1、第 1 页 共 4 页 二次根式的乘除运算二次根式的乘除运算知识讲解知识讲解（提高提高） 【学习目标】【学习目标】 1.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算. 2.能运用二次根式的有关性质进行分母有理化. 【要点梳理】【要点梳理】 要点要点一一、二次根式的、二次根式的乘乘法法 1 1. .乘法法则：乘法法则： （a0，b0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 要点诠释：要点诠释： (1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中 a、b 都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2)该法则可
2、以推广到多个二次根式相乘的运算： 0，0，0）. (3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 要要点二、二次根式的除法点二、二次根式的除法 1 1. .除法法则：除法法则： () aa abab bb 或（a0，b0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数 相除. 要点诠释：要点诠释： (1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数 a、b 的取值范围应特别注意，a0，b0， 因为 b 在分母上，故 b 不能为 0. (2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中 分母不能带根号. 要点要点三三、分母有理化分母有理化 1 1
3、. .分母有理化分母有理化 把分母中的二次根式化去叫做分母有理化. 2.2.有理化因式有理化因式 两个含有二次根式的代数式相乘， 如果它们的积不含有二次根式， 就说这两个代数式互为有理化因式. 有理化因式确定方法如下： 单项二次根式：利用aaa来确定，如：aa与，abab与，ba 与ba 等 分别互为有理化因式. 两项二次根式：利用平方差公式来确定.如ab与ab，abab与， a xb ya xb y与分别互为有理化因式. 要点诠释：要点诠释： 分母有理化的方法与步骤：先将分子、分母化成最简二次根式； 将分子、分母都乘以分母的 有理化因式，使分母中不含根式；最后结果必须化成最简二次根式或有理式
4、. 第 2 页 共 4 页 【典型例题】【典型例题】 类型一、二次根式的乘除类型一、二次根式的乘除运算运算 1.（1） 2 1 5 2 1 ) 7 4 1 8 1 ( 2 1 33 （2） 243 )2()()(aaa 【答案与解析】 （1）原式= 71 1111117112 3()3 () 2 2872282711 = 3 4 (2)原式= 22 1 2 2 a a aaa a 【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简. 举一反三举一反三 【变式】 b ba ba x x ba 5 4 336 2 2 2 22 【答案】原式= 222 2 5 2 1 4633 abxa
5、b xabb = 2 2 5()()55 2 263()21812 ab abxbb b xabab 2.计算 (1)(-)(m0，n0)； (2)-3() (a0). 【思路点拨】复杂的二次根式计算，要注意在化简过程中运用幂的乘除运算和因式分解运算. 【答案与解析】 (1)原式=-=-=-； (2)原式=-2=-2=-a. 【总结升华】熟练乘除运算，更要加强运算准确的训练. 举一反三举一反三： 第 3 页 共 4 页 【变式】已知，且 x 为偶数，求(1+x)的值 【答案】由题意得，即 6x9，x 为偶数，x=8 原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)= 当 x=8 时，原式的值=6 类型
6、二、分母有理化类型二、分母有理化 3. 把下列各式分母有理化： 2 (1) 5 22 (2) ab ab (3) ab ab 【思路点拨】找分母有理化因式. 【答案与解析】 （1） 5 52 55 52 5 2 （2）baba ba baba baba baba ba ba )( )()( 222222 （3）ba baba baba ba ba )()( )()( 【总结升华】有理化因式不止一个，但以它们的乘积较简为宜.显然，ab与ab，ab与 ab，ab 与ab 都是互为有理化因式. 举一反三举一反三： 【变式】计算： 111 122399100 第 4 页 共 4 页 【答案】 1001 4. 已知 23 23 x ， 23 23 y ，求下列各式的值： （1） xy xy ； （2） 22 3xxyy. 【思路点拨】先把 x、y 的值分母有理化，再分别代入所求的两个式子即可. 【答案与解析】 2323 74 3,74 3 2323 xy （1） 74 374 37 3 1274 374 3 xy xy 22 22 (2)3 (74 3)3(74 3)(74 3)(74 3) 194 xxyy 【总结升华】此题考查分母有理化与二次根式乘除的应用.
