N，则所得的矩形 PMON 的面积 S=PMPN=xyxy. ,y x k | kSkxy ，. (8)正比例函数和反比例函数的交点问题 若正比例函数
10、1 yk x( 1 k0)，反比例函数 2 2 (0) k yk x ，则 当 1 2 0k k 时，两函数图象无交点； 当 1 2 0k k 时，两函数图象有两个交点，坐标分别为( 2 1 k k ， 12 k k)，( 2 1 k k ， 1 2 k k) 由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称 第 7 页 共 18 页 要点诠释：要点诠释： （1）用待定系数法求解析式（列方程组求解） ； （2）利用一次（正比例）函数、反比例函数的图象求不等式的解集. 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、坐标平面有关坐标平面有关的的计算计算 1已知：如图所示， （1）写出ABC
11、 三个顶点的坐标； （2）作出ABC 关于 x 轴对称的ABC，并写出ABC三个顶点的坐标； （3）作出ABC 关于 y 轴对称的ABC，并写出ABC三个顶点的坐标 【思路点拨】 （1）直接根据图形写出ABC 三个顶点的坐标； （2）找到ABC 的各顶点关于 x 轴对称的对称点并顺次连接成图形； （3）找到ABC 的各顶点关于 y 轴对称的对称点并顺次连接成图形 【答案与解析】 （1）ABC 三个顶点的坐标分别为：A（4，3），B（3，1），C（1，2）； （2）所画图形如下所示，ABC即为所求，ABC三个顶点的坐标分别为： A（4，-3），B（3，-1），C（1，-2）； （3）所画图形如下
12、所示，ABC即为所求，ABC三个顶点的坐标分别为： 第 8 页 共 18 页 A（-4，3），B（-3，1），C（-1，2） 【总结升华】作轴对称图形找对称点是关键. 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图所示，ABC 的顶点坐标分别为 A(-4，-3)，B(0，-3)，C(-2，1)，如将 B 点向右平移 2 个单位后再向上平移 4 个单位到达 B1点，若设ABC 的面积为 S1，AB1C 的面积为 S2，则 S1，S2的大小 关系为( ) AS1S2 BS1S2 CS1S2 D不能确定 【答案】选 B （点 B 的平移是关键，平移后 ABCB1，两个三角形等底等高） 2(1)如图所示，在平
13、面直角坐标系 xOy 中，B1(0，1)，B2(0，3)，B3(0，6)，B4(0，10)，以 B1B2为对角线作第一个正方形 A1B1C1B2，以 B2B3为对角线作第二个正方形 A2B2C2B3，以 B3B4为对角 线作第三个正方形 A3B3C3B4，如果所作正方形的对角线 1nn B B 都在 y 轴上，且 1nn B B 的长 度依次增加1个单位， 顶点 n A都在第一象限内(n1， 且n为整数)， 那么A1的纵坐标为_， 用 n 的代数式表示 n A的纵坐标为_； (2)若设 n A的坐标为(x，y)，求 y 关于 x 的函数关系式 第 9 页 共 18 页 【思路点拨】 作 A1D
14、y 轴于点 D，可推出 A1的纵坐标=B1D+B1O=1+1= 2 (1 1) 2 =2， A2的纵坐标= 2 (2 1) 2 =4.5，则 An的纵坐标为 2 (1) 2 n 【答案与解析】 (1)2， 2 (1) 2 n ； (2)A1的横坐标等于 12 2 22 B B ， A2的横坐标等于 23 3 22 B B ， A3的横坐标等于 34 4 22 B B ， A4的横坐标等于 45 5 22 B B ， n A的横坐标等于 1 1 22 nn B Bn ，纵坐标等于 2 (1) 2 n 1 2 n x ， ， 12nx ，代入消去 n+1，得 2 2yx y 关于 x 的解析式为
