1、2019 年辽宁省铁岭市昌图县中考数学模拟试卷（4 月份）一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1（3 分）3 的绝对值是（ ）A3 B3 C D2（3 分）如图为一个台阶，它的主视图正确的是（ ）A B C D3（3 分）下列运算正确的是（ ）Aa 3b3（ab） 3 Ba 2a3a 6Ca 6a3a 2 D（a 2） 3a 54（3 分）体育课上，某班两名同学分别进行了 5 次短跑训练，要判断哪一位同学的成绩比较稳定，通常要比较两名同学成绩的（ ）A平均数 B方差 C众数 D中位数5（3 分）将点 A（2，3）绕坐标原点逆时针旋转 90 后得到点 A，则点 A的坐标为（ ）A（2，3）
2、 B（3，2） C（2，3） D（3，2）6（3 分）向一个半径为 2 的圆中投掷石子（假设石子全部投入圆形区域内），那么石子落在此圆的内接正方形中的概率是（ ）A B C D7（3 分）一个圆锥的轴截面是一个边长为 2cm 的等边三角形，则它的侧面积是（ ）A4 B2 C D8（3 分）关于 x 的一元二次方程 有两个实数根，则 m 的取值范围是（ ）Am1 Bm1 C3m1 D3m 19（3 分）如图，三角形 OAB 和三角形 BCD 是等腰直角三角形，点 B、D 在 x 轴上，ABOCDB 90，点 A 在双曲线 上，若OAC 的面积为 ，则 k 的值为（ ）A B C9 D1210（3
3、 分）如图，二次函数 yax 2+bx+c 的对称轴是直线 x1，且经过点（1，0），则下列结论：abc 0；2ab0； a ；若方程 ax2+bx+c20 的两个根为 x1 和 x2，则（x 1+1）（ x23）0，正确的有（ ）个A1 B2 C3 D4二、填空题（本题 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）11（3 分）截止 2018 年底，中国互联网用户达 8.29 亿数据 8.29 亿用科学记数法表示为 12（3 分）在实数范围内分解因式：x 32x 13（3 分）如图，已知ACB90，直线 MNAB，若133，则2 14（3 分）已知 +|y3| 0，那么 xy 15（3 分）如图
4、，AB 为 O 的直径，弦 CD直径 AB，垂足为 E，连接 OC，BD，如果D55，那么DCO 16（3 分）在一个不透明的口袋中装有 40 个红、白两色小球，这些小球除颜色外都相同，如果从中随机摸出一球为红球的概率是 ，那么袋中一共有白球 个17（3 分）ABC 三个顶点的坐标分别是 A（3，4），B（1，1），C（4，1），将ABC 以点 O 为位似中心，位似比为 缩小后，点 A 对应点 A的坐标是 18（3 分）如图，点 B1 是ABC 的边 AB 的中点，过点 B1 作 BC 边的平行线交 AC 边于点 C1，点 B2 是AB 1C1 的边 AB1 的中点，过点 B2 作 B1C1
5、边的平行线交 AC1 于点 C2，如此继续作下去，若ABC 的面积为 S，则四边形 BnBn1 Cn1 n 的面积为 三、解答题（第 19 题 10 分，第 20 题 12 分，共 22 分）19（10 分）先化简再求值： ，其中 x 20（12 分）某中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了 4 个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）九（1）班的学生人数为 ，并把条形统计图补充完整
6、；（2）扇形统计图中 m ，n ，表示“足球”的扇形的圆心角是 度；（3）排球兴趣小组 4 名学生中有 3 男 1 女，现在打算从中随机选出 2 名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的 2 名学生恰好是 1 男 1 女的概率21如图，ABCD 中，点 E，F 分别是 BC 和 AD 边上的点，AE 垂直平分 BF，交 BF 于点P，连接 EF，PD（1）求证：平行四边形 ABEF 是菱形；（2）若 AB4，AD 6，ABC 60，求 tanADP 的值22小强和小明同学在学习了“平面镜反射原理后，”自己用一个小平面镜 MN 做实验他们先将平面镜放在平面上，如图，用一束与平面成
7、 30角的光线照射平面镜上的A 处，使光影正好落在对面墙面上一幅画的底边 C 点，他们不改变光线的角度，原地将平面镜转动了 7.5角，即MAM7.5，使光影落在 C 点正上方的 D 点，测得CD10cm ，求平面镜放置点与墙面的距离 AB（ 1.73，结果精确到 0.1）23如图，AC 是O 的直径，点 B 为 O 上一点，PA 切 O 于点 A，PB 与 AC 的延长线交于点 M，CAB APB（1）求证：PB 是O 的切线；（2）当 sinM ，OA2 时，求 MB，AB 的长24某工厂加工一种商品，每天加工件数不超过 100 件时，每件成本 80 元，每天加工超过100 件时，每多加工
