1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：八年级(下)课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数 学学科教师：授课主题第03讲-垂直平分线与角平分线 授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理以及三角形三边的垂直平分线的性质定理； 掌握角平分线的性质定理、判定定理以及相关结论；授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建一、 知识梳理1、线段垂直平分线的性质定理定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。3、三角形三
2、条边的垂直平分线的性质性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个定点的距离相等。4、尺规作图5、角平分线的性质定理定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。6、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。7、三角形三内角的角平分线性质性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。考点一：线段垂直平分线的性质例1、下列命题中正确的命题有（）线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；经过线段中点的直线只有一条；点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段
3、AB的垂直平分线；过线段上任一点可以作这条线段的中垂线A1个 B2个 C3个 D4个【解析】线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等，是线段垂直平分线的性质，符合逆定理，正确；错误；这是对线段垂直平分线的误解；有无数条，错误；点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MNAB，则MN是线段AB的垂直平分线，错误；如图错误，这是对线段垂直平分线的误解；故选A例2、如图，在梯形ABCD中，ABCD，BCCD于点C，点M在AB上，MN垂直平分AC，垂足为点N，若AB=8，则BM的长为（）A3 B5 C4 D6【解析】选A在RtBCM中，根据，设BC=4x，CM=5x根据勾股定理，得BM=3x根据线段的
4、垂直平分线的性质，得AM=CM=5x则3x+5x=8，x=1BM=3例3、如图，在ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，ABC的周长为23，则ABD的周长为（）A13 B15C17 D19【解析】AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，AD=DC，AE=CE=4，即AC=8，ABC的周长为23，AB+BC+AC=23，AB+BC=238=15，ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15，故选B例4、如图，在已知的ABC中，按以下步骤作图：分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；作直线MN交AB于点D，连接CD
5、 若CD=AC，A=50，则ACB的度数为（）A90 B95 C100 D105【解析】CD=AC，A=50，ADC=A=50，根据题意得：MN是BC的垂直平分线，CD=BD，BCD=B，B=ADC=25，ACB=180AB=105故选D例5、如图，在ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E若EDC的周长为24，ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为6【解析】DE是BC边上的垂直平分线，BE=CEEDC的周长为24，ED+DC+EC=24，ABC与四边形AEDC的周长之差为12，（AB+AC+BC）（AE+ED+DC+AC）=（AB+AC+BC）（AE
6、+DC+AC）DE=12，BE+BDDE=12，BE=CE，BD=DC，得，DE=6故答案为：6例6、两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点O，下列判断正确的有（填序号）ACBD；AC、BD互相平分；AC平分BCD；ABC=ADC=90；筝形ABCD的面积为【解析】在ABC与ADC中，ABCADC（SSS）BAO=DAO，BCO=DCO，即AC平分BCD故正确；AC平分BAD、BCD，ABD与BCD均为等腰三角形，AC、BD互相垂直，但不平分故正确，错误；当AC2AB2+BC2时，ABC90同理ADC90故错误；AC、BD互相
7、垂直，筝形ABCD的面积为：ACBO+ACOD=ACBD故正确；综上所述，正确的说法是故答案是：例7、在ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点OADE的周长为6cm（1）求BC的长； （2）分别连结OA、OB、OC，若OBC的周长为16cm，求OA的长【解析】（1）DF、EG分别是线段AB、AC的垂直平分线，AD=BD，AE=CE，AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，ADE的周长为6cm，即AD+DE+AE=6cm，BC=6cm；（2）AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，OA=OC=OB，OBC的周
8、长为16cm，即OC+OB+BC=16，OC+OB=166=10，OC=5，OA=OC=OB=5考点二：角平分线的性质例1、如图，在RtABC中，C=90，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则ABD的面积是（）A15 B30 C45 D60【解析】由题意得AP是BAC的平分线，过点D作DEAB于E，又C=90，DE=CD，ABD的面积=ABDE=154=30故选B例2、如图，ABC中，ABC、EAC的角平分线PA、PB交于点P，下列结论：PC平分ACF；A
