1、教师姓名 学生姓名 年 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢级 初二 上课时间 学 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢科 数学 课题名称 线段的垂直平分线与角的平分线线段的垂直平分线与角的平分线 待提升的知 识点/题型 （尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢）知识梳理知识梳理（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点一：逆命题和逆定理知识点一：逆命题和逆定理 1.逆命题逆命题 在两个命题中， 如果第一个命题的题设是第二个命题的结论， 而第一个命题的结论又是第二个 命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题互逆命题。如果
2、把第一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做 它的逆命题。 2.逆定理逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明也是定理， 那么这两个定理叫做互逆定理互逆定理， 其中一个叫做另一 个的逆定理。 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点二：线段的垂直平分线知识点二：线段的垂直平分线 1、线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的性质 （1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的任意一任意一点到这条线段两个端点的距离相等点到这条线段两个端点的距离相等. 几何语言： 如图 1， CD 是线段 AB 的垂直平分线 CA=CB 定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的
3、垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理、线段垂直平分线性质定理的逆定理 线段垂直平分线的逆定理：线段垂直平分线的逆定理：和和一条线段两个端点距离相等的点一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上. m 图1图1 DAB C 几何语言：如图 2， CA=CB 点 C 在线段 AB 的垂直平分线. 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于三角形三边垂直平分线的定理 三角形三边的垂直平分线相交于一点（外心） ，并且这一点到三个顶点的距离相等. 定理的数学表示： 如图 3，若直线, ,i j k分别是 ABC 三边 AB、BC、CA 的
4、垂直平分线， 则直线, ,i j k相交于一点 O，且 OAOBOC. 定理的作用：证明三角形内的线段相等. （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点三：角的平分线知识点三：角的平分线 1、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理： （1）角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：在在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 几何语言表示： OE 是AOB 的平分线，CFOA，DFOB CFDF. 定理的作用：证明两条线段相等；用于几何作图问题； （2）角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 2、角平分线性质定理的逆定理：、角平分线性质定理的逆
5、定理： 角平分线性质定理的逆定理： 在在一个一个角的内部角的内部（包括顶点）（包括顶点）且到角的两边距离相等的点且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上在这个角的角平分线上. 几何语言表示： PCOA，PDOB， PCPD， 点 P 在AOB 的平分线上. 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 m 图2图2 DAB C j i k 图3图3 O BC A 图图4 4C D OA B F E 注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系. 3、关于三角形三条角平分线的定理：来源:学.科.网 Z.X.X.K 三角形三条
6、角平分线相交于一点（内心） ，并且这一点到三边的距离相等. 定理的作用：用于证明三角形内的线段相等；用于实际中的几何作图问题. （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点四：轨迹知识点四：轨迹 我们把符合某些条件的所有的点的集合叫做点的轨迹. 1.和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线； 2.在一个角的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 3.到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆。 （尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢）知识精析知识精析（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 一、一、逆命题和逆定理逆命题和逆定理 （一）典
