1、 第 1 页（共 29 页） 2019 年辽宁省铁岭市中考数学一模试卷年辽宁省铁岭市中考数学一模试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）2019 的倒数是（ ） A2019 B2019 C D 2 （3 分）桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其三视图如图所示，则组成此 几何体需要正方体的个数是（ ） A6 B7 C8 D9 3 （3 分）下列运算正确的是（ ） A2a.3a26a2 B （a5 ） 2 a 10 C2a+a3a D6a62a2 3a3 4 （3 分）如图，共有 12 个大不相同的小正方形，其中阴影部分的 5 个小正方
2、形是一个正 方体的表面展开图的一部分现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，则能构成这个 正方体的表面展开图的概率是（ ） A B C D 5 （3 分）根据国家发改委实施“阶梯水价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从 2016 年 1 月 1 日起对居民生活用水按新的“阶梯水价”标准收费，某中学研究学习小组 的同学们在社会实践活动中调查了 30 户家庭某月的用水量，如表所示： 用水量（吨） 15 20 25 30 35 户数 3 6 7 9 5 则这 30 户家庭该用用水量的众数和中位数分别是（ ） A25，27 B25，25 C30，27 D30，25 第 2 页（共 29 页） 6
3、（3 分）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放 1000 辆单车，计划 第三个月投放单车数量比第一个月多 440 辆设该公司第二、三两个月投放单车数量的 月平均增长率为 x，则所列方程正确的为（ ） A1000（1+x）21000+440 B1000（1+x）2440 C440（1+x）21000 D1000（1+2x）1000+440 7 （3 分）在平面直角坐标系中，点 P（2，x2+1）所在的象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 8 （3 分）如图，点 A 是反比例函数 y（x0）的图象上任意一点，ABx 轴交反比例 函数 y的图象于点 B，以 A
4、B 为边作ABCD，其中 C、D 在 x 轴上，则 SABCD为 （ ） A2 B3 C4 D5 9 （3 分）如图，在边长为 6 的菱形 ABCD 中，DAB60，以点 D 为圆心，菱形的高 DF 为半径画弧，交 AD 于点 E，交 CD 于点 G，则图中阴影部分的面积是（ ） A189 B183 C9 D183 10 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 P、Q 分别是 CD、AD 的中点，动点 E 从 点 A 向点 B 运动，到点 B 时停止运动；同时，动点 F 从点 P 出发，沿 PDQ 运动， 点 E、F 的运动速度相同设点 E 的运动路程为 x，AEF 的面积为 y，
5、能大致刻画 y 与 x 的函数关系的图象是（ ） 第 3 页（共 29 页） A B C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 11 （3 分）空气中有一种有害粉尘颗粒，其直径大约为 0.000000017m，该直径可用科学记 数法表示为 m 12 （3 分）分解因式：ab34ab 13 （3 分）数据2、1、0、1、2 的方差是 14 （3 分）如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果那么，这名球员投篮一次，投中 的概率约为 （精确到 0.1） 投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500 投中次数（m） 28 60 78 104
6、123 152 251 投中频率（m/n） 0.56 0.60 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50 15 （3 分）关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+0 有两个相等的实数根，写出一组满足条件 的实数 a，b 的值：a ，b 16 （3 分）如图，在平面直角坐标系系中，直线 yk1x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，与反比例函数 y在第一象限内的图象交于点 B，连结 BO若 SOBC1，tan BOC，则 k2的值是 第 4 页（共 29 页） 17 （3 分）如图，菱形 ABCD 的面积为 120cm2，正方形 AECF 的面积为 50cm2，则菱形的 边长
7、为 cm 18 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，将ABO 绕点 B 顺时针旋转到A1BO1的位置， 使点 A 的对应点 A1落在直线 yx 上，再将A1BO1绕点 A1顺时针旋转到A1B1O2 的位置，使点 O1的对应点 O2落在直线 yx 上，依次进行下去，若点 A 的坐标是 （0，1） ，点 B 的坐标是（，1） ，则点 A8的横坐标是 三、解答题（三、解答题（19 题题 10 分，分，20 题题 12 分，分，21 题题 12 分，共分，共 34 分）分） 19 （10 分）先化简，再求值 （1），其中 x（） 2tan45 20 （12 分）为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级 6
