1、第 1 页 共 3 页 二次根式二次根式知识讲解知识讲解（提高）（提高） 【学习目标】【学习目标】 1 1、理解二次根式及最简二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由. 2 2、理解并掌握下列结论： a0， （a0） ， （a0） ，（a0） ，并利用它 们进行计算和化简 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、二次根要点一、二次根式的概念式的概念 一般地，我们把形如(a0)的式子叫做二次根式， “”称为二次根号 要点诠释：要点诠释： 二次根式的两个要素：根指数为 2；被开方数为非负数. 要点二、二次根式的要点二、二次根式的性质性质 1.a0， （a0） ； 2. （a0） ； 3 4.积的算术平
2、方根等于积中各因式的算术平方根的积，即（a0，b0）. 5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商， 即() aa abab bb 或（a0，b0）. 要点诠释：要点诠释： （1）二次根式(a0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即 2 () (0aaa ）. （2） 2 a 与 2 ()a要注意区别与联系： a的取值范围不同， 2 ()a中a0， 2 a 中a为任意值。 a0 时， 2 ()a= 2 a =a；a0 时， 2 ()a无意义， 2 a =a. 要点三、最简二次根式要点三、最简二次根式 （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开
3、方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式. 要点诠释：要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况： （1) 被开放数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式. 第 2 页 共 3 页 【典型例题】【典型例题】 类型一、二次根式的概念类型一、二次根式的概念 1当 x 是_时，+在实数范围内有意义？ 【答案】 x-且 x-1 【解析】依题意，得 由得：x- 由得：x-1 当 x-且 x-1 时，+在实数范围内有意义. 【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念. 举一反三举一反三： 【变式】方程480xxym，当0y 时，m的取值范围是（ ） A
4、01m B.m2 2 C.2m D.m2 【答案】C. 类型二、二次根式的性质类型二、二次根式的性质 2.根据下列条件，求字母 x 的取值范围： (1)； (2). 【答案与解析】(1) (2) 【总结升华】二次根式性质的运用. 举一反三举一反三： 【变式】x取何值时，下列函数在实数范围内有意义？ （1） y=x 1 1 x ,_；（2） y=22 2 xx， _； 【答案】(1) 01001xxxx ， 且 （2） 22 22(1)10,xxxx 为任意实数. 第 3 页 共 3 页 3.已知0a，那么 2 2aa可化简为（ ） A.a B.a C.3a D.3a 【答案】C 【解析】0,=
5、 -233aaaaa 原式. . 【总结升华】重点考查二次根式的性质：. 类型三、最简二次根式类型三、最简二次根式 4.化简： 111 . 122389 【思路点拨】此类题型为规律题型，应该是在分母有理化的基础上寻找规律. 【答案与解析】原式= 1 ( 21)1 ( 32)19- 8 . (12)( 21)( 23)( 32)+9- 8 （） （ 89)(） =2132.98 = 91 =2 【总结升华】找出规律，是这一类型题的特点，要总结此类题型并加以记忆. 举一反三举一反三： 【变式】若 23 23 的整数部分是a，小数部分是b，求 22 aabb的值. 【答案】 2 (23)(23) =2+ 3 =7+4 3 (23)(23) 原式（） 又因为整数部分是a，小数部分是b 则a=13，b=4 36 2222 1313 (4 36)(4 36)aabb=331 100 3
