1、第 1 页 共 8 页 中考总复习：中考总复习：勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理（基础（基础） 【考纲要求】考纲要求】 1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法； 2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容； 3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题； 4.加强知识间的内在联系，用方程思想解决几何问题以体现代数与几何之间的内在联系 【知识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 考考点一、点一、勾股定理勾股定理 1.1.勾股定理：勾股定理： 直角三角形两直角边ab、的平方和等于斜边c的平方.（即： 222 abc） 【要点诠释】【要点诠释】勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯
2、定理我国古代把直角三角形中较短的直 角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三， 股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的 平方和等于斜边的平方. 2.2.勾股定理的证明：勾股定理的证明： 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法. 用拼图的方法验证勾股定理的思路是： 图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变； 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理. 3.3.勾股定理的应用勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要
3、应用是： 已知直角三角形的任意两边长，求第三边,在ABC中，90C，则 22 cab， 22 bca， 22 acb； 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系； 可运用勾股定理解决一些实际问题. 考考点二、勾股定理的逆定理点二、勾股定理的逆定理 1.1.原命题与逆命题原命题与逆命题 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果 第 2 页 共 8 页 把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 2.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长abc、 、，满足 222 abc，那么这个三角形是直角三角形. 【
4、要点诠释】【要点诠释】 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确 定三角形的可能形状； 定理中a，b，c及 222 abc只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c 满足 222 acb，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边； 勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角 形是直角三角形. 3.3.勾股数勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 222 abc中，a，b，c为正整数时，称 a，b，c为一组勾股数； 记住常见的勾股数可以提高解题速
5、度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等； 用含字母的代数式表示n组勾股数： 22 1,2 ,1nn n（2,nn为正整数） ； 22 21,22 ,221nnnnn（n为正整数） 2222 ,2,mnmn mn（,mnm，n为正整数）. 考考点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 【典型例题】【典型例题】 类型一、勾股定理及其逆定理的综合应用类型一、勾股定理及其逆定理的综合应用
6、1 （2014 春河西区期末）在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 为 CD 上一点，且， 试判断 AEF 是否是直角三角形？试说明理由 【思路点拨】首先设正方形的边长为 4a，则 CF=a，DF=3a，CE=BE=2a根据勾股定理可求出 AF，AE 和 EF 的长度如果它们三个的长度满足勾股定理， AEF 为直角三角形，否则不是直角三角形 【答案与解析】 解：设正方形的边长为 4a， 第 3 页 共 8 页 E 是 BC 的中点， CF=a，DF=3a，CE=BE=2a 由勾股定理得： AF2=AD2+DF2=16a2+9a2=25a2， EF2=CE2+CF2=4a2+a2=5
7、a2， AE2=AB2+BE2=16a2+4a2=20a2， AF2=EF2+AE2， AEF 为直角三角形 【总结升华】勾股定理的应用在解答此类题时有一个小窍门，题干中各边长都没有给出确定的值，我 们已知各边长的比值，这时我们可以将边长设成具体的值这样解题时用到的都是数字，表达方便 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图，矩形 ABCD 的对角线 AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（ ）. A.14 B.16 C.20 D.28 【答案】D. 根据题意可知五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的四周，故即可得出答案： AC=10，BC=8， AB=6， 图中五个小矩形的周长之
8、和为：6+8+6+8=28 2如图所示，四边形 ABCD 中，DCAB，BC=1，AB=AC=AD=2.则 BD 的长为（ ）. A.14 B.15 C. 23 D. 32 【思路点拨】以 A 为圆心，AB 长为半径作圆，延长 BA 交A 于 F，连接 DF在BDF 中，由勾股定理即 可求出 BD 的长 【答案与解析】 以 A 为圆心， AB 长为半径作圆， 延长 BA 交A 于 F， 连接 DF 可证FDB=90， F=CBF， DF=CB=1，BF=2+2=4， BD= 22 15BFDF故选 B 【总结升华】本题考查了勾股定理，解题的关键是作出以 A 为圆心，AB 长为半径的圆，构建直角
