1、2019 年福建省泉州市石狮市中考数学一模试卷年福建省泉州市石狮市中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1 （4 分）在数轴上，与原点的距离是 2 个单位长度的点所表示的数是（ ） A2 B2 C2 D 2 （4 分）如图，与1 是同旁内角的是（ ） A2 B3 C4 D5 3 （4 分）下列各式的计算中正确的是（ ） Aa3+a2a5 Ba2a3a6 Ca6a3a2 D （a3）2a6 4 （4 分）用“百度”搜索引擎能搜索到与“引力波”相关的网页约 8106个，则 8106 等于（ ） A860 000
2、 B8 600 000 C800 000 D8 000 000 5 （4 分）在 20152016CBA 常规赛季中，易建联罚球投篮的命中率大约是 82.3%，下列说 法错误的是（ ） A易建联罚球投篮 2 次，一定全部命中 B易建联罚球投篮 2 次，不一定全部命中 C易建联罚球投篮 1 次，命中的可能性较大 D易建联罚球投篮 1 次，不命中的可能性较小 6 （4 分）下列几何体是由 4 个正方体搭成的，其中主视图和俯视图相同的是（ ） A B C D 7 （4 分）一副直角三角板如图放置，其中CDFE90，A45，E60， 点 F 在 CB 的延长线上若 DECF，则BDF 等于（ ） 第
3、2 页（共 24 页） A35 B30 C25 D15 8 （4 分）如图，过MAN 的边 AM 上的一点 B（不与点 A 重合）作 BCAN 于点 C，过点 C 作 CDAM 于点 D，则下列线段的比等于 tanA 的是（ ） A B C D 9 （4 分）中国古代在利用“计里画方” （比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图 时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离在如图所示的测量距离 AB 的示意图中，记 照板“内芯”的高度为 EF观测者的眼睛（图中用点 C 表示）与 BF 在同一水平线上， 则下列结论中，正确的是（ ） A B C D 10 （4 分）若（ac+b）221， （a+c+
4、b）22019，则 a2+b2+c2+2ab 的值是（ ） A1020 B1998 C2019 D2040 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）计算： 12 （4 分）若分式的值为 0，则 x 的值是 13 （4 分）分解因式：a3ab2 14 （4 分）若一个扇形的圆心角为 120，面积为 6，则这个扇形的半径为 15 （4 分）2019 年泉州市初中学业水平考试中，每位参加体育考试的学生都必需从“篮球、 足球、 排球” 中选择一种球类参加测试， 则小聪和小明同时选考 “足球” 的概率是 第 3 页（共 2
5、4 页） 16 （4 分）如图，以直角三角形 ABC 的斜边 BC 为边在三角形 ABC 的同侧作正方形 BCEF， 设正方形的中心为 O，连结 AO，如果 AB4，AO6，则 AC 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 86 分）分） 17 （8 分）解不等式组： 18 （8 分）先化简，再求值：，其中 19 （8 分）如图，已知点 E，C 在线段 BF 上，BECF，BDEF，ACBF，求 证：四边形 ABED 为平行四边形 20 （8 分）如图，BD 是菱形 ABCD 的对角线 （1）请用直尺和圆规作 AB 的垂直平分线 EF，垂足为点 E，交 AD 于点 F；
6、 （不要求写作 法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接 BF，若CBD75，求DBF 的度数 21 （8 分）已知 BC 是O 的直径，点 D 是 BC 延长线上一点，ABAD，AE 是O 的弦， AEC30 （1）求证：直线 AD 是O 的切线； （2）若 AEBC，垂足为 M，O 的半径为 4，求 AE 的长 第 4 页（共 24 页） 22 （10 分）某学校八、九两个年级各有学生 180 人，为了解这两个年级学生的体质健康情 况，进行了抽样调查，具体过程如下： 收集数据 从八、九两个年级各随机抽取 20 名学生进行体质健康测试，测试成绩（百分制）如下： 八年级 78 86 7
7、4 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77 九年级 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40 整理、描述数据 将成绩按如下分段整理、描述这两组样本数据： 成绩（ x） 40x 49 50x 59 60x 69 70x 79 80x 89 90x 100 八年级人数 0 0 1 11 7 1 九年级人数 1 0 0 7 10 2 （说明：成绩 80 分及以上为体质健康优秀，7079 分为体质健康良好，6069 分为体 质健康合格，60 分以下为体质健康不合格