15、2 2yx，说明点 A1，A2，A3，A4， n A都在抛物线 2 2yx上 如图所示 第 10 页 共 18 页 【总结升华】解决本题的关键是观察图形得到点的纵坐标的特点 类型二、一次函数类型二、一次函数 3已知点 A(3，1)，B(0，0)，C(3，0)，AE 平分BAC，交 BC 于点 E，则直线 AE 对应 的函数解析式是( ) A. 2 3 3 yx B. 2yx C. 31yx D. 32yx 【思路点拨】 要求直线 AE 对应的函数表达式，可以求出 E 点的坐标即可可以转化为求线段 BE 的长，根据角 平分线的性质解决 【答案】D； 【解析】 解：如图所示，易证BAC60，ABC
16、30 AE 平分BAC， EAC30 AC1， CE 3 3 BE 2 3 3 E( 2 3 3 ，0) 可得直线 AE 的解析式为32yx 应选择 D 【总结升华】 平面直角坐标系中的几何问题， 解决关键往往在于将直线的条件转化为点的坐标及线段长， 第 11 页 共 18 页 只需得到线段长，就可以解三角形、解四边形，反之亦然 举一反三：举一反三： 【变式变式】已知：如图所示，在直角坐标平面内，O 为原点，点 A 的坐标为(1，0)，点 C 的坐标为(0，4)， 直线 CMx 轴点 B 与点 A 关于原点对称，直线 yx+b(b 为常数)经过点 B，且与直线 CM 相交 于点 D，连接 OD
17、 (1)求 b 的值和点 D 的坐标 (2)设点 P 在 x 轴的正半轴上，若POD 是等腰三角形，求点 P 的坐标 【答案】 (1)因为点 B 与点 A 关于原点对称，点 A 的坐标为(1，0)，所以点 B 的坐标为(-1，0) 因为直线 yx+b(b 为常数)经过点 B，所以 0-1+b，解得 b1，所以直线为 yx+1 因为点 C 的坐标为(0，4)，直线 CMx 轴，所以点 D 的纵坐标为 4 因为直线 yx+1 与直线 CM 交于点 D，当 y4 时，4x+1，解得 x3， 所以点 D 的坐标为(3，4) (2)因为 O 为原点，点 D 的坐标为(3，4)，点 C 的坐标为(0，4)
18、，所以 OC4，CD3， 所以 OD5 因为点 P 在 x 轴的正半轴上，若POD 是等腰三角形，则分三种情况： 当 PDPO 时，有 1 2 cos OD DOP PO ， 因为 3 coscos 5 CD DOPCDO OD ， 所以 1 3 2 5 OD PO ，解得 25 6 PO 所以点 P 的坐标为( 25 6 ，0) 当 PDOD 时，PO2CD6， 所以点 P 的坐标为(6，0) 当 ODPO 时，PO5， 所以点 P 的坐标为(5，0) 类型三、反比例函数类型三、反比例函数 第 12 页 共 18 页 4如图，矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x、y 轴的正半轴上，点
19、D 为对角线 OB 的中点，点 E（4， n）在边 AB 上，反比例函数 k y= x （k0）在第一象限内的图象经过点 D、E，且 tanBOA= （1）求边 AB 的长； （2）求反比例函数的解析式和 n 的值； （3）若反比例函数的图象与矩形的边 BC 交于点 F，将矩形折叠，使点 O 与点 F 重合，折痕分别与 x、y 轴正半轴交于点 H、G，求线段 OG 的长 【思路点拨】 （1）由点 E 的纵坐标得出 OA=4，再根据 tanBOA= 1 2 即可求出 AB 的长度； （2）根据（1）求出点 B 的坐标，再根据点 D 是 OB 的中点求出点 D 的坐标，然后利用待定系数法求函 数解
20、析式求出反比例函数解析式，再把点 E 的坐标代入进行计算即可求出 n 的值； （3） 利用反比例函数解析式求出点 F 的坐标， 从而得到 CF 的长度， 连接 FG， 根据折叠的性质可得 FG=OG， 然后用 OG 表示出 CG 的长度，再利用勾股定理列式计算即可求出 OG 的长度. 【答案与解析】 解： （1）点 E（4，n）在边 AB 上，OA=4， 在 RtAOB 中，tanBOA= 1 2 ，AB=OAtanBOA=4 1 2 =2. （2）由（1） ，可得点 B 的坐标为（4，2） ， 点 D 为 OB 的中点，点 D（2，1）. 点 D 在反比例函数 k y= x （k0）的图象上