9、BC+APC=180；若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN=AC；BAC=2BPC其中正确的是（）A只有 B只有C只有 D只有【解析】如图，过点P作PMAB，PNBC，PDAC，垂足分别为M、N、D，PB平分ABC，PA平分EAC，PM=PN，PM=PD，PM=PN=PD，点P在ACF的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），故本小题正确；PMAB，PNBC，ABC+90+MPN+90=360，ABC+MPN=180，很明显MPNAPC，ABC+APC=180错误，故本小题错误；在RtAPM与RtAPD中，RtAPMRtAPD（HL），AD=AM，同理可得RtC
10、PDRtCPN，CD=CN，AM+CN=AD+CD=AC，故本小题正确；PB平分ABC，PC平分ACF，ACF=ABC+BAC，PCN=ACF=BPC+ABC，BAC=2BPC，故本小题正确综上所述，正确故选B例3、如图所示，已知ABC的周长是20，OB、OC分别平分ABC和ACB，ODBC于D，且OD=3，则ABC的面积是30【解析】如图，连接OA，过O作OEAB于E，OFAC于F，OB、OC分别平分ABC和ACB，OE=OF=OD=3，ABC的周长是22，ODBC于D，且OD=3，SABC=ABOE+BCOD+ACOF=（AB+BC+AC）3=203=30，故答案为：30例4、如图，ABC
11、的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60其三条角平分线交于点O，则SABO：SBCO：SCAO=4：5：6【解析】过点O作ODAB于点D，作OEAC于点E，作OFBC于点F，OA，OB，OC是ABC的三条角平分线，OD=OE=OF，ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，SABO：SBCO：SCAO=（ABOD）：（BCOF）：（ACOE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6故答案为：4：5：6例5、如图，已知：E是AOB的平分线上一点，ECOB，EDOA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F（1）求证：OE是CD的垂直平分线（2）若AOB=60，请你探究OE
12、，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论【解析】（1）E是AOB的平分线上一点，ECOB，EDOA，DE=CE，OE=OE，RtODERtOCE，OD=OC，DOC是等腰三角形，OE是AOB的平分线，OE是CD的垂直平分线；（2）OE是AOB的平分线，AOB=60，AOE=BOE=30，ECOB，EDOA，OE=2DE，ODF=OED=60，EDF=30，DE=2EF，OE=4EFP(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、ABC中，AB=AC，BC=10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D、E且DE=4，则AD+AE的值为（）A6 B10 C6或14
13、 D6或10【解析】AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，AD=BD，AE=CE，AD+AE=BD+CE，BC=10，DE=4，当BD与CE无重合时，AD+AE=BD+CE=BCDE=104=6，当BD与CE有重合时，AD+AE=BD+CE=BC+DE=10+4=14，综上所述，AD+AE=6或14故选C2、如图，OP为AOB的角平分线，PCOA，PDOB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（）APC=PD BCPD=DOPCCPO=DPO DOC=OD【解析】OP为AOB的角平分线，PCOA，PDOB，垂足分别是C、D，PC=PD，故A正确；在RtOCP与RtODP中，OCPODP，
14、CPO=DPO，OC=OD，故C、D正确不能得出CPD=DOP，故B错误3、如图，ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，DE为BC的中垂线，BD为ADE的角平分线若A=58，则ABD的度数为何？（）A58 B59C61 D62【解析】BD是ADE的角平分线，1=2，DE是BC的中垂线，2=3，1=2=3，又1+2+3=180，1=2=3=60，4=C=9060=30，ABD=180A4C=180583030=62故选：D4、如图，在ABC中，BC的垂直平分线EF交ABC的平分线BD于E，如果BAC=60，ACE=24，那么BCE的大小是（）A24 B30C32 D36【解析】EF是BC的垂直
15、平分线，BE=CE，EBC=ECB，BD是ABC的平分线，ABD=CBD，ABD=DBC=ECB，BAC=60，ACE=24，ABD=DBC=ECB=（1806024）=32故选C5、如图，在ABC中，B=55，C=30，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则BAD的度数为（）A65 B60C55 D45【解析】由题意可得：MN是AC的垂直平分线，则AD=DC，故C=DAC，C=30，DAC=30，B=55，BAC=95，BAD=BACCAD=65，故选A6、如图，在ABC中，AB=BC，ABC=110，AB的垂直平分线DE交
16、AC于点D，连接BD，则ABD=35度【解析】在ABC中，AB=BC，ABC=110，A=C=35，AB的垂直平分线DE交AC于点D，AD=BD，ABD=A=35，故答案为：357、如图，ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC平分线BP交于点P，若BPC=40，则CAP=50【解析】延长BA，作PNBD，PFBA，PMAC，设PCD=x，CP平分ACD，ACP=PCD=x，PM=PN，BP平分ABC，ABP=PBC，PF=PN，PF=PM，BPC=40，ABP=PBC=PCDBPC=（x40），BAC=ACDABC=2x（x40）（x40）=80，CAF=100，在RtPFA和RtPMA中
17、，RtPFARtPMA（HL），FAP=PAC=50故答案为：508、已知：如图，AD是ABC的角平分线，且AB：AC=3：2，则ABD与ACD的面积之比为3：2【解析】AD是ABC的角平分线，点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又AB：AC=3：2，则ABD与ACD的面积之比为 3：2故答案为：3：29、如图，在ABC中，ABAC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BD=4，ABE的周长为14，则ABC的周长为22【解析】BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BD=4，BE=EC，BC=2BD=8；又ABE的周长为14，AB+AE+BE=AB+AE+EC=A