8、5 件，成本下降 2 元，但每件成本不得低于 70 元设工厂每天加工商品 x（件），每件商品成本为 y（元），（1）求出每件成本 y（元）与每天加工数量 X（件）之间的函数关系式，并注明自变量的取值范围；（2）若每件商品的利润定为成本的 20%，求每天加工多少件商品时利润最大，最大利润是多少？25正方形 ABCD 的边长为 6，它的对角线 AC、BD 相交于点 O，EPF45，两边与正方形的边 AB、AD 分别交于 E、F 两点，如图 1，当点 EPF 的顶点 P 在点 O 处，且 AO 平分 EPF 时，求证 BEDF ；如图 2，将中的EPF 绕点 O 旋转，写出线段 BE、DF 之间的数
9、量关系，并说明理由；当点 P 为线段 AC 的三等分点，且 AE1 时，直接写出线段 DF 的长26如图，二次函数 yax 2+bx+ 的图象经过 A（1，0），B（3，0），与 y 轴相交于点 C点 P 为第一象限的抛物线上的一个动点，过点 P 分别做 BC 和 x 轴的垂线，交BC 于点 E 和 F，交 x 轴于点 M 和 N（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段 PE 最大值，并求出线段 PE 最大时点 P 的坐标；（3）若 SPMN 3S PEF 时，求出点 P 的坐标2019 年辽宁省铁岭市昌图县中考数学模拟试卷（4 月份）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，共 30
10、分）1（3 分）3 的绝对值是（ ）A3 B3 C D【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出【解答】解：|3| （3 ）3故选：A【点评】考查绝对值的概念和求法绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 02（3 分）如图为一个台阶，它的主视图正确的是（ ）A B C D【分析】根据主视图是从正面看到的图形，可得答案【解答】解：根据主视图是从正面看到的可得：它的主视图是故选：D【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图3（3 分）下列运算正确的是（ ）Aa 3b3（ab） 3 Ba 2a3a 6Ca 6a3a 2 D（a
11、 2） 3a 5【分析】A、原式利用积的乘方运算法则变形得到结果，即可做出判断；B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；C、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；D、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断【解答】解：A、原式（ab） 3，正确；B、原式a 5，错误；C、原式a 3，错误；D、原式a 6，错误，故选：A【点评】此题考查了同底数幂的乘法，除法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键4（3 分）体育课上，某班两名同学分别进行了 5 次短跑训练，要判断哪一位同学的成绩比较稳定，通常要比较两名同学成绩的（ ）A平均数 B方差
12、C众数 D中位数【分析】根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立故要判断哪一名学生的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生了 5 次短跑训练成绩的方差【解答】解：由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生了 5 次短跑训练成绩的方差故选：B【点评】此题主要考查了方差，关键是掌握方差所表示的意义5（3 分）将点 A（2，3）绕坐标原点逆时针旋转 90 后得到点 A，则点 A的坐标为（ ）A（2，3） B（3，2） C（2，3） D（3，2）【分析】如图，作 AEx 轴于 E，AFx 轴于 F证明 AOEOAF（AAS），
13、推出 OFAE3，AFOE2 即可解决问题【解答】解：如图，作 AEx 轴于 E，AFx 轴于 FA（2，3），AE3，OE 2，AOE+AOF 90，AOF +A90，AOEA，AEOAFO90，OAOA ，AOEOAF（AAS），OFAE3，AFOE2，A（3，2），故选：D【点评】本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：图形或点旋转之后，要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标6（3 分）向一个半径为 2 的圆中投掷石子（假设石子全部投入圆形区域内），那么石子落在此圆的内接正方形中的概率是（ ）A B C D【分析】先得出圆内接正方形的边长，再用正方形的面积除以圆的面积即可得
14、【解答】解：半径为 2 的圆内接正方形边长为 2 ，圆的面积为 4，正方形的面积为 8，则石子落在此圆的内接正方形中的概率是 ，故选：D【点评】本题考查了几何概率的求法：求某事件发生在某个局部图形的概率等于这个局部的面积与整个图形的面积的比7（3 分）一个圆锥的轴截面是一个边长为 2cm 的等边三角形，则它的侧面积是（ ）A4 B2 C D【分析】易得圆锥的底面半径及母线长，那么圆锥的侧面积底面周长母线长2【解答】解：圆锥的轴截面是一个边长为 2cm 的等边三角形，底面半径1cm，底面周长2cm，圆锥的侧面积 222 （cm 2），故选：B【点评】本题考查圆锥的计算，解题的关键是理解题意，记住
