1、第 1 页 共 6 页 一次函数的应用（基础）一次函数的应用（基础） 【学习目标】【学习目标】 1. 能从实际问题的图象中获取所需信息； 2. 能够将实际问题转化为一次函数的问题并准确的列出一次函数的解析式； 3. 能利用一次函数的图象及其性质解决简单的实际问题； 4. 提高解决实际问题的能力认识数学在现实生活中的意义，发展运用数学知识解决实际 问题的能力 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、数学建模的一般思路数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建 模的过程中， 为了既合乎实际问题又能求解， 这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽
2、象 化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节 是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 要点二、要点二、正确认识实际问题的应用正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的 函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组） 、不等式（组）及图象求解. 要点诠释：要点诠释：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的 热门考点. 要点三、要点三、选择最简方案问题选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系， 结合一次函数的解析式及图象， 通过比 较函数值的大小等， 寻
3、求解决问题的最佳方案， 体会函数作为一种数学模型在分析解决实际 问题中的重要作用. 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、简单的简单的实际问题实际问题 1、在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y（千米）随时间x（时）变化的图 象（全程）如图所示.下列说法正确的有（ ） ： 起跑后 1 小时内，甲在乙的前面； 第 1 小时两人都跑了 10 千米； 甲比乙先到达终点； 两人都跑了 20 千米. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】【答案】C； 第 2 页 共 6 页 【解析】【解析】正确.在起跑 1 小时以内，甲的图象始终在乙的图象的上方，故甲在乙的前 面；第一
4、小时，两人所跑的路程均为 10 千米；乙比甲先到达终点；乙的速度是 10 千米/时，2 小时跑了 20 千米，甲也跑了同样的路程. 【总结升华总结升华】 本题考查了识别函数图象的能力， 是一道较为简单的题， 观察图象提供的信息， 再分析这四个结论 举一反三：举一反三： 【变式】如图 OB、AB 分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运 动路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：甲让乙先跑 12 米；甲的速 度比乙快 1.5 米/秒；8 秒钟内，乙在甲前面；8 秒钟后，甲超过了乙，其中正 确的说法是（ ） A B C D 【答案】【答案】B； 提示：由图形，t0 时，甲在
5、乙前边 12 米，即甲让乙先跑 12 米，故正确； 当t8 秒时，甲追上了乙，所以甲的速度比乙快 1281.5 米/秒，故正确； 8 秒钟内，AB 在 OB 的上面，即可知乙在甲前面，故正确；8 秒钟后，AB 在 OB 的下面，即可知甲超过了乙，故正确 故选择 B 类型二、方案选择问题类型二、方案选择问题 2、某办公用品销售商店推出两种优惠方案：购一个书包，赠送一支水性笔；购书 包和水性笔一律按 9 折优惠，书包每个定价 20 元，水性笔每支定价 5 元，小丽和同学 需买 4 个书包，水性笔若干(不少于 4 支) (1)分别写出两种优惠方法购买费用y(元)与所买水性笔支数x(支)之间和函数关系
6、 式； (2)对x的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜； (3)小丽和同学需买这种书包 4 个和水性笔 12 支，请你设计怎样购买最经济 【答案与解析】【答案与解析】 解：(1)根据题意可得： 方案购买费用 1 y与购买水性笔支数x之间的函数关系式： 1 y4205(x4)5x60(x4)； 方案购买费用 2 y与购买水性笔支数x之间的函数关系式； 2 y4200.950.9x4.5x72(x4) 第 3 页 共 6 页 (2)在同一坐标系内分别画出 1 y与 2 y的图象，如图所示，由图象可知： x24 时，两个函数的函数值相等； x24 时，对同一个x， 1 y上的点都在 2
7、 y上的点的上边即 1 y 2 y； 4x24 时，对同一个x， 2 y上的点都在 1 y上的点的上边即 1 y 2 y 可得优惠方案：当购买 24 支水性笔时，方案与方案同样优惠；当购买水性笔不少 于 4 支但没超过 24 支时，方案收费少，选方案；当购买水性笔超过 24 支时，方案收 费少，选方案. (3)小丽购买 4 个书包，12 支水性笔时，1224，应在方案中，费用y51260 120（元） 但题中有一个条件不可忽视，方案购买 4 个书包赠 4 个水性笔，而方案中一律 9 折， 这让人不得不想到还可这样购买 两种优惠全用， 在方案中买 4 个书包这样得 4 支笔， 总共买 12 支笔