8、） 分析数据 两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 78.3 77.5 75 33.6 九年级 78 80.5 a 52.1 （1）表格中 a 的值为 ； （2）请你估计该校九年级体质健康优秀的学生人数为多少？ 第 5 页（共 24 页） （3）根据以上信息，你认为哪个年级学生的体质健康情况更好一些？请说明理由 （请 从两个不同的角度说明推断的合理性） 23 （10 分）某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放 满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升 10，待加热到 100，饮水机 自动停止加热，水温
9、开始下降，水温 y（）与通电时间 x（min）成反比例关系，直至 水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程设某天水温和室温为 20，接通 电源后，水温 y（）与通电时间 x（min）的关系如下图所示，回答下列问题： （1）当 0x8 时，求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）求出图中 a 的值； （3）某天早上 7：20，李老师将放满水后的饮水机电源打开，若他想在 8：00 上课前能 喝到不超过 40的温开水，问：他应在什么时间段内接水？ 24 （12 分）在ABC 中，ABAC，将线段 AC 绕着点 C 逆时针旋转得到线段 CD，旋转角 为 （1）如图 1，BAC90，45，试求点
10、 D 到边 AB，AC 的距离的比值； （2）如图 2，BAC100，20，连接 AD，BD，求CBD 的大小 25 （14 分）已知抛物线 ymx2+2mx+m1 和直线 ymx+m1，且 m0 （1）求抛物线的顶点坐标； （2）试说明抛物线与直线有两个交点； （3）已知点 T（t，0） ，且1t1，过点 T 作 x 轴的垂线，与抛物线交于点 P，与直线 交于点 Q，当 0m3 时，求线段 PQ 长的最大值 第 6 页（共 24 页） 第 7 页（共 24 页） 2019 年福建省泉州市石狮市中考数学一模试卷年福建省泉州市石狮市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择
11、题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1 （4 分）在数轴上，与原点的距离是 2 个单位长度的点所表示的数是（ ） A2 B2 C2 D 【分析】与原点距离是 2 的点有两个，是2 【解答】解：与原点距离是 2 的点有两个，是2 故选：C 【点评】本题考查数轴的知识点，有两个答案 2 （4 分）如图，与1 是同旁内角的是（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】根据同旁内角的定义解答找到三条直线，看两条直线被第三条直线所截即可 【解答】解：根据同旁内角的定义，与1 是同旁内角的角有2， 故选：A 【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁
12、内角，解答此类题确定三线八角是关键，可 直接从截线入手对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对 它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义 3 （4 分）下列各式的计算中正确的是（ ） Aa3+a2a5 Ba2a3a6 Ca6a3a2 D （a3）2a6 【分析】根据同类项的概念、同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则计算，判断即可 【解答】解：a2与 a3不是同类项，不能合并，A 选项错误； a2a3a5，B 选项错误； a6a3a3，C 选项错误； 第 8 页（共 24 页） （a3）2a6，D 选项正确； 故选：D 【点评】本题考查的是积的乘方与幂的乘
13、方、同底数幂的除法、合并同类项，掌握它们 的运算法则是解题的关键 4 （4 分）用“百度”搜索引擎能搜索到与“引力波”相关的网页约 8106个，则 8106 等于（ ） A860 000 B8 600 000 C800 000 D8 000 000 【分析】根据科学记数法的表示方法可得原数为 7 位数，进而可得答案 【解答】解：81068 000 000， 故选：D 【点评】此题主要考查了科学记数法表示较大的数，关键是掌握把一个大于 10 的数记成 a10n的形式，其中 a 是整数数位只有一位的数，n 是正整数，10 的指数 n 比原来的整 数位数少 1 5 （4 分）在 20152016CB