15、扇形的面积公式8（3 分）关于 x 的一元二次方程 有两个实数根，则 m 的取值范围是（ ）Am1 Bm1 C3m1 D3m 1【分析】利用二次根式有意义的条件和判别式的意义得到 ，然后解不等式组即可【解答】解：根据题意得 ，解得3m1故选：C【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b 24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当0 时，方程有两个相等的两个实数根；当0 时，方程无实数根9（3 分）如图，三角形 OAB 和三角形 BCD 是等腰直角三角形，点 B、D 在 x 轴上，ABOCDB 90，点 A 在双曲线 上，若OAC 的面积
16、为 ，则 k 的值为（ ）A B C9 D12【分析】设 ABOB a，CDBD b，则 ODa+b，由已知条件根据OAC 的面积梯形 ABDC 的面积+OAB 的面积OCD 的面积得出 （a+b）b+ a2 （a+b）b ，即可得出 a 的值，从而得出 A 的坐标，根据待定系数法即可求得 k【解答】解：设 ABOB a，CDBD b，则 ODa+b，OAC 的面积为 ，S OAC S 梯形 ABDC+SOAB S OCD ， （a+b）b+ a2 （a+b）b ，解得 a3，A（3，3），点 A 在双曲线 上，k339，故选：C【点评】本题考查了三角形面积的计算、反比例函数的系数 k 的几何
17、意义，等腰直角三角形的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质和反比例函数解析式的求法是解决问题的关键10（3 分）如图，二次函数 yax 2+bx+c 的对称轴是直线 x1，且经过点（1，0），则下列结论：abc 0；2ab0； a ；若方程 ax2+bx+c20 的两个根为 x1 和 x2，则（x 1+1）（ x23）0，正确的有（ ）个A1 B2 C3 D4【分析】由图象可知，a0，b0，c0， 1，因此abc0，b2a，2ab4a0，故正确，错误；当 x1 时，ab+c0，3a+c0，c 3a2，a ，故正确；由对称轴直线 x1，抛物线与 x 轴左侧交点（1，0），可知抛物线与 x 轴另一个
18、交点（3，0），由图象可知，y2 时，x 11，x 23，所以 x1+10，x 230，因此（x 1+1）（x 23）0【解答】解：由图象可知，a0，b0，c0， 1，abc0，b2a，2ab4a0，故正确，错误；x1 时，ab+c 0，3a+c0，c 3a2，a ，故正确；由对称轴直线 x1，抛物线与 x 轴左侧交点（1，0），可知抛物线与 x 轴另一个交点（3，0），由图象可知，y2 时，x 11，x 23，x 1+10，x 230，（x 1+1）（x 23）0故正确故选：C【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键二、填空题（本题 8 小题，每小题
19、 3 分，共 24 分）11（3 分）截止 2018 年底，中国互联网用户达 8.29 亿数据 8.29 亿用科学记数法表示为 8.2910 8 【分析】科学记数法就是将一个数字表示成 a10 的 n 次幂的形式，其中1|a| 10，n 表示整数n 为整数位数减 1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以 10 的 n 次幂【解答】解：数据 8.29 亿用科学记数法表示为 8.29108故答案为：8.2910 8【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值12（3
20、分）在实数范围内分解因式：x 32x x （x+ ）（x ） 【分析】提取公因式 x 后运用平方差公式进行二次分解即可【解答】解：x 32x x （x 22）x（x+ ）（x ）【点评】本题考查提公因式法、平方差公式分解因式，把 2 写成（ ） 2 是继续利用平方差公式进行因式分解的关键13（3 分）如图，已知ACB90，直线 MNAB，若133，则2 57 【分析】直接利用已知得出ACN 的度数，再利用平行线的性质得出答案【解答】解：ACB90，133，ACN 57 ，直线 MNAB，2ACN57故答案为：57【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出ACN 的度数是解题关键14（3 分）
21、已知 +|y3| 0，那么 xy 8 【分析】先根据非负数的性质列出关于 x、y 的方程，求出 x、y 的值，再把 x、y 的值代入所求代数式进行计算即可【解答】解： +|y3| 0，x+20，解得 x2；y30，解得 y3x y（2） 38故答案为：8【点评】本题考查的是非负数的性质，几个非负数的和为 0 时，这几个非负数都为 015（3 分）如图，AB 为 O 的直径，弦 CD直径 AB，垂足为 E，连接 OC，BD，如果D55，那么DCO 20 【分析】根据垂直求出CEO，根据圆周角定理求出COB，根据三角形的外角性质求出即可【解答】解：ABCD，CEO90，D55，由圆周角定理得：CO