8、00 名学生每天的自主学习情况，某 校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间根据调查结 果，制作了两幅不完整的统计图（图 1，图 2） ，请根据统计图中的信息回答下列问题： 第 5 页（共 29 页） （1）本次调查的学生人数是 人； （2）图 2 中 是 度，并将图 1 条形统计图补充完整； （3）请估算该校九年级学生自主学习时间不少于 1.5 小时有 人； （4）老师想从学习效果较好的 4 位同学（分别记为 A、B、C、D，其中 A 为小亮）随机 选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小亮 A 的概率 21 （12 分）某市政工程队承担着 1200
9、 米长的道路维修任务为了减少对交通的影响，在 维修了 240 米后通过增加人数和设备提高了工程进度，工作效率是原来的 4 倍，结果共 用了 6 小时就完成了任务求原来每小时维修多少米？ 四、解答题（四、解答题（22 题，题，23 题各题各 12 分，共分，共 24 分）分） 22 （12 分）如图，AB 为O 的直径，C 是O 上一点，过点 C 的直线交 AB 的延长线于点 D，AEDC，垂足为 E，F 是 AE 与O 的交点，AC 平分BAE （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若 AE6，D30，求图中阴影部分的面积 23 （12 分）如图，三沙市一艘海监船某天在黄岩岛 P 附近海域由
10、南向北巡航，某一时刻航 行到 A 处，测得该岛在北偏东 30方向，海监船以 20 海里/时的速度继续航行，2 小时 后到达 B 处， 测得该岛在北偏东 75方向， 求此时海监船与黄岩岛 P 的距离 BP 的长（参 考数据：1.414，结果精确到 0.1） 第 6 页（共 29 页） 五、 （五、 （12 分）分） 24 （12 分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为 20 元，出于营销考虑，要求每本纪念 册的售价不低于 20 元且不高于 28 元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量 y（本） 与每本纪念册的售价 x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为 22 元时，销售量为 36 本；当销
11、售单价为 24 元时，销售量为 32 本 （1）请直接写出 y 与 x 的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得 150 元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少 元？ （3） 设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为 w 元， 将该纪念册销售单价定为多 少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 六、 （六、 （12 分）分） 25 （12 分）如图，QPN 的顶点 P 在正方形 ABCD 两条对角线的交点处，QPN， 将QPN 绕点 P 旋转， 旋转过程中QPN 的两边分别与正方形 ABCD 的边 AD 和 CD 交 于点E和点F（点F与点C，D不重 合）
12、（1）如图，当 90时，DE，DF，AD 之间满足的数量关系是 ； （2）如图，将图中的正方形 ABCD 改为ADC120的菱形，其他条件不变，当 60时， （1）中的结论变为 DE+DFAD，请给出证明； （3）在（2）的条件下，若旋转过程中QPN 的边 PQ 与射线 AD 交于点 E，其他条件 第 7 页（共 29 页） 不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD 之间满足的数量关系，直接写出结论， 不用加以证明 七、 （七、 （14 分）分） 26 （14 分）如图，已知抛物线 yx2+bx+c 经过ABC 的三个顶点，其中点 A（0，1） ， 点 B（9，10） ，ACx 轴，点
13、 P 是直线 AC 下方抛物线上的动点 （1）求抛物线的解析式； （2）过点 P 且与 y 轴平行的直线 l 与直线 AB、AC 分别交于点 E、F，当四边形 AECP 的面积最大时，求点 P 的坐标； （3）当点 P 为抛物线的顶点时，在直线 AC 上是否存在点 Q，使得以 C、P、Q 为顶点 的三角形与ABC 相似，若存在，求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由 第 8 页（共 29 页） 2019 年辽宁省铁岭市中考数学一模试卷年辽宁省铁岭市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）20
