1、教师姓名 学生姓名 年 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢级 初二 上课时间 学 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢科 数学 课题名称 二次根式复习（二） 待提升的知 识点/题型 1理解二次根式的概念，会利用概念判别二次根式、求字母的取值范围； 2掌握二次根式的性质和运算法则，会运用它们求字母的取值范围、化简和计算； 3掌握最简二次根式、同类二次根式的概念，会判别最简二次根式与同类二次根式 知识梳理知识梳理 【主要内容】【主要内容】 本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，引入一个符号“”主要内容有： （1）二次根式的有关概念，如：二次根式定义
2、、最简二次根式、同类二次根式等；（2）二次根 式的性质；（3）二次根式的运算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加减法等 【要点归纳】【要点归纳】 1. 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个 非负数时，才有意义 2. 二次根式的性质： 3. 二次根式的运算 二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减 （1）二次根式的加减： 需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减， 被开方数不变。 注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同 类二次根式合并但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分
3、母，不含能开得尽的因数 （2）二次根式的乘法： （3）二次根式的除法： 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边， 同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式 （4）二次根式的混合运算： 先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法 公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算 注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧， 以便使运算过程简便二次根式运算结果应尽可能化简另外，根式的分数必须写成假分数或真分 数，不能写成带分数例如不能写成 （5）有理化因式： 一般常见
4、的互为有理化因式有如下几类： 与； 与； 与； 与 说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化 知识精析知识精析 考点分类精解考点分类精解 考点考点 1 1、二次根式的定义、二次根式的定义 例 1： y x 是二次根式，则yx、应满足的条件是（ ） A、0x且0y B、0 y x C、0x且0y D、0 y x 例 2：已知二次根式 2 n nm的值为 2，则mn_。 归纳：提及某个式子是二次根式，主要观察两方面：归纳：提及某个式子是二次根式，主要观察两方面：1 1、被开方数非负；、被开方数非负；2 2、根指数为、根指数为 2.2. 判断某个式子是否是二次根式也主要看这两点判断某个式子是否是二
5、次根式也主要看这两点. . 变式探究 1： 1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A、a B、 32 1a C、 b a D、 22 2baba 2、因为24 ，所以4不是二次根式.这个说法_（填“是”或“不是” ）正确的. 3、若代数式 nm 3为二次根式，则_22 nm. 考点考点 2 2、二次根式有意义的条件、二次根式有意义的条件 例 3：x取值为多少的时候下列各式有意义. （1）12 x （2）44 2 xx （3） y 2 （4） x x 3 （5） 3 52 x x （6）xx3132 例 4：已知 2 1 88xxy，求 y x的值. 归纳：通常二次根式有意义的条件是被开方数
6、非负；如果是多个二次根式组合的式子，则必须保归纳：通常二次根式有意义的条件是被开方数非负；如果是多个二次根式组合的式子，则必须保 证每个二次根式都有意义；若分母（或除数）中含有字母，还需要保证分母（或除数）不为证每个二次根式都有意义；若分母（或除数）中含有字母，还需要保证分母（或除数）不为 0.0. 变式探究 2： 1、如果代数式 mn m 1 有意义，那么直角坐标系中点 P（m，n）的位置在（ ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 2、求 2 31294aaaa的值. 3、若实数yx、满足111xxy，求 1 1 y y . 考点考点 3 3、二次根式的性质、二次根式的
7、性质. . 例 5：把 a a 1 的根号外的因式移到根号内等于_. 例 6：使等式11) 1)(1(xxxx成立的条件是_. 例 7：已知xx22，则x的取值范围为_. 例 8：已知cba、在数轴上的位置如下图所示，化简： 2 2 ) 1(2bccaaa 归纳：对二次根式的变形都是依据二次根式的性质，解这一类型的问题，一定要熟记性质内容以归纳：对二次根式的变形都是依据二次根式的性质，解这一类型的问题，一定要熟记性质内容以 及各性质的前提条件及各性质的前提条件. .要善于从题目中提取信息要善于从题目中提取信息. . 变式探究 3： 1、若02ba，把 a b a的根号外的因式移到根号内等于_.