7、例分析、学一学（一）典例分析、学一学 例例 1-1 说出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题：说出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题： （1）两直线平行，同位角相等； 图图5 5 C D OA B P 图图6 6 E F D I P R Q BC A （2）三个角相等的三角形是等边三角形； （3）等腰三角形的两腰上的中线相等； （4）等角的余角相等. 例例 1-2 举例说明下列命题的逆命题是假命题：举例说明下列命题的逆命题是假命题： （1）如果一个整数的个位数字是 2，那么这个整数能被 2 整除； （2）全等三角形对应角相等. 例例 1-3 在你所学过的知识内容中，有没有原命题与逆命
8、题都正确的例子在你所学过的知识内容中，有没有原命题与逆命题都正确的例子？（试列举出几对）（试列举出几对） （二）限时巩固、练一练（二）限时巩固、练一练 写出下列命题的题设与结论，并写出他们的逆命题，判断其逆命题是真命题还是假命题。 1.若 a、b 都是奇数，则 a+b 是偶数； 2.如果一个角的两边分别平行于另一角的两边，那么这两个角相等 二、二、线段的垂直平分线线段的垂直平分线 （一）典例分析、学一学（一）典例分析、学一学 例例 2-1 已知：AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E （1）如图，AB=AC=14cm，如果 EBC 的周长是 24cm，那么 BC= （2）如图
9、，AB=AC=14cm，如果 BC=8cm，那么 EBC 的周长是 （3）如图，AB=AC，交 AC 于点 E，如果A=28 度，那么EBC 是 （4）在 ABC 中，BC8cm， BCE 的周长等于 18cm，求 AC 的长度 例例 2-2 已知：在 ABC 中，ON 是 AB 的垂直平分线，OA=OC. 求证：点 O 在 BC 的垂直平分线. D E B A C 例例 2-3 如图，已知在ABC 中，ABAC，B300，AB 的垂直平分线 EF 交 AB 于点 E，交 BC 于 点 F，求证：CF2BF。 分析一：要证明 CF2BF，由于 BF 与 CF 没有直接联系，联想题设中 EF 是
10、中垂线，根据其 性质可连结 AF，则 BFAF。问题转化为证 CF2AF，又BC300，这就等价于要证CAF 900，则根据含 300角的直角三角形的性质可得 CF2AF2BF。 分析二：要证明 CF2BF，联想B300，EF 是 AB 的中垂线，可过点 A 作 AGEF 交 FC 于 G 后，得到含 300角的 RtABG，且 EF 是 RtABG 的中位线，因此 BG2BF2AG，再设法 证明 AGGC，即有 BFFGGC。 例题图 1 F E CB A 例题图 2 GF E CB A 例题图 3 DF E CB A 分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作 ADBC 于 D，则
11、BDCD，考虑到 B300，不妨设 EF1，再用勾股定理计算便可得证。 以上三种分析的证明略。 例例 2-4 如图，已知 AD 是 ABC 的 BC 边上的高，且C2B，求证：BDACCD.来源:Z。xx。 k.Com （二）限时巩固，练一练（二）限时巩固，练一练 1、如图，AC=AD，BC=BD，则（ ） A.CD 垂直平分 AD B.AB 垂直平分 CD C.CD 平分ACB D.以上结论均不对 2、如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 3、下列命题中正确的命题有（ ） 线段垂直平分线上任一点
12、到线段两端距离相等； 图图8 8B BC CD D A A A P B F E C 线段上任一点到垂直平分线两端距离相等； 经过线段中点的直线只有一条； 点 P 在线段 AB 外且 PA=PB，过 P 作直线 MN，则 MN 是线段 AB 的垂直平分线； 过线段上任一点可以作这条线段的中垂线. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4、已知如图，在 ABC 中，AB=AC，O 是 ABC 内一点，且 OB=OC，求证：AOBC. 5、如图，在 ABC 中，AB=AC，A=120 ，AB 的垂直平分线 MN 分别交 BC、AB 于点 M、N. 求 证：CM=2BM. 6、如图，在 AB
13、C 中，ABC=120 ，点 D 是 AB 延长线和 AC 垂直平分线的交点。联接 CD，这 时 BC 恰好平分DCA。求A 的度数。 三、三、角的平分线角的平分线 （一）典例分析，学一学（一）典例分析，学一学 例例 3-1已知：如图，点 B、C 在A 的两边上，且 AB=AC，P 为A 内一点，PB=PC，PEAC， PFAB，垂足分别是 E、F. 求证：PE=PF B E AC D 例例 3-2 如图 10，已知在四边形 ABCD 中，ABCD，ABBC，EFAD，E 为 BC 中点，连接 AE、 DE，DE 平分ADC. 求证：AE 平分BAD. 例例 3-3如图，已知ABC 中，AB=
14、AC，D 是 BC 的中点， 求证：D 到 AB、AC 的距离相等. 四、四、轨迹轨迹 （一）典例分析、学一学（一）典例分析、学一学 例例 4-1 填空填空 （1）经过已知 M、N 的圆的圆心的轨迹是 . （2）到AOB 的两边距离相等的点的轨迹是 . （3）以已知点 A 为端点的线段 AB=10，这线段的另一个端点 B 的轨迹是 . 图图1010 F C CD D B BA A E E D CB A （4）和已知线段的两端点距离相等，且到一个已知点的距离等于定长的点最多有 个. 例例 4-2 在等边ABC 所在平面上找这样一点 P，使PAB、PBC、PAC 都是等腰三角形，那么 具有这样性质