14、A 常规赛季中，易建联罚球投篮的命中率大约是 82.3%，下列说 法错误的是（ ） A易建联罚球投篮 2 次，一定全部命中 B易建联罚球投篮 2 次，不一定全部命中 C易建联罚球投篮 1 次，命中的可能性较大 D易建联罚球投篮 1 次，不命中的可能性较小 【分析】根据概率的意义对各选项分析判断后利用排除法求解 【解答】解：A、易建联罚球投篮 2 次，不一定全部命中，故本选项错误； B、易建联罚球投篮 2 次，不一定全部命中，故本选项正确； C、易建联罚球投篮的命中率大约是 82.3%， 易建联罚球投篮 1 次，命中的可能性较大，故本选项正确； D、易建联罚球投篮 1 次，不命中的可能性较小，故
15、本选项正确 故选：A 【点评】本题考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发 生的机会的大小，机会大也不一定发生 6 （4 分）下列几何体是由 4 个正方体搭成的，其中主视图和俯视图相同的是（ ） 第 9 页（共 24 页） A B C D 【分析】分别画出从几何体的上面和正面看所得到的视图，再比较即可 【解答】解：A、主视图，俯视图为，故此选项错误； B、主视图为，俯视图为，故此选项正确； C、主视图为，俯视图为，故此选项错误； D、主视图为，俯视图为，故此选项错误； 故选：B 【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置 7 （4 分）一副直角三角板
16、如图放置，其中CDFE90，A45，E60， 点 F 在 CB 的延长线上若 DECF，则BDF 等于（ ） A35 B30 C25 D15 【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出BDE45，进而得出答案 【解答】解：由题意可得：EDF30，ABC45， DECB， BDEABC45， BDF453015 故选：D 第 10 页（共 24 页） 【点评】此题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出BDE 的度数是解题关 键 8 （4 分）如图，过MAN 的边 AM 上的一点 B（不与点 A 重合）作 BCAN 于点 C，过点 C 作 CDAM 于点 D，则下列线段的比等于 ta
17、nA 的是（ ） A B C D 【分析】根据垂直定义可得ABC+A90，ABC+DCB90，进而可得A DCB，再利用正切定义可得答案 【解答】解：BCAN， ABC+A90， CDAM， ABC+DCB90， ADCB， tanAtanDCB， 故选：C 【点评】此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握锐角 A 的对边与邻边的比叫做 A 的正切 9 （4 分）中国古代在利用“计里画方” （比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图 时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离在如图所示的测量距离 AB 的示意图中，记 照板“内芯”的高度为 EF观测者的眼睛（图中用点 C 表示）与 BF 在同一
18、水平线上， 则下列结论中，正确的是（ ） 第 11 页（共 24 页） A B C D 【分析】由平行得相似，由相似得比例，即可作出判断 【解答】解：EFAB， CEFCAB， ， 故选：B 【点评】此题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的 关键 10 （4 分）若（ac+b）221， （a+c+b）22019，则 a2+b2+c2+2ab 的值是（ ） A1020 B1998 C2019 D2040 【分析】现将（ac+b）221 与（a+c+b）22019 展开去括号，然后两式相加即可得 到答案 【解答】解： （ac+b）2a2+b2+c22ac2bc+2ab2
19、1， （a+c+b）2a2+b2+c2+2ac+2bc+2ab2019， +，得 2（a2+b2+c2）+4ab2040， a2+b2+c2+2ab1020 故选：A 【点评】本题考查了代数式求值，熟练运用完全平方公式是解题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）计算： 【分析】根据负整数指数幂的运算法则、零指数幂的运算法则计算，得到答案 第 12 页（共 24 页） 【解答】解：原式+1 ， 故答案为： 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握负整数指数幂的运算法则、零指数幂 的运算法则是解题的关键
20、 12 （4 分）若分式的值为 0，则 x 的值是 2 【分析】根据分式的值为 0，即分母不为 0，分子为 0 得到 x20，且 x+20，求出 x 即可 【解答】解：分式的值为 0， x20，且 x+30， x2 故答案为：2 【点评】 本题考查了分式的值为 0 的条件： 分式的值为 0， 要满足分母不为 0， 分子为 0 也 考查了解方程和不等式 13 （4 分）分解因式：a3ab2 a（a+b） （ab） 【分析】首先提取公因式 a，进而利用平方差公式分解因式得出答案 【解答】解：a3ab2 a（a2b2） a（a+b） （ab） 故答案为：a（a+b） （ab） 【点评】此题主要考查了