18、B+AC=14；ABC的周长是：AB+AC+BC=14+8=22；故答案是：2210、探究：如图，在ABC中，DE是边BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，连结CE，求证：CE+AE=AB应用：如图，在RtABC中，B=90，DE垂直平分斜边AC交AB于点D，交AC于点E，连结CD，若AB=8，BC=4，则CD的长为5【解析】（1）DE是边BC的垂直平分线，BE=CE，BE+AE=AB，CE+AE=AB；（2）DE是AC的垂直平分线，CD=AD，AB=BD+AD=BD+CD，设CD=x，则BD=8x，在RtBCD中，CD2=BC2+BD2，即x2=42+（8x）2，解得x=5CD=5故
19、答案为：5 课后反击1、三角形纸片上有一点P，量得PA=3cm，PB=3cm，则点P一定（）A是边AB的中点 B在边AB的中线上C在边AB的高上 D在边AB的垂直平分线上【解析】选D2、观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（）AOE是AOB的平分线 BOC=ODC点C、D到OE的距离不相等 DAOE=BOE【解析】根据尺规作图的画法可知：OE是AOB的角平分线故选C3、如图，OP是AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定POCPOD的选项是（）APCOA，PDOB BOC=ODCOPC=OPD DPC=PD【解析】选D4、如图所示，线段AC的垂直平分线交线段
20、AB于点D，A=50，则BDC=（）A50 B100 C120 D130【解析】DE是线段AC的垂直平分线，DA=DC，DCA=A=50，BDC=DCA+A=100，故选：B5、如图，在ABC中，DE是AC的垂直平分线，ABC的周长为19cm，ABD的周长为13cm，则AE的长为（）A3cm B6cm C12cm D16cm【解析】DE是AC的垂直平分线，AD=DC，AE=CE=AC，ABC的周长为19cm，ABD的周长为13cm，AB+BC+AC=19cm，AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，AC=6cm，AE=3cm，故选A6、如图，ABC的边BC的垂直平分线MN交A
21、C于D，若ADB的周长是10cm，AB=4cm，则AC=6cm【解析】MN是线段BC的垂直平分线，CD=BD，ADB的周长是10cm，AD+BD+AB=10cm，AD+CD+AB=10cm，AC+AB=10cm，AB=4cm，AC=6cm，故答案为：67、如图，已知AB=AC，DE垂直平分AB，若A=40，则EBC=30【解析】DE垂直平分AB分别交AB、AC于D、E两点，AE=BE，ABE=A=40，AB=AC，ABC=C=70，EBC=ABCABE=30故答案为：308、如图，ABC中，A=80，B=40，BC的垂直平分线交AB于点D，连结DC，如果AD=3，BD=8，那么ADC的周长为1
22、9【解析】BC的垂直平分线交AB于点D，DB=DC，DCB=B=40，A=80，B=40，ACB=60，ACD=20，ADC=80，CA=CD=DB=8，ADC的周长=AD+AC+CD=19，故答案为：199、如图，ABC中，C=90，AD平分BAC交BC于点D已知BD：CD=3：2，点D到AB的距离是6，则BC的长是15【解析】作DEAB于E，AD平分BAC，C=90，DEAB，CD=DE=6，又BD：CD=3：2，BD=9，BC=BD+DC=15，故答案为：1510、如图，ABC中，ADBC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE（1）若BAE=40，求C的度数；（2）
23、若ABC周长13cm，AC=6cm，求DC长【解析】（1）AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，AB=AE=EC，C=CAE，BAE=40，AED=70，C=AED=35；（2）ABC周长13cm，AC=6cm，AB+BE+EC=7cm，即2DE+2EC=7cm，DE+EC=DC=3.5cm直击中考1、【2016河南】如图，ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，ABD的周长为14cm，则ABC的周长为22cm【解析】DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，AC=2AE=8cm，AD=DC，ABD的周长为14cm，AB+AD+BD=14cm，AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=
24、14cm，ABC的周长为AB+BC+AC=14cm+8cm=22cm，故答案为：22cm2、【2015济南】如图，四边形ABDC中，D=ABD=90，点O为BD的中点，且OA平分BAC（1）求证：OC平分ACD；（2）求证：OAOC；（3）求证：AB+CD=AC【解答】证明：（1）过点O作OEAC于E，ABD=90，OA平分BAC，OB=OE，点O为BD的中点，OB=OD，OE=OD，OC平分ACD；（2）在RtABO和RtAEO中，RtABORtAEO（HL），AOB=AOE，同理求出COD=COE，AOC=AOE+COE=180=90，OAOC；（3）RtABORtAEO，AB=AE，同理
25、可得CD=CE，AC=AE+CE，AB+CD=ACS(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾1、线段垂直平分线的性质定理定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。3、三角形三条边的垂直平分线的性质性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个定点的距离相等。4、角平分线的性质定理定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。5、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。6、三角形三内角的角平分线性质性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。名师点拨1、不注意运用分类讨论思想，漏掉某些符合条件的情况或者结论。2、受全等思维定式的影响，不习惯用角平分线的性质定理证明。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是14