22、B2BDC110，DCOCOBCEO20，故答案为：20【点评】本题考查了三角形的外角性质，垂直定义和圆周角定理，能根据圆周角定理求出COB2BDC 是解此题的关键16（3 分）在一个不透明的口袋中装有 40 个红、白两色小球，这些小球除颜色外都相同，如果从中随机摸出一球为红球的概率是 ，那么袋中一共有白球 24 个【分析】直接利用白球个数小球总数得到白球的概率进而得出答案【解答】解：设袋中一共有白球 x 个，根据题意可得：从中随机摸出一球为红球的概率是 ，从中随机摸出一球为白球的概率是 ， ，解得：x24故答案为：24【点评】此题主要考查了概率公式，正确应用概率求法是解题关键17（3 分）A
23、BC 三个顶点的坐标分别是 A（3，4），B（1，1），C（4，1），将ABC 以点 O 为位似中心，位似比为 缩小后，点 A 对应点 A的坐标是 （1.5，2）或（1.5，2） 【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或k，即可求得答案【解答】解：点 A，B 的坐标分别为 A（3，4），B（1，1），将ABC 以点 O 为位似中心，位似比为 缩小后，点 A 对应点 A的坐标是：（1.5，2）或（1.5，2）故答案为：（1.5，2）或（1.5，2）【点评】此题考查了位似图形与坐标的关系此题比较简单，注意在平面直角坐标系
24、中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标比等于k18（3 分）如图，点 B1 是ABC 的边 AB 的中点，过点 B1 作 BC 边的平行线交 AC 边于点 C1，点 B2 是AB 1C1 的边 AB1 的中点，过点 B2 作 B1C1 边的平行线交 AC1 于点 C2，如此继续作下去，若ABC 的面积为 S，则四边形 BnBn1 Cn1 n 的面积为 S 【分析】根据点 B1 是ABC 的边 AB 的中点，B 1C1BC，可表示出AB 1C1 的面积，同理可表示出AB 2C2、AB n1 Cn1 、AB nn 的面积，即可求出四边形BnBn1 Cn1 n 的
25、面积【解答】解：点 B1 是ABC 的边 AB 的中点，B 1C1BC，AB 1C1ABC，相似比为 1：2，AB 1C1 与ABC 的面积比为 1：4，AB 1C1 的面积为 S；点 B2 是AB 1C1 的边 AB1 的中点，B 1C1B 2C2，AB 2C2AB 1C1，相似比为 1：2，AB 2C2 与AB 1C1 的面积比为 1：4，AB 2C2 的面积为 S；同理可得：AB n1 Cn1 的面积为 S，AB nn 的面积为 S，四边形 BnBn1 Cn1 n 的面积为 S；故答案为： S【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的面积比等于相似比的平方
26、三、解答题（第 19 题 10 分，第 20 题 12 分，共 22 分）19（10 分）先化简再求值： ，其中 x 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：原式 + （x 21）x 2+1，当 x2 时，原式12+113【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型20（12 分）某中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了 4 个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提
27、供的信息解答下列问题：（1）九（1）班的学生人数为 40 ，并把条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中 m 10 ，n 20 ，表示“足球”的扇形的圆心角是 72 度；（3）排球兴趣小组 4 名学生中有 3 男 1 女，现在打算从中随机选出 2 名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的 2 名学生恰好是 1 男 1 女的概率【分析】（1）根据喜欢篮球的人数与所占的百分比列式计算即可求出学生的总人数，再求出喜欢足球的人数，然后补全统计图即可；（2）分别求出喜欢排球、喜欢足球的百分比即可得到 m、n 的值，用喜欢足球的人数所占的百分比乘以 360即可；（3）画出树状图，然后根据概率
28、公式列式计算即可得解【解答】解：（1）九（1）班的学生人数为：1230%40（人），喜欢足球的人数为：404121640328（人），补全统计图如图所示；（2） 100%10%，100%20%，m10，n20，表示“足球”的扇形的圆心角是 20%36072；故答案为：（1）40；（2）10；20；72；（3）根据题意画出树状图如下：一共有 12 种情况，恰好是 1 男 1 女的情况有 6 种，P（恰好是 1 男 1 女） 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分