21、提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解 题关键 14 （4 分）若一个扇形的圆心角为 120，面积为 6，则这个扇形的半径为 【分析】根据扇形面积公式计算，得到答案 【解答】解：设扇形的半径为 r， 由题意得，6， 解得，r3， 第 13 页（共 24 页） 故答案为：3 【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：S是解题的关键 15 （4 分）2019 年泉州市初中学业水平考试中，每位参加体育考试的学生都必需从“篮球、 足球、 排球” 中选择一种球类参加测试， 则小聪和小明同时选考 “足球” 的概率是 【分析】画树状图展示所有 9 种等可能的结果数，再找出小聪和小明
22、同时选考“足球” 的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解：画树状图为： 共有 9 种等可能的结果数，其中小聪和小明同时选考“足球”的结果数为 1， 所以小聪和小明同时选考“足球”的概率 故答案为 【点评】本题考查了概率公式：随机事件 A 的概率 P（A）事件 A 可能出现的结果数除 以所有可能出现的结果数 16 （4 分）如图，以直角三角形 ABC 的斜边 BC 为边在三角形 ABC 的同侧作正方形 BCEF， 设正方形的中心为 O，连结 AO，如果 AB4，AO6，则 AC 16 【分析】在 AC 上截取 CGAB4，连接 OG，根据 B、A、O、C 四点共圆，推出ABO ACO，证BA
23、OCGO，推出 OAOG6，AOBCOG，得出等腰直角 三角形 AOG，根据勾股定理求出 AG，即可求出 AC 【解答】解：在 AC 上截取 CGAB4，连接 OG， 第 14 页（共 24 页） 四边形 BCEF 是正方形，BAC90， OBOC，BACBOC90， B、A、O、C 四点共圆， ABOACO， 在BAO 和CGO 中 ， BAOCGO， OAOG6，AOBCOG， BOCCOG+BOG90， AOGAOB+BOG90， 即AOG 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：AG， 即 AC12+416 故答案为：16 【点评】本题主要考查对勾股定理，正方形的性质，直角三角形的性质，全等
24、三角形的 性质和判定等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理和计算是解此题的 关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 86 分）分） 17 （8 分）解不等式组： 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，就是不等式 组的解集 第 15 页（共 24 页） 【解答】解：， 由，得：x2， 由，得：x3， 不等式、的解集在数轴上表示如下： ， 所以不等式组的解集是 x3 【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断 18 （8 分）先化简，再求值：，其中 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算
25、，得到答案 【解答】解：原式（） ， 当 x+3 时，原式 【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键 19 （8 分）如图，已知点 E，C 在线段 BF 上，BECF，BDEF，ACBF，求 证：四边形 ABED 为平行四边形 【分析】 根据平行四边形的判定定理， 很容易求证 ABDE 且 ABDE， 所以四边形 ABED 是平行四边形 【解答】证明：BECF， BE+ECCF+EC， 即 BCEF， 又BDEF，ACBF， 第 16 页（共 24 页） ABCDEF， ABDE， BDEF， ABDE， 四边形 ABED 是平行四边形 【点评】本题重点考查了三角
26、形全等的判定定理和平行四边形的判定，在应用判定定理 判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行 解答，避免混用判定方法 20 （8 分）如图，BD 是菱形 ABCD 的对角线 （1）请用直尺和圆规作 AB 的垂直平分线 EF，垂足为点 E，交 AD 于点 F； （不要求写作 法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接 BF，若CBD75，求DBF 的度数 【分析】 （1）利用基本作图作 EF 垂直平分 AB； （2）利用菱形的性质得 ADBC，ABDCBD75，则ABC150，再利用平 行线的性质得A180ABC18015030，接着根据线段垂直平分线的