14、19 的倒数是（ ） A2019 B2019 C D 【分析】直接利用倒数的定义：乘积是 1 的两数互为倒数，进而得出答案 【解答】解：2019 的倒数是： 故选：C 【点评】此题主要考查了倒数，正确把握相关定义是解题关键 2 （3 分）桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其三视图如图所示，则组成此 几何体需要正方体的个数是（ ） A6 B7 C8 D9 【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看 出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数 【解答】解：根据俯视图可知该组合体共 3 行、2 列， 结合主视图和左视图知该几何体中小正方体的分布情况如图
15、所示： 则组成此几何体需要正方体的个数是 7， 故选：B 【点评】本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想 象能力方面的考查如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就 第 9 页（共 29 页） 更容易得到答案 3 （3 分）下列运算正确的是（ ） A2a.3a26a2 B （a5 ） 2 a 10 C2a+a3a D6a62a2 3a3 【分析】根据整式的运算法则即可求出答案 【解答】解：A、2a.3a26a3，错误； B、 （a5 ） 2 a 10 ，正确； C、2a+aa，错误； D、6a62a2 3a4，错误； 故选：B 【点评】本题考查整式
16、的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础 题型 4 （3 分）如图，共有 12 个大不相同的小正方形，其中阴影部分的 5 个小正方形是一个正 方体的表面展开图的一部分现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，则能构成这个 正方体的表面展开图的概率是（ ） A B C D 【分析】由正方体表面展开图的形状可知，此正方体还缺一个上盖，故应在图中四块相 连的空白正方形中选一块，再根据概率公式解答即可 【解答】解：因为共有 12 个大小相同的小正方形，其中阴影部分的 5 个小正方形是一个 正方体的表面展开图的一部分， 所以剩下 7 个小正方形 在其余的 7 个小正方形中任取一个涂上阴影，能
17、构成这个正方体的表面展开图的小正方 形有 4 个， 因此先从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率 是 故选：D 第 10 页（共 29 页） 【点评】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比， 掌握概率公式是本题的关键 5 （3 分）根据国家发改委实施“阶梯水价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从 2016 年 1 月 1 日起对居民生活用水按新的“阶梯水价”标准收费，某中学研究学习小组 的同学们在社会实践活动中调查了 30 户家庭某月的用水量，如表所示： 用水量（吨） 15 20 25 30 35 户数 3 6 7 9 5 则这
18、30 户家庭该用用水量的众数和中位数分别是（ ） A25，27 B25，25 C30，27 D30，25 【分析】根据众数、中位数的定义即可解决问题 【解答】解：因为 30 出现了 9 次， 所以 30 是这组数据的众数， 将这 30 个数据从小到大排列，第 15、16 个数据的平均数就是中位数，所以中位数是 25， 故选：D 【点评】本题考查众数、中位数的定义，解题的关键是记住众数、中位数的定义，属于 基础题，中考常考题型 6 （3 分）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放 1000 辆单车，计划 第三个月投放单车数量比第一个月多 440 辆设该公司第二、三两个月投放单车数量
19、的 月平均增长率为 x，则所列方程正确的为（ ） A1000（1+x）21000+440 B1000（1+x）2440 C440（1+x）21000 D1000（1+2x）1000+440 【分析】根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题 【解答】解：由题意可得， 1000（1+x）21000+440， 故选：A 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出 相应的方程，这是一道典型的增长率问题 7 （3 分）在平面直角坐标系中，点 P（2，x2+1）所在的象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 第 11 页（共 29 页） 【
20、分析】根据非负数的性质确定出点 P 的纵坐标是正数，然后根据各象限内点的坐标特 征解答 【解答】解：x20， x2+11， 点 P（2，x2+1）在第二象限 故选：B 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解 决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+） ；第二象限（，+） ；第三象 限（，） ；第四象限（+，） 8 （3 分）如图，点 A 是反比例函数 y（x0）的图象上任意一点，ABx 轴交反比例 函数 y的图象于点 B，以 AB 为边作ABCD，其中 C、D 在 x 轴上，则 SABCD为 （ ） A2 B3 C4 D5 【分析】设 A 的纵