21、， k 2= 1 ，解得 k=2. 反比例函数解析式为 2 y= x . 又点 E（4，n）在反比例函数图象上， 21 n= 42 . 第 13 页 共 18 页 （3）如图，设点 F（a，2） ， 反比例函数的图象与矩形的边 BC 交于点 F， 2 2= a ，解得 a=1.CF=1. 连接 FG，设 OG=t，则 OG=FG=t，CG=2t， 在 RtCGF 中，GF 2=CF2+CG2，即 t2=（2t）2+12， 解得 t= 5 4 ，OG=t= 5 4 . 【总结升华】本题综合考查了反比例函数的知识，包括待定系数法求函数解析式，点在函数图象上，锐 角三角函数的定义，以及折叠的性质，求
22、出点 D 的坐标，然后求出反比例函数解析式是解题的关键 举一反三：举一反三： 【变式变式 1 1】已知：如图，正比例函数 yax 的图象与反比例函数 x k y 的图象交于点 A(3，2) (1)求上述正比例函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象回答，在第一象限内，当 x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值； (3)M(m，n)是反比例函数图象上的一动点，其中 0m3，过点 M 作直线 MBx 轴，交 y 轴于点 B；过 点 A 作直线 ACy 轴交 x 轴于点 C，交直线 MB 于点 D当四边形 OADM 的面积为 6 时，请判断线段 BM 与 DM 的大小关系，并说明理由 【答
23、案】 解： （1）将32A ，分别代入 k yyax x ，中，得232 3 k a， 2 6 3 ka， 反比例函数的表达式为： 6 y x ； 正比例函数的表达式为 2 3 yx （2）观察图象得，在第一象限内，当03x时， 反比例函数的值大于正比例函数的值 （3）BMDM 理由： 1 3 2 OMBOAC SSk ， 第 14 页 共 18 页 63312 OMBOACOBDCOADM SSSS 矩形四边形 即 12OC OB 3OC ， 4OB 即 4n 63 2 m n 333 3 222 MBMD， MBMD 【变式变式 2 2】已知双曲线 x y 3 和直线2ykx相交于点 11
24、 ()A xy，和点 22 ()B xy，且10 2 2 2 1 xx. 求k的值. 【答案】 由 x y kxy 3 2 得 2 3 2230kxkxx x ， 1212 23 xxx x kk ， 故 2 22 121212 2 46 210xxxxx x kk 2 5320kk 1 1k 或 2 2 5 k . 又 2 44 12back 即 1 3 k ，舍去 2 2 5 k ，故所求k的值为1. 类型四、函数综合应用类型四、函数综合应用 5如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点 A 和 点 B，且 OAOB1.这条曲线是函数 x y 2 1 的图像
25、在第一象限的一个分支，点 P 是这条曲线上任意一 点，它的坐标是（a、b） ，由点 P 向x轴、y轴所作的垂线 PM、PN，垂足是 M、N，直线 AB 分别交 PM、 PN 于点 E、F. （1）分别求出点 E、F 的坐标（用a的代数式表示点 E 的坐标，用b的代数式表示点 F 的坐标，只 须写出结果，不要求写出计算过程） ； （2）求OEF 的面积（结果用含a、b的代数式表示） ； （3）AOF 与BOE 是否一定相似，请予以证明.如果不一定相似或一定不相似，简要说明理由； （4）当点 P 在曲线 x y 2 1 上移动时，OEF 随之变动，指出在OEF 的三个内角中，大小始终保 持不变的那
26、个角的大小，并证明你的结论. )(baP， y x 问题图 x y F E N M B AO 第 15 页 共 18 页 【思路点拨】 在证明三角形相似时，EBOOAF 是较明显的，关键是证明两夹边对应成比例，这里用到了 点 P（a，b）在双曲线 x y 2 1 上这一重要条件，挖掘形的特征，并把形的因素转化为相应的 代数式形式是解本题的关键. 【答案与解析】 （1）点 E（a，a1） ，点 F（b1，b） （2） EPFFNOEMOMONPEOF SSSSS 矩形 2 ) 1( 2 1 )1 ( 2 1 )1 ( 2 1 babbaaab ) 1( 2 1 ba （3）AOF 与BOE 一定