8、还差 8 支，去方案中打 9 折购买，算一算总费用y42050.98 8036116（元） ；而 116120 故小丽这样买最经济：按方案买 4 个书包得 4 支水性笔按方案买余下的 8 支水 性笔 【总结升华总结升华】 （2）对x的取值情况进行分析选择优惠方案就是利用图象找x取何值时，值相 等的这个临界点，然后再根据图象谁在上面，在上面的图象花费大，在下面的图象花费小 举一反三：举一反三： 【变式】某学校的复印任务原来由甲复印社承接，其收费y（元）与复印页数x（页）的关 系如下表： x(页) 100 200 400 1000 y(元) 40 80 160 400 若y与x满足初中学过的某一函
9、数关系，求函数的解析式； 现在乙复印社表示：若学校先按每月付给 200 元的承包费，则可按每页 0.15 元收费。则 乙复印社每月收费y（元）与复印页数x（页）的函数关系为_； 在给出的坐标系内画出（1） 、 （2）中的函数图象，并回答每月复印页数在 1200 左右应选 择哪个复印社？ 第 4 页 共 6 页 【答案】【答案】 解：.04 . 0xxy .020015. 0xxy 由图象可知，当每月复印页数在 1200 左右，应选择乙复印社更合算. 3、某工厂现有甲种原料 360 千克，乙种原料 290 千克，计划用这两种原料生产 A、B 两种产品共 50 件，己知生产 l 件 A 种产品需用
10、甲种原料 9 千克，乙种原料 3 千克，可 获利 700 元；生产 1 件 B 种产品，需用甲种原料 4 千克，乙种原料 10 千克，可获利润 1200 元 (1)按要求安排 A、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案?请你设计出来 (2)设生产 A、B 两种产品获总利润为y元，其中生产 A 种产品的件数为x，试写出y与 x之间的函数解析式， 并利用函数性质说明(1)中哪种生产方案获总利润最大？最大 利润是多少？ 【思路点拨】【思路点拨】（1）设工厂可安排生产x件 A 产品，则生产（50-x）件 B 产品，根据不能多 于原料的做为限制列出不等式组求解（2）可以分别求出三种方案比较即可，也可以根据
11、 B 生产的越多，A 少的时候获得利润最大 【答案与解析】【答案与解析】 解：本题给出的信息繁杂、数据较多，可用列表分析， 第 5 页 共 6 页 (1)设安排生产 A 种产品x件，则 B 种产品为(50x)件， 由题意得 94 (50)360, 310 (50)290. xx xx 解得3032x x是整数， x只能取 30、31、32 生产方案有三种，分别为 A 种 30 件，B 种 20 件；A 种 31 件，B 种 19 件； A 种 32 件，B 种 18 件 (2)由生产 A 种产品的件数为x，则y700x1200(50x)500x60000， y是x的一次函数， k5000，根据
12、一次函数的性质， y随x的增大而减小， 当x30，y值最大，y 最大 500306000045000， 即安排生产 A 种产品 30 件，B 种产品 20 件时，获得利润最大， 最大利润是 45000 元 【总结升华总结升华】 本题的最值问题是利用解不等式和一次函数的性质， 并要注意自变量的实际取 值范围 4、某送奶公司计划在三栋楼之间建一个取奶站，三栋楼在同一条直线，顺次为 A 楼、 B 楼、C 楼，其中 A 楼与 B 楼之间的距离为 40 米，B 楼与 C 楼之间的距离为 60 米已 知 A 楼每天有 20 人取奶，B 楼每天有 70 人取奶，C 楼每天有 60 人取奶，送奶公司提 出两种
13、建站方案 方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小； 方案二： 让每天 A 楼与 C 楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于 B 楼所有取奶的人到奶 站的距离之和 (1)若按照方案一建站，取奶站应建在什么位置? (2)若按照方案二建站，取奶站应建在什么位置? 【思路点拨】【思路点拨】（1）设取奶站建在距 A 楼x米处，所有取奶的人到奶站的距离总和为y米， 求出各函数在自变量下的最小值，（2）设取奶站建在距 A 楼x米处，列出等量关系式，解 得x 【答案与解析】【答案与解析】 解：(1)设取奶站建在距 A 楼x米处，所有取奶的人到奶站的距离总和为y米 当 0x40 时， y20x70(40x)
14、60(100x)1l0x8800 当x40 时，y的最小值为 4 400 当 40x100 时， y20x70(x40)60(100x)30x3200 此时，y的值大于 4400 第 6 页 共 6 页 因此按方案一建奶站，取奶站应建在 B 楼处 (2)设取奶站建在距 A 楼x米处 当 0x40 时，20x60(100x)70(40x)， 解得 320 0 3 x （舍去） 当 40x100 时，20x60(100x)70(x40)， 解得x80，因此按方案二建奶站，取奶站应建在距 A 楼 80 米处 【总结升华总结升华】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题注 意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变 量的取值范围确定最值