21、坐标是 b，则 B 的纵坐标也是 b，即可求得 A、B 的横坐标，则 AB 的 长度即可求得，然后利用平行四边形的面积公式即可求解 【解答】解：设 A 的纵坐标是 b，则 B 的纵坐标也是 b 把 yb 代入 y得，b，则 x，即 A 的横坐标是， ； 同理可得：B 的横坐标是： 则 AB（） 则 SABCDb5 故选：D 【点评】本题考查了是反比例函数与平行四边形的综合题，理解 A、B 的纵坐标是同一个 值，表示出 AB 的长度是关键 第 12 页（共 29 页） 9 （3 分）如图，在边长为 6 的菱形 ABCD 中，DAB60，以点 D 为圆心，菱形的高 DF 为半径画弧，交 AD 于点
22、 E，交 CD 于点 G，则图中阴影部分的面积是（ ） A189 B183 C9 D183 【分析】 由菱形的性质得出 ADAB6， ADC120， 由三角函数求出菱形的高 DF， 图中阴影部分的面积菱形 ABCD 的面积扇形 DEFG 的面积， 根据面积公式计算即可 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，DAB60， ADAB6，ADC18060120， DF 是菱形的高， DFAB， DFADsin6063， 图中阴影部分的面积菱形 ABCD 的面积扇形 DEFG 的面积63 189 故选：A 【点评】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出 菱形的高是解决问题
23、的关键 10 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 P、Q 分别是 CD、AD 的中点，动点 E 从 点 A 向点 B 运动，到点 B 时停止运动；同时，动点 F 从点 P 出发，沿 PDQ 运动， 点 E、F 的运动速度相同设点 E 的运动路程为 x，AEF 的面积为 y，能大致刻画 y 与 x 的函数关系的图象是（ ） 第 13 页（共 29 页） A B C D 【分析】分 F 在线段 PD 上，以及线段 DQ 上两种情况，表示出 y 与 x 的函数解析式， 即可做出判断 【解答】解：当 F 在 PD 上运动时，AEF 的面积为 yAEAD2x（0x2） ， 当 F 在 A
24、D 上运动时， AEF 的面积为 yAEAFx （6x） x2+3x （2x4） ， 图象为： 故选：A 【点评】此题考查了动点问题的函数问题，解决本题的关键是读懂图意，得到相应 y 与 x 的函数解析式 二二、填空题（每小题、填空题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 11 （3 分）空气中有一种有害粉尘颗粒，其直径大约为 0.000000017m，该直径可用科学记 数法表示为 1.710 8 m 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大 数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数 字前面的 0 的个数所决
25、定 【解答】解：0.0000000171.710 8 故答案为：1.710 8 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10 n，其中 1|a|10， n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 第 14 页（共 29 页） 12 （3 分）分解因式：ab34ab ab（b+2） （b2） 【分析】先提取公因式 ab，然后再对余下的多项式利用平方差公式继续分解即可求得答 案 【解答】解：ab34abab（b24）ab（b+2） （b2） 故答案为：ab（b+2） （b2） 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识注意因式分解的步骤： 首先提取公
26、因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分 解为止 13 （3 分）数据2、1、0、1、2 的方差是 2 【分析】根据题目中的数据可以求得这组数据的平均数，然后根据方差的计算方法可以 求得这组数据的方差 【解答】解：由题意可得， 这组数据的平均数是：， 这组数据的方差是：2， 故答案为：2 【点评】本题考查方差，解题的关键是明确方差的计算方法 14 （3 分）如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果那么，这名球员投篮一次，投中 的概率约为 0.5 （精确到 0.1） 投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500 投中次数（m） 28 60 78 1