27、相似，下面给出证明 OAOB1 FAOEBO BEaaa2)11 ( 22 AFbbb2)11 ( 22 点 P（a，b）是曲线 x y 2 1 上一点 12ab，即 AFBEOBOA1 BE OA OB AF AOFBOE （4）当点 P 在曲线 x y 2 1 上移动时，OEF 中EOF 一定等于 45，由（3）知，AFOBOE， 于是由AFOBBOF 及BOEBOFEOF EOFB45. 【总结升华】此题第（3） （4）问均为探索性问题， （4）以（3）为基础，在肯定（3）的结论后， （4） 的解决就不难了. 举一反三：举一反三： 【变式变式 1 1】如图所示，点 A 的坐标为(1，0)
28、，点 B 在直线 y-x 上运动，当线段 AB 最短时，点 B 的坐标 为( ) 第 16 页 共 18 页 A(0，0) B( 1 2 ,- 1 2 ) C( 2 2 ， 2 2 ) D( 1 2 ， 1 2 ) 【答案】当 AB 与直线 y-x 垂直时，AB 最短(如图所示) 直线 y-x， AOB45 AOB 是等腰直角三角形 过 B 作 BCx 轴于 C A(1，0)，OA1， 11 22 BCAO 此题选 B 【变式变式 2 2】在同一坐标系中，一次函数 y(1-k)x+2k+l 与反比例函数 k y x 的图象没有交点，则常数 k 的取值范围是_ 【答案】 由题意知 (1)21,
29、. yk xk k y x (1)21 k k xk x 两函数图象无交点， 10, 0, 0. k k 1 8 k 6如图所示，点 A(m，m+1)，B(m+3，m-1)都在反比例函数 k y x 的图象上 第 17 页 共 18 页 (1)求 m、k 的值； (2)如果 M 为 x 轴上一点，N 为 y 轴上一点，以点 A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求 直线 MN 的解析式 【思路点拨】 （1）直接把 A、B 两点的坐标代入解析式中就可以得到关于 m 的方程，解方程即可； （2）存在两种情况：当 M 点在 x 轴的正半轴上，N 点在 y 轴的正半轴上时和当 M 点在 x 轴
30、的负半轴上， N 点在 y 轴的负半轴上时无论哪种情况都可以利用平移知识求出 M、N 的坐标，然后利用待定系数法确 定直线 MN 的解析式； 【答案与解析】 (1)由题意可知 m(m+1)(m+3)(m-1) 解得 m3 A(3，4)，B(6，2) k4312 (2)存在两种情况，如图所示当 M 点在 x 轴的正半轴上，N 点在 y 轴的正半轴上时， 设 M1点坐标为(x1，0)，N1点坐标为(0，y1) 四边形 AN1M1B 为平行四边形， 点 A 对应点 N1，点 B 对应点 M1 点 A 的横坐标为 3，点 B 的纵坐标为 2 线段 N1M1可看做由线段 AB 向左平移 3 个单位，再向
31、下平移 2 个单位得到的 N1点的坐标为(0，4-2)，即 N1(0，2)； M1点的坐标为(6-3，0)，即 M1(3，0) 设直线 M1N1的函数表达式为 yk1x+2，把 x3，y0 代入，解得 1 2 3 k 直线 M1N1的函数表达式为 2 2 3 yx 当 M 点在 x 轴的负半轴上，N 点在 y 轴的负半轴上时， 设 M2点坐标为(x2，0)，N2点坐标为(0，y2) ABN1M1，ABM2N2，ABN1M1，ABM2N2， N1M1M2N2，N1M1M2N2 线段 M2N2与线段 N1M1关于原点 O 成中心对称 M1点坐标为(-3，0)，N2点坐标为(0，-2) 设直线 M2N2的函数表达式为 2 2yk x，把 x-3，y0 代入，解得 2 2 3 k 直线 M2N2的函数表达式为 2 2 3 yx 综上所述，直线 MN 的函数表达式为 2 2 3 yx 或 2 2 3 yx 第 18 页 共 18 页 【总结升华】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用.