8、 2、若等式 y x y x 成立，则yx、应满足条件（ ） A、0x且0y B、0 y x C、0x且0y D、0 y x 3、已知aa 2 ，化简：21)( 2 2 babab. 4、已知cba、分别为三角形三边长，化简：2 2 acbcba）（. 考点考点 4 4：最简二次根式与同类二次根式：最简二次根式与同类二次根式. . 例 9：若ab是最简二次根式，则ba、的值可能是（ ） A、1412ba、 B、219ba、 C、1615ba、 D、5213ba、 例 10、若27与a16是同类二次根式，则a的最小值为_. 例 11：若0ab，化简ba2等于_. 例 12：下列各选项中，哪一组是
9、同类二次根式（ ） A、3与13 B、3与9 C、3与313 D、3与3 2 a 归纳：明确最简二次根式的主要特征：被开方数不含分母；被开方数不含开得尽方的因数归纳：明确最简二次根式的主要特征：被开方数不含分母；被开方数不含开得尽方的因数. . 明确同类二次根式的概念：化为最简二次根式之后被开方数相同的二次根式是同类二次根明确同类二次根式的概念：化为最简二次根式之后被开方数相同的二次根式是同类二次根 式式. . 变式探究 4： 1、下面说法正确的是（ ） A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式 B. 8与80是同类二次根式 C. 2与 1 50 不是同类二次根式 D. 同类二次根式是根
10、指数为 2 的根式 2、最简二次根式4 2 a和167 a是同类二次根式，则a的值为_. 3、已知0ab，化简二次根式 a b2 . 考点考点 5 5、有理化因式和分母有理化、有理化因式和分母有理化. . 例 13、写出下列各式的有理化因式. a ab anb ab anbm 例 14：将下列各式分母有理化. （1） 3 1 （1） 32 1 （1） 35 1 （1） 3352 1 归纳：确定一个式子的有理化因式的方法归纳：确定一个式子的有理化因式的方法 若这个式子只有一项，把这个式子化为最简二次根式之后的无理数因式与任意非零有理数若这个式子只有一项，把这个式子化为最简二次根式之后的无理数因式
11、与任意非零有理数 的乘积都是这个式子的有理化因式；若这个式子表现为和或差的形式，则可以采用平方差公式，的乘积都是这个式子的有理化因式；若这个式子表现为和或差的形式，则可以采用平方差公式， 取与之对应的差或和作为这个式子的有理化因式取与之对应的差或和作为这个式子的有理化因式. . 将一个式子分将一个式子分母有理化，就是将分子、分母同时分母的有理化因式，结果中分子、分母能约母有理化，就是将分子、分母同时分母的有理化因式，结果中分子、分母能约 分的要约分分的要约分. . 变式探究 5： 1、753的有理化因式为_. 2、 对于任意不相等的两个数 a， b， 定义一种运算如下： ab= ba ba ，
12、 如 32=5 23 23 那 么 124= 3、解不等式33) 1(32) 1(11xx 4、已知： 2 53 x， 2 53 y，求 22 yxyx的值 . 5、已知 a 是5整数部分，b 是 5的小数部分，求 1 2 a b 的值。 考点考点 6 6、二次根式非负性的运用、二次根式非负性的运用 例 15：已知0)2(53 2 cba，求cba. 归纳：我们已经学习了归纳：我们已经学习了a、a、 n a2（即二次根式、绝对值和一个数的偶次幂（即二次根式、绝对值和一个数的偶次幂）这些非负数，只）这些非负数，只 要是多个非负数和为要是多个非负数和为 0 0，那么这些非负数一定同时为，那么这些非
13、负数一定同时为 0.0. 变式探究 6： 1、已知23x和 2 4）（y互为相反数，求yx2的值. 2、已知xx2，求x的值. 考点考点 7 7：二次根式的大小比较与计算：二次根式的大小比较与计算 例 16：比较下列各组数的大小. 65和56 2 31 与 1 21 比较1415 与1314 的大小。 归纳：常用的二次根式比较大小的方法：归纳：常用的二次根式比较大小的方法：根式变形法根式变形法 平方法、分母有理化法等平方法、分母有理化法等 例 17：二次根式的运算. 1、计算： 33 1264 4 x xx x 2、计算： 5 1 3 3 1 5 2 3 75. 04 3、计算: 2 1 1
14、2 1 23 2 236 ）（ 归纳归纳 ：二次根式的运算顺序：二次根式的运算顺序： （1 1）在运算过程中，有理数）在运算过程中，有理数( (式式) )中的运算律，在二次根式中仍然适用，有理数中的运算律，在二次根式中仍然适用，有理数( (式式) )中的乘法中的乘法 公式在二次根式中仍然适用；公式在二次根式中仍然适用； （2）二次根式的运算结果可能是有理式，也可能是二次根式，若是二次根式，一定要化成二次根式的运算结果可能是有理式，也可能是二次根式，若是二次根式，一定要化成最最 简二次根式简二次根式. . 课堂测评课堂测评 1、若 6 2 4 m 与 4 32m 可以合并，则 m 的值不可以是（
15、 ） A、 13 20 B、 26 51 C、 8 13 D、 4 7 2、已知7=a，70=b，则4.9=（ ） A 10 ab B 10 ba C b a D 10 ab 3、若0a，化简： 22 ) 1 (4) 1 (4 a a a a. 4、已知xxx20132012，求 2 2013x. 5、已知00ba、且)5(3)(babbaa，求 abba abba 32 的值. 6、观察下列等式. 3145 22 ；53817 22 ；751237 22 ； 根据上述规律解决下列问题： （1）完成第个等式：_1665 22 ； （2）写出你猜想的第 n 个算式（用含 n 的式子表示） ，并证