27、04 123 152 251 投中频率（m/n） 0.56 0.60 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50 【分析】计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一 次，投中的概率 【解答】解：由题意得，这名球员投篮的次数为 1550 次，投中的次数为 796， 故这名球员投篮一次，投中的概率约为：0.5 故答案为：0.5 【点评】此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基 础上得出的，不能单纯的依靠几次决定 第 15 页（共 29 页） 15 （3 分）关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+0 有两个相等的实数根，写出一组满足条件
28、的实数 a，b 的值：a 4 ，b 2 【分析】由于关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+0 有两个相等的实数根，得到 ab2， 找一组满足条件的数据即可 【解答】关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+0 有两个相等的实数根， b24ab2a0， ab2， 当 b2 时，a4， 故 b2，a4 时满足条件 故答案为：4，2 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的意义是解题的关 键 16 （3 分）如图，在平面直角坐标系系中，直线 yk1x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，与反比例函数 y在第一象限内的图象交于点 B，连结 BO若 SOBC1，tan
29、BOC，则 k2的值是 3 【分析】首先根据直线求得点 C 的坐标，然后根据BOC 的面积求得 BD 的长，然后利 用正切函数的定义求得 OD 的长，从而求得点 B 的坐标，求得结论 【解答】解：直线 yk1x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C， 点 C 的坐标为（0，2） ， OC2， SOBC1， BD1， 第 16 页（共 29 页） tanBOC， ， OD3， 点 B 的坐标为（1，3） ， 反比例函数 y在第一象限内的图象交于点 B， k2133 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解题的关键是仔细审题，能够 求得点 B 的坐标，难度不大 17 （3 分
30、）如图，菱形 ABCD 的面积为 120cm2，正方形 AECF 的面积为 50cm2，则菱形的 边长为 13 cm 【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可 【解答】解：因为正方形 AECF 的面积为 50cm2， 所以 ACcm， 因为菱形 ABCD 的面积为 120cm2， 所以 BDcm， 所以菱形的边长cm 故答案为：13 【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答 18 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，将ABO 绕点 B 顺时针旋转到A1BO1的位置， 第 17 页（共 29 页） 使点 A 的对应点 A1落在直线 yx 上，再将A1BO1绕点
31、 A1顺时针旋转到A1B1O2 的位置，使点 O1的对应点 O2落在直线 yx 上，依次进行下去，若点 A 的坐标是 （0，1） ，点 B 的坐标是（，1） ，则点 A8的横坐标是 6+6 【分析】先求出点 A2，A4，A6的横坐标，探究规律即可解决问题 【解答】解：由题意点 A2的横坐标（+1） ， 点 A4的横坐标 3（+1） ， 点 A6的横坐标（+1） ， 点 A8的横坐标 6（+1） 故答案为 6+6 【点评】本题考查坐标与图形的变换旋转，一次函数图形与几何变换等知识，解题的 关键是学会从特殊到一般，探究规律，由规律解决问题，属于中考常考题型 三、解答题（三、解答题（19 题题 10
32、 分，分，20 题题 12 分，分，21 题题 12 分，共分，共 34 分）分） 19 （10 分）先化简，再求值 （1），其中 x（） 2tan45 【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据负整数指数幂和三角函 第 18 页（共 29 页） 数值得出 x 的值，继而代入计算可得 【解答】解：原式1 （1） ， 当 x（） 2tan45413 时， 原式 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法 则及负整数指数幂、特殊锐角的三角函数值 20 （12 分）为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级 600 名学生每天的自主学习情况，某 校学生会随机
33、抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间根据调查结 果，制作了两幅不完整的统计图（图 1，图 2） ，请根据统计图中的信息回答下列问题： （1）本次调查的学生人数是 40 人； （2）图 2 中 是 54 度，并将图 1 条形统计图补充完整； （3）请估算该校九年级学生自主学习时间不少于 1.5 小时有 330 人； （4）老师想从学习效果较好的 4 位同学（分别记为 A、B、C、D，其中 A 为小亮）随机 选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小亮 A 的概率 【分析】 （1）由自主学习的时间是 1 小时的有 12 人，占 30%，即可求得本次调查的学生 人数；