15、的点 P 共有 个. （尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢）课堂测评课堂测评（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 一、填空题一、填空题 1、如图，A520，O 是 AB、AC 的垂直平分线的交点，那么OCB 。 2、如图，已知 ABAC，A440，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，则DBC 。 第 1 题图 O CB A 第 2 题图 N M D CB A 第 3 题图 E D C B A 第 4 题图 E A BC D 3、如图，在ABC 中，C900，B150，AB 的中垂线 DE 交 BC 于 D 点，E 为垂足，若 BD 8，则 AC 。 4、如图，在ABC 中，AB
16、AC，DE 是 AB 的垂直平分线，BCE 的周长为 24，BC10，则 AB 。 5、如图，EG、FG 分别是MEF 和NFE 的角平分线，交点是 G，BP、CP 分别是MBC 和 NCB 的角平分线， 交点是 P， F、 C 在 AN 上， B、 E 在 AM 上， 若G680， 那么P 。 填空第 5 题图 G P MEB N C F A 选择第 1 题图 F E D CB A 选择第 2 题图 4 3 2 1 D C BA 二、选择题二、选择题 1、如图，ABC 的角平分线 CD、BE 相交于点 F，且A600，则BFC 等于（ ） A、800 B、1000 C、1200 D、1400
17、 2、如图，ABC 中，12，34，若D360，则C 的度数为（ ） A、820 B、720 C、620 D、520 3、某三角形有一个外角平分线平行于三角形的一边，而这三角形另一边上的中线分周长为 23 两部分，若这个三角形的周长为 30cm，则此三角形三边长分别是（ ） A、8 cm、8 cm、14cm B、12 cm、12 cm、6cm C、8 cm、8 cm、14cm 或 12 cm、12 cm、6cm D、以上答案都不对 4、如图，RtABC 中，C900，CD 是 AB 边上的高，CE 是中线， CF 是ACB 的平分线，图中相等的锐角为一组，则共有（ ） A、0 组 B、2 组
18、C、3 组 D、4 组 5、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定 三、解答题： 1、如图，RtABC 的A 的平分线与过斜边中点 M的垂线交于点 D，求证：MAMD。 第 1 题图 M D C B A 2、在ABC 中，ABAC，D、E 在 BC 上，且 DEEC，过 D 作 DFBA 交 AE 于点 F，DFAC， 求证：AE 平分BAC。 选择第 4 题图 EF D C BA 3、如图，在ABC 中，B22.50，C600，AB 的垂直平分线交 BC于点D， BD26，AEBC 于点 E，求 EC
19、的长。 4、如图，在 RtABC中，ACB900，ACBC，D 为 BC 的中 点， CEAD， 垂足为 E，BFAC 交 CE 的延长线于点 F，求证:AB 垂 直平分 DF。21 世纪教育网 第 4 题图 E F D C B A 21 世纪教育网 参考答案 一、填空题： 1、380；2、240；3、4；4、14；5、680 二、选择题：CBCDB 三、解答题： 1、过 A 作 ANBC 于 N，证DDAM； 2、延长 FE 到 G，使 EGEF，连结 CG，证DEFCEG 3、连结 AD，DF 为 AB 的垂直平分线，ADBD26，B DAB22.50 ADE450，AE 2 2 AD26
20、 2 2 6，又C600 ， EC32 3 6 3 AE 4、证ACDCBF 回顾总结回顾总结（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 第 3 题图 E F DCB A 第 2 题图 E F DCB A 1.线段的垂直平分线定理及其逆定理分别是？ 2.角平分线定理及其逆定理分别是？ 3.常见的辅助线作法是？ 课后巩固课后巩固（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 1、 ABC 中，AB=AC，AC 的中垂线交 AB 于 E，EBC 周长为 20cm，AB=2BC，则腰长为 。 2、如图所示，AB/CD，O 为A、C 的平分线的交点，OEAC 于 E，且 OE=2，则 AB 与 CD 之间的距
21、离等于_。 3、三角形中到三边距离相等的点是（ ） A、三条边的垂直平分线的交点 B、三条高的交点 C、三条中线的交点 D、三条角平分线的交点 4、如图，12，PDOA，PEOB，垂足分别为 D，E，下列结论错误的是（ ） A、PDPE B、ODOE C、DPOEPO D、PDOD 5、如图，直线 l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的 距离相等，则可供选择的地址有（ ） A、4 处 B、3 处 C、2 处 D、1 处 6、如图， ABC 中，C90 ，ACBC，AD 平分CAB 交 BC 于 D，DEAB 于 E，且 AB6 ，则 DEB 的周长为（
22、 ） A、4 B、6 C、10 D、不能确定 2 1 D A P O E B l2 l1 l3 D C A E B A B O E C D 第 4 题 第 5 题 第 6 题 7、 如图， MPNP， MQ 为 MNP 的角平分线， MTMP， 连接 TQ， 则下列结论中不正确的是 （ ） A、TQPQ B、MQTMQP C、QTN90 D、NQTMQT N T Q P M E D C B A E D C BA F 第 7 题 第 8 题 第 9 题 8、如图在 ABC 中，ACB=90 ，BE 平分ABC，DEAB 于 D，如果 AC=3 cm，那么 AE+DE 等于( ) A2 cm B3 cm C4 cm D5 cm 9、如图，已知 AB=AC，AE=AF，BE 与 CF 交于点 D，则对于下列结论：ABEACF； BDFCDE；D 在BAC 的平分线上其中正确的是（ ） A B C和 D 10、如图，已知 BE 平分ABC，CE 平分ACD，且交 BE 于 E求证：AE 平分FAC. 11、如图，B=C=90 ，M 是 BC 的中点，DM 平分ADC， 求证：AM 平分DAB. E F D C B A