27、 性质得 AFBF，则AFBA30，然后计算ABDFBA 即可 【解答】解： （1）如图，EF 为所作； （2）四边形 ABCD 是菱形， ADBC，ABDCBD75， ABC150， ADBC， 第 17 页（共 24 页） A180ABC18015030， EF 垂直平分 AB， AFBF， AFBA30， DBFABDFBA753045 【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段； 作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知 直线的垂线） 也考查了菱形的性质 21 （8 分）已知 BC 是O 的直径，点 D 是 BC 延长线
28、上一点，ABAD，AE 是O 的弦， AEC30 （1）求证：直线 AD 是O 的切线； （2）若 AEBC，垂足为 M，O 的半径为 4，求 AE 的长 【分析】 （1）先求出ABC30，进而求出BAD120，即可求出OAB30， 结论得证； （2）先求出AOC60，用三角函数求出 AM，再用垂径定理即可得出结论 【解答】解： （1）如图， AEC30， ABC30， ABAD， DABC30， 根据三角形的内角和定理得，BAD120， 连接 OA，OAOB， OABABC30， OADBADOAB90， 第 18 页（共 24 页） OAAD， 点 A 在O 上， 直线 AD 是O 的切线
29、； （2）连接 OA，AEC30， AOC60， BCAE 于 M， AE2AM，OMA90， 在 RtAOM 中，AMOAsinAOM4sin602， AE2AM4 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，锐角三角函数， 三角形内角和定理，圆周角定理，求出AOC60是解本题的关键 22 （10 分）某学校八、九两个年级各有学生 180 人，为了解这两个年级学生的体质健康情 况，进行了抽样调查，具体过程如下： 收集数据 从八、九两个年级各随机抽取 20 名学生进行体质健康测试，测试成绩（百分制）如下： 八年级 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 7
30、5 79 81 70 74 80 86 69 83 77 九年级 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40 整理、描述数据 将成绩按如下分段整理、描述这两组样本数据： 成绩（ x） 40x50x60x70x80x90x 第 19 页（共 24 页） 49 59 69 79 89 100 八年级人数 0 0 1 11 7 1 九年级人数 1 0 0 7 10 2 （说明：成绩 80 分及以上为体质健康优秀，7079 分为体质健康良好，6069 分为体 质健康合格，60 分以下为体质健康不合格） 分析数据 两组样本数据的
31、平均数、中位数、众数、方差如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 78.3 77.5 75 33.6 九年级 78 80.5 a 52.1 （1）表格中 a 的值为 81 ； （2）请你估计该校九年级体质健康优秀的学生人数为多少？ （3）根据以上信息，你认为哪个年级学生的体质健康情况更好一些？请说明理由 （请 从两个不同的角度说明推断的合理性） 【分析】 （1）根据众数的概念解答； （2）求出九年级学生体质健康的优秀率，计算即可； （3）分别从不同的角度进行评价 【解答】解： （1）由测试成绩可知，81 分出现的次数最多， a81， 故答案为：81； （2）九年级学生体质健康的优
32、秀率为：， 九年级体质健康优秀的学生人数为：18060%108（人） ， 答：估计该校九年级体质健康优秀的学生人数为 108 人； （3） 因为八年级学生的平均成绩高于九年级的平均成绩， 且八年级学生成绩的方差小 于九年级的方差，所以八年级学生的体质健康情况更好一些 因为九年级学生的优秀率（60%）高于八年级的优秀率（40%） ，且九年级学生成绩的 众数或中位数高于八年级的众数或中位数，所以九年级学生的体质健康情况更好一些 【点评】本题考查的是用样本估计总体、方差、平均数、众数和中位数的概念和性质， 第 20 页（共 24 页） 正确求出样本的众数、理解方差和平均数、众数、中位线的性质是解题的
33、关键 23 （10 分）某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放 满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升 10，待加热到 100，饮水机 自动停止加热，水温开始下降，水温 y（）与通电时间 x（min）成反比例关系，直至 水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程设某天水温和室温为 20，接通 电源后，水温 y（）与通电时间 x（min）的关系如下图所示，回答下列问题： （1）当 0x8 时，求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）求出图中 a 的值； （3）某天早上 7：20，李老师将放满水后的饮水机电源打开，若他想在 8：00 上课前能 喝到不超