34、 （2）由36054，4035%14；即可求得答案； 第 19 页（共 29 页） （3） 首先求得这 40 名学生自主学习时间不少于 1.5 小时的百分比， 然后可求得该校九年 级学生自主学习时间不少于 1.5 小时的人数； （4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中小亮 A 的情 况，再利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解： （1）自主学习的时间是 1 小时的有 12 人，占 30%， 1230%40， 故答案为：40； （2 分） （2）36054， 故答案为：54； 4035%14； 补充图形如图： 故答案为：54； （3）600330； （2 分） 故答
35、案为：330； （4）画树状图得： 共有 12 种等可能的结果，选中小亮 A 的有 6 种， P（A）（2 分） 第 20 页（共 29 页） 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与扇形统计图、条形统计图的知 识列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步 完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件注意概率所求情况数与总情 况数之比 21 （12 分）某市政工程队承担着 1200 米长的道路维修任务为了减少对交通的影响，在 维修了 240 米后通过增加人数和设备提高了工程进度，工作效率是原来的 4 倍，结果共 用了 6 小时就完成了任务求原来每小时维
36、修多少米？ 【分析】设原来每小时维修 x 米，则后来每小时维修 4x 米，等量关系是：原来维修 240 米所用时间+后来维修（1200240）米所用时间6 小时，依此列出方程求解即可 【解答】解：设原来每小时维修 x 米 根据题意得+6， 解得 x80， 经检验，x80 是原方程的解，且符合题意 答：原来每小时维修 80 米 【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键 四、解答题（四、解答题（22 题，题，23 题各题各 12 分，共分，共 24 分）分） 22 （12 分）如图，AB 为O 的直径，C 是O 上一点，过点 C 的直线交 AB 的延长线于点 D
37、，AEDC，垂足为 E，F 是 AE 与O 的交点，AC 平分BAE （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若 AE6，D30，求图中阴影部分的面积 第 21 页（共 29 页） 【分析】 （1）连接 OC，先证明OACOCA，进而得到 OCAE，于是得到 OCCD， 进而证明 DE 是O 的切线； （2）分别求出OCD 的面积和扇形 OBC 的面积，利用 S阴影SCODS扇形OBC即可得 到答案 【解答】 （1）证明：连接 OC， OAOC， OACOCA， AC 平分BAE， OACCAE， OCACAE， OCAE， OCDE， AEDE， E90， OCD90， OCCD， 点 C
38、在圆 O 上，OC 为圆 O 的半径， CD 是圆 O 的切线； （2） 在 RtAED 中，D30，AE6， AD2AE12， 在 RtAED 中，D30， DO2OCDB+OBDB+OC， 第 22 页（共 29 页） DBOBOCAD4，DO8， CD， SOCD， D30，OCD90， DOC60， S扇形OBCOC2， S阴影SCODS扇形OBC S阴影8， 阴影部分的面积为 8 【点评】本题主要考查了切线的判定以及扇形的面积计算，解（1）的关键是证明 OC DE，解（2）的关键是求出扇形 OBC 的面积，此题难度一般 23 （12 分）如图，三沙市一艘海监船某天在黄岩岛 P 附近海
39、域由南向北巡航，某一时刻航 行到 A 处，测得该岛在北偏东 30方向，海监船以 20 海里/时的速度继续航行，2 小时 后到达 B 处， 测得该岛在北偏东 75方向， 求此时海监船与黄岩岛 P 的距离 BP 的长（参 考数据：1.414，结果精确到 0.1） 【分析】 过 B 作 BDAP 于 D， 由已知条件得： AB20240， P753045， 第 23 页（共 29 页） 在 RtABD 中求出 BDAB20，在 RtBDP 中求出 PB 即可 【解答】解：过 B 作 BDAP 于 D， 由已知条件得：AB20240，P753045， 在 RtABD 中，AB40，A30， BDAB2
40、0， 在 RtBDP 中，P45， PBBD2028.3（海里） 答：此时海监船与黄岩岛 P 的距离 BP 的长约为 28.3 海里 【点评】此题主要考查了方向角问题的应用，根据已知得出PDB 为等腰直角三角形是 解题关键 五、 （五、 （12 分）分） 24 （12 分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为 20 元，出于营销考虑，要求每本纪念 册的售价不低于 20 元且不高于 28 元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量 y（本） 与每本纪念册的售价 x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为 22 元时，销售量为 36 本；当销售单价为 24 元时，销售量为 32 本 （1）请直接写出