9、三角形 第 4 页 共 8 页 从而求解 举一反三：举一反三： 【变式变式】 （2015黄冈模拟）如图，圆柱的底面周长为 6cm，AC 是底面圆的直径，高 BC=6cm，点 P 是 母线 BC 上一点且 PC= BC一只蚂蚁从 A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点 P 的最短距离是（ ） A （4+）cm B5cm C2cm D7cm 【答案】B. 【解析】 解：侧面展开图如图所示： 圆柱的底面周长为 6cm， AC=3cm PC= BC， PC= 6=4cm 在 Rt ACP 中，AP2=AC2+CP2， AP=5故选：B 类型二、勾股定理及其逆定理与其他知识的结合应用类型二、勾股定理及其逆定
10、理与其他知识的结合应用 3如图，在 RtABC 中，ACB90，ACBC1，将 RtABC 绕 A 点逆时针旋转 30后得到 R tADE，点 B 经过的路径为弧 BD，则图中阴影部分的面积是_ 第 5 页 共 8 页 【思路点拨】先根据勾股定理得到 AB2，再根据扇形的面积公式计算出 S扇形 ABD，由旋转的性质得到 RtADERtACB，于是 S阴影部分SADES扇形 ABDSABCS扇形 ABD 【答案与解析】 ACB90，ACBC1， AB2， S扇形 ABD 6360 )2(30 2 , 又RtABC 绕 A 点逆时针旋转 30后得到 RtADE， RtADERtACB， S阴影部分
11、SADES扇形 ABDSABCS扇形 ABD 6 【总结升华】本题考查了扇形的面积公式： 360 2 Rn S 也考查了勾股定理以及旋转的性质 考点涉及到扇形面积的计算；勾股定理；旋转的性质. 4. 如图，矩形纸片 ABCD 中，已知 AD=8，折叠纸片使 AB 边与对角线 AC 重合，点 B 落在点 F 处， 折痕为 AE，且 EF=3，则 AB 的长为( ). A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【思路点拨】先根据矩形的特点求出 BC 的长，再由翻折变换的性质得出CEF 是直角三角形，利用勾股 定理即可求出 CF 的长，再在ABC 中利用勾股定理即可求出 AB 的长 【答案与解析】四边
12、形 ABCD 是矩形，AD=8， BC=8， AEF 是AEB 翻折而成， BE=EF=3，AB=AF，CEF 是直角三角形， CE=8-3=5， 在 RtCEF 中，CF= 2222 534CEEF ， 设 AB=x， 在 RtABC 中，AC 2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得 x=6， 故选 D 【总结升华】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后 图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键 第 6 页 共 8 页 举一反三：举一反三： 【变式变式】 （2011 台湾）如图为梯形纸片 ABCD，E 点在 BC
13、 上，且AECCD90，AD3，BC9, CD8若以 AE 为折线，将 C 折至 BE 上，使得 CD 与 AB 交于 F 点，则 BF 长度为何（ ）. A4.5 B5 C5.5 D6 【答案】B 5 一个正方体物体沿斜坡向下滑动， 其截面如图所示 正方形 DEFH 的边长为 2 米， 坡角A30， B90，BC6 米当正方形 DEFH 运动到什么位置，即当 AE 米时，有 DC 2AE2BC2 【思路点拨】根据已知得出假设 AEx，可得 EC12x，利用勾股定理得出 DC 2DE2EC24（12 x） 2，AE2BC2x236，即可求出 x 的值 【答案与解析】 假设 AEx，可得 EC1
14、2x， 坡角A30，B90，BC6 米， AC12 米， 正方形 DEFH 的边长为 2 米，即 DE2 米， DC 2DE2EC24（12x）2， AE 2BC2x236， DC 2AE2BC2， 4（12x） 2x236， 解得：x 3 14 故答案为： 3 14 第 7 页 共 8 页 【总结升华】此题主要考查了勾股定理的应用以及一元二次方程的应用，根据已知表示出 CE，AE 的长 度是解决问题的关键 6 . 某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造测得两直角边长为 6m、8m现要将其扩建成 等腰三角形，且扩充部分是以 8m 为直角边的直角三角形 求扩建后的等腰三角形花圃的周长 【思路点
15、拨】原题并没有给出图形，要根据题意画出符合题意的图形，画出图形后，可知本题实际上应 三类情况讨论：一是将ABC 沿直线 AC 翻折 180后，得等腰三角形 ABD，如图 1；二是延长 BC 至点 D， 使 CD4，则 BDAB10，得等腰三角形 ABD，如图 2；三是作斜边 AB 的中垂线交 BC 的延长线于点 D， 则 DADB，得等腰三角形 ABD，如图 3先作出符合条件的图形后，再根据勾股定理进行求解即可 【答案与解析】分三类情况讨论如下： （1）如图 1 所示，原来的花圃为 RtABC，其中 BC6m，AC8m，ACB90由勾股定理易知 AB 10m，将ABC 沿直线 AC 翻折 18
16、0后，得等腰三角形 ABD，此时，AD10m，CD6m故扩建后的等 腰三角形花圃的周长为 12101032（m） （2）如图 2，因为 BC6m，CD4m，所以 BDAB10m，在 RtACD 中，由勾股定理得 AD 22 84 45，此时，扩建后的等腰三角形花圃的周长为 4510102045 （3）如图 3，设ABD 中 DADB，再设 CDxm，则 DA(x6)m，在 RtACD 中，由勾股定理得 x 282 (x6) 2，解得 x 3 7 扩建后等腰三角形花圃的周长102(x6) 3 80 （m） 图1 6 6 8 D C B A 图2 4 8 6 B C A D 图3 x+6 x 6
17、8 B C D A 【总结升华】对于无附图几何问题，往往需要根据题意画出图形，结合已知条件及图形分析求解，这样 便于寻找解题思路 举一反三：举一反三： 第 8 页 共 8 页 【变式变式】 “希望中学”有一块三角形形状的花圃 ABC，现可直接测量到A=30，AC=40m，BC=25m，请 求出这块花圃的面积 【答案】 作 CDAB A=30， CD= 1 2 AC= 1 2 40=20（m） ， AD= 22 20 3ACCD（m） ， BD= 22 BCCD15（m） （1）当ACB 为钝角时，AB=AD+BD=20 3+15， SABC= 1 2 ABCD= 1 2 （20 3+15）20=（2003+150） （m 2） （2）当ACB 为锐角时，AB=AD-BD=203-15 SABC= 1 2 ABCD= 1 2 ABCD= 1 2 (203-15)20=（2003-150） （m 2）