16、明其准确性. 链接中考链接中考 （一） 、选择题： 1、 （上海中考）在下列二次根式中，与a是同类二次根式的是（ ） A2a B 2 3a C 3 a D 4 a 2、 （12上海中考）在下列各式中，二次根式a b-的有理化因式（ ） A+a b； B+ab； Ca b-； Dab- 3、 （14上海中考）计算23的结果是（ ） (A) 5； (B) 6； (C) 2 3； (D) 3 2 4、 （13上海中考）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） （A） 9； （B） 7 ； （C） 20 ； （D） 1 3 5、 （16上海中考）方程21 x的解为_. 6、 （17绵阳中考）已知n12是
17、正整数，则实数n的最大值为（ ） A、12 B、11 C、8 D、3 7、 （17淄博中考）计算12 3 1 的结果是（ ） A、3 3 7 B、23 3 3 C、3 D、3 3 5 8、（17荆门中考）若 2 )(11yxxx，则yx的值为（ ） A、1 B、1 C、2 D、3 （二） 、填空题 9、（16徐汇期中） 函数 x x y 5 的定义域为 . 10、（16徐汇期中）不等式：152xx的解集是_. 11、（17日照）xx33 2 ）（，则x的取值范围为_. 10、 （17白银）已知yx、为实数，且499 22 xxy，则 yx_. 11、 （17德州）若2 2 44 xx y，则
18、y yx）（ =_. 12、 （17黔南州）实数a在数轴上的位置如图，化简aa 2 1 ）（=_. 13、 （17孝感）已知32x，则代数式332347 2 xx的值为_. 回顾总结回顾总结 【难点指导】【难点指导】 1、如果是二次根式，则一定有；当时，必有； 2、当时，表示的算术平方根，因此有；反过来，也可以将一个非负数写 成的形式； 3、表示的算术平方根，因此有，可以是任意实数； 4、区别和的不同： 中的可以取任意实数，中的只能是一个非负数，否则无意义 5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径： （1）因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号外即： （2）因式外移时，若被开数中字母取
19、值范围未指明时，则要进行讨论即： 6、二次根式的比较： （1）若，则有；（2）若，则有 说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小 课后巩固课后巩固 （一） 、选择题： 1、 下列各式中，不属于最简二次根式的是 （ ） A、 3 3x B、 x30 C、35. 0 D、 22 ab 2、下列各组二次根式中，属同类二次根式的是（ ） A、a4与a8 B、yx3与 2 1 xy C、18与 2 1 D、3与3 . 0 3、对于二次根式 2 9x ，以下说法中不正确的是（ ） A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数 C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为 3 4、小明的
20、作业本上有以下四题： 24 416aa； aaa25105； a a a a a 11 2 ； aaa23。做错的题是（ ） A B C D 5、化简二次根式 2 2 a a a 的结果是（ ） A、2a B、2a C、2a D、2a （二） 、填空题 1当 x_时，式子 3 1 x 有意义。 2. 化 简 ：1 2 a ； 2 (23)= ； a a3 = ； 3.若最简根式 42 3 a ba与ba是同类根式，则2_ab 4.若3的整数部分是 a，小数部分是 b，则ba3 。 5不等式(12)1x的解集为 . 6.写出3a的一个有理化因式 . 7.若 2 440xyyy，则xy的值为 ；
21、8若等式 2 933xxx 成立，则 x 的取值范围是 . 9.比较大小： 72 1 _ 34 1 。 10.已知 xy0，化简 2 x y 。 11.已知 1 10a a ，则 1 a a 得值为 。 12我们赋予“”一个实际含义，规定 ab=ab+ a b ，试求 35=_ （三） 、计算题 （1） )48 8 1 4( 3 1 15 . 06 （2） 53 4 3 )2( 2 1 aaa （3）解关于x的不等式：xx181)83( 2 1 （4） 化简： 2 2 126aaa. （四） 、解答题： 1已知： 2 3 1 x ，求 2 22xx的值。 2.如果 2 )31 ( a， 32
22、2 b，求： ba b aba a 的值. 3. 计算（251） （ 21 1 32 1 43 1 10099 1 ） 4.对于题目“化简并求值： 11 2 2 2 aa a，其中a 1 5 ” ，甲、乙两人的解答不同， 甲的解答是： 11 2 11 11249 5 2 2 2 aa a aa a aa a a a 谁的解答是错误的？为什么？ 5.当 x12时，求 2222 axxax x 222 22 2 axxx axx 22 1 ax 的值 分析：注意：x2a2 222 )(ax ， x2a2x 22 ax 22 ax （ 22 ax x） ，x2x 22 ax x（ 22 ax x）
23、解：原式 )( 2222 xaxax x )( 2 22 22 xaxx axx 22 1 ax 2222 2222 () () xaxax xaxax 22 22 () () xxax xxax 22 1 ax ) 11 ( 2222 axxax ) 11 ( 22 x xax 22 1 ax x 1 当 x12时，原式 1 12 12 6.已知 x 23 23 ，y 23 23 ，求 32234 23 2yxyxyx xyx 的值 分析：先将 x、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“xy”、“xy”、“xy”从而使求值的过程 更简捷 解： x 23 23 2 )23(526， y 23 23 2 )23(526 xy10，xy46，xy52(26)21 32234 23 2yxyxyx xyx 22 )( )( yxyx yxyxx )(yxxy yx 101 64 6 5 2