41、y 与 x 的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得 150 元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少 元？ （3） 设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为 w 元， 将该纪念册销售单价定为多 少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【分析】 （1）设 ykx+b，根据题意，利用待定系数法确定出 y 与 x 的函数关系式即可； （2）根据题意结合销量每本的利润150，进而求出答案； 第 24 页（共 29 页） （3）根据题意结合销量每本的利润w，进而利用二次函数增减性求出答案 【解答】解： （1）设 ykx+b， 把（22，36）与（24，32）代入得：
42、， 解得：， 则 y2x+80； （2）设当文具店每周销售这种纪念册获得 150 元的利润时，每本纪念册的销售单价是 x 元， 根据题意得： （x20）y150， 则（x20） （2x+80）150， 整理得：x260x+8750， （x25） （x35）0， 解得：x125，x235， 20x28， x35（不合题意舍去） ， 答：每本纪念册的销售单价是 25 元； （3）由题意可得： w（x20） （2x+80） 2x2+120x1600 2（x30）2+200， 此时当 x30 时，w 最大， 又售价不低于 20 元且不高于 28 元， x30 时， w 随 x 的增大而增大， 即当 x
43、28 时， w最大2 （2830） 2+200192 （元） ， 答：该纪念册销售单价定为 28 元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利 润是 192 元 【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用、待定系数法求一次 函数解析式等知识，正确利用销量每本的利润w 得出函数关系式是解题关键 六、 （六、 （12 分）分） 第 25 页（共 29 页） 25 （12 分）如图，QPN 的顶点 P 在正方形 ABCD 两条对角线的交点处，QPN， 将QPN 绕点 P 旋转， 旋转过程中QPN 的两边分别与正方形 ABCD 的边 AD 和 CD 交 于点E和点F（点F与点C，
44、D不重 合） （1）如图，当 90时，DE，DF，AD 之间满足的数量关系是 DE+DFAD ； （2）如图，将图中的正方形 ABCD 改为ADC120的菱形，其他条件不变，当 60时， （1）中的结论变为 DE+DFAD，请给出证明； （3）在（2）的条件下，若旋转过程中QPN 的边 PQ 与射线 AD 交于点 E，其他条件 不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD 之间满足的数量关系，直接写出结论， 不用加以证明 【分析】 （1）利用正方形的性质得出角与线段的关系，易证得APEDPF，可得出 AEDF，即可得出结论 DE+DFAD， （2）取 AD 的中点 M，连接 PM，利用菱形
45、的性质，可得出MDP 是等边三角形，易证 MPEFPD，得出 MEDF，由 DE+MEAD，即可得出 DE+DFAD， （3）当点 E 落在 AD 上时，DE+DFAD，当点 E 落在 AD 的延长线上时，DF DEAD 【解答】解： （1）正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 P， PAPD，PAEPDF45， APE+EPDDPF+EPD90， APEDPF， 在APE 和DPF 中 APEDPF（ASA） ， AEDF， 第 26 页（共 29 页） DE+DFAD； （2）如图，取 AD 的中点 M，连接 PM， 四边形 ABCD 为ADC120的菱形， BDAD，DAP30
46、，ADPCDP60， MDP 是等边三角形， PMPD，PMEPDF60， PAM30， MPD60， QPN60， MPEFPD， 在MPE 和DPF 中， MPEDPF（ASA） MEDF， DE+DFAD； （3）如图， 在整个运动变化过程中， 当点 E 落在 AD 上时，DE+DFAD； 当点 E 落在 AD 的延长线上时，DFDEAD 第 27 页（共 29 页） （如图 3，取 AD 中点 M，连接 PM，证明MPEDPF） 【点评】本题主要考查了四边形的综合题，涉及全等三角形，正方形及菱形的性质，解 答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与线段之 间的等量关系 七、 （七、 （14 分）分） 26 （14 分）如图，已知抛物线 yx2+bx+c 经过ABC 的三个顶点，其中点 A（0，1） ， 点 B（9，10） ，ACx 轴，点 P 是直线 AC 下方抛物线上的动点 （1）求抛物线的解析式； （2）过点 P 且与 y