34、过 40的温开水，问：他应在什么时间段内接水？ 【分析】 （1）由函数图象可设函数解析式，再将图中坐标代入解析式，利用待定系数法 即可求得 y 与 x 的关系式； （2）将 y20 代入 y，即可得到 a 的值； （3）要想喝到不超过 40的开水，7：30 加 20 分钟即可接水，一直到 8：10； 【解答】解： （1）当 0x8 时，设 y 与 x 之间的函数关系式为 ykx+b（k0） ， 将（0，20） ， （8，100）代入 ykx+b，得：， 解得：， 当 0x8 时，y 与 x 之间的函数关系式为 y10x+20； （2）当 8xa 时，设 y 与 x 之间的函数关系式为（k20）
35、 ， 将（8，100）代入，得： 解得：k2800， 第 21 页（共 24 页） 当 8xa 时，y 与 x 之间的函数关系式为； 将（a，20）代入，得：a40； （3）依题意，得：40， 解得：x20 x40， 20x40 他应在 7：408：00 时间段内接水 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求出 两个函数的解析式 24 （12 分）在ABC 中，ABAC，将线段 AC 绕着点 C 逆时针旋转得到线段 CD，旋转角 为 （1）如图 1，BAC90，45，试求点 D 到边 AB，AC 的距离的比值； （2）如图 2，BAC100，20，连接 AD，
36、BD，求CBD 的大小 【分析】 （1）先找出点 D 的位置，求出BDFCDE，得出比例式，再解直角三角形 求出即可； （2）在 BC 上截取 CFAD，连接 DF，求出DCFBAD，根据全等三角形的性质得 出ABDCDF，BDDF，再求出答案即可 【解答】解： （1）如图 1， BAC90，ABAC， 第 22 页（共 24 页） BC45， 45， 点 D 恰好落在 BC 上， 过点 D 作 DEAB，DFAC，垂足分别为点 E，F，则有：BEDDFC90， BDFCDE， ， 设 ABACm，则有：， 1， 即点 D 到边 AB，AC 的距离的比值为； （2） 如图 2， 在 BC 边上
37、截取 CFAD， 连接 DF， BAC100，ABAC， ABCBCA40， ACD20， DCB20， 又ACDC， CAD80， BADDCB20， 在DCF 和BAD 中 DCFBAD（SAS） ， ABDCDF，BDDF， DBCDFB， DBCABCABD40ABD，DFBDCF+CDF20+CDF， 第 23 页（共 24 页） 20+CDF40ABD， 2ABD4020， 即ABD10， CBDABCABD401030 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质，解直角三角形等知识点， 能综合运用知识点进行推理是解此题的关键 25 （14 分）已知抛物线 ymx2+2m
38、x+m1 和直线 ymx+m1，且 m0 （1）求抛物线的顶点坐标； （2）试说明抛物线与直线有两个交点； （3）已知点 T（t，0） ，且1t1，过点 T 作 x 轴的垂线，与抛物线交于点 P，与直线 交于点 Q，当 0m3 时，求线段 PQ 长的最大值 【分析】 （1）化为顶点式即可求顶点坐标 （2）由 ymx2+2mx+m1 和 ymx+m1 可得：mx2+2mx+m1mx+m1，整理得， mx（x+1）0，即可知抛物线与直线有两个交点 （3）由（2）可得：抛物线与直线交于（1，1）和（0，m1）两点，点 P 的坐标 为（t，mt2+2mt+m1） ，点 Q 的坐标为（t，mt+m1）
39、故分两种情况进行讨论：如图 1，当1t0 时；如图 2，当 0t1 时，求出对 应的最大值即可 【解答】解： （1）ymx2+2mx+m1m（x+1）21， 抛物线的顶点坐标为（1，1） （2）由 ymx2+2mx+m1 和 ymx+m1 可得：mx2+2mx+m1mx+m1， mx2+mx0，mx（x+1）0， m0， x10，x21 抛物线与直线有两个交点 （3）由（2）可得：抛物线与直线交于（1，1）和（0，m1）两点， 点 P 的坐标为（t，mt2+2mt+m1） ，点 Q 的坐标为（t，mt+m1） 如图 1，当1t0 时，PQ 第 24 页（共 24 页） m0， 当时，PQ 有最大值，且最大值为 0m3，即 PQ 的最大值为 如图 2，当 0t1 时，PQ m0， 当 t1 时，PQ 有最大值，且最大值为 2m 0m3， 02m6，即 PQ 的最大值为 6 综上所述，PQ 的最大值为 6 【点评】此题主要考查二次函数的应用， （1） （2）题相对简单， （3）题要分情况进行讨 论方右解答，因此做此类题型，在进行分类讨论时，尽量通过大致图象数型结合进行解 答