29、占总体的百分比大小21如图，ABCD 中，点 E，F 分别是 BC 和 AD 边上的点，AE 垂直平分 BF，交 BF 于点P，连接 EF，PD（1）求证：平行四边形 ABEF 是菱形；（2）若 AB4，AD 6，ABC 60，求 tanADP 的值【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质即可得到结论；（2）作 PHAD 于 H，根据四边形 ABEF 是菱形，ABC60，AB4，得到ABAF4，ABF ADB30，AP BF，从而得到 PH ，DH5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可【解答】（1）证明：AE 垂直平分 BF，ABAF，BAE FAE，四边形 ABCD 是平行四
30、边形，ADBCFAE AEB，AEB BAE，ABBE，AFBEAFBC，四边形 ABEF 是平行四边形ABBE，四边形 ABEF 是菱形；（2）解：作 PHAD 于 H，四边形 ABEF 是菱形，ABC60，AB4，ABAF4，ABF AFB30，APBF，AP AB2，PH ，DH5，tanADP 【点评】本题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，解题的关键是牢记菱形的几个判定定理，难度不大22小强和小明同学在学习了“平面镜反射原理后，”自己用一个小平面镜 MN 做实验他们先将平面镜放在平面上，如图，用一束与平面成 30角的光线照射平面镜上的A 处，使光影正好落在对面墙面上一幅画的底边 C
31、点，他们不改变光线的角度，原地将平面镜转动了 7.5角，即MAM7.5，使光影落在 C 点正上方的 D 点，测得CD10cm ，求平面镜放置点与墙面的距离 AB（ 1.73，结果精确到 0.1）【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可求得 AB 的长【解答】解：作 AEM N ，设 ABx 米，PAE DAE，NADMAP 7.5+3037.5，DAB37.5+7.545，在 RtABD 中，DBAB x ，又在 RtABC 中，BCABtanCAB x x，x x10 ，解得，x5（3+ ）23.7（米），答：平面镜放置点与墙面的距离 AB 是 23.7 米【点评】本题考
32、查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答23如图，AC 是O 的直径，点 B 为 O 上一点，PA 切 O 于点 A，PB 与 AC 的延长线交于点 M，CAB APB（1）求证：PB 是O 的切线；（2）当 sinM ，OA2 时，求 MB，AB 的长【分析】（1）连接 OB，根据切线的性质得到 OAAP，求得 OBM90，OBMP ，根据求得的判定定理即可得到结论；（2）连接 BC，解直角三角形得到 MC1，MB ，根据圆周角定理得到ABC90，根据相似三角形的性质得到 AB CB，根据勾股定理即可得到结论【解答】（1）证明：连接 OB，CAB COB，CAB
33、 APB，COBAPB，PA 切O 于点 A，OAAP，APB +M 90，COB+M90，OBM90，OBMP，PB 是O 的切线；（2）解：连接 BC，OBM90，sinM ，OM 3，MC1，MB ，AC 是O 的直径，ABC90，OBA+OBC90，MBC+ OBC90，MM ，MCBMBA， ，AB CB，BC 2+AB2AC 2，BC 2+5BC24 2，BC ，AB 【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键24某工厂加工一种商品，每天加工件数不超过 100 件时，每件成本 80 元，每天加工超过100 件时，每多加工
34、5 件，成本下降 2 元，但每件成本不得低于 70 元设工厂每天加工商品 x（件），每件商品成本为 y（元），（1）求出每件成本 y（元）与每天加工数量 X（件）之间的函数关系式，并注明自变量的取值范围；（2）若每件商品的利润定为成本的 20%，求每天加工多少件商品时利润最大，最大利润是多少？【分析】（1）分两部分写函数解析式；（2）设每天加工的利润为 w 元，当 0x 100 时，w20%80x16x，当100x125 时，w （x 150） 2+1800，结合函数图象求解；【解答】解：（1）当 0x100 时，y80当 100x125 时，y ，（2）设每天加工的利润为 w 元，当 0x1
35、00 时，w20%80x16x ，k16，w 对 x 的增大而增大，当 x100 时，w 最大，最大为 1600 元；当 100x125 时，w20%（ x+120）x +24x （x 150）2+1800，a 0，开口向下，当 x150 时，w 随 x 的增大而增大，当 x125 时，w 最大，最大值为 1750 元，17501600，当 x125 时，w 最大，答：每天加工 125 件时，利润最大，最大利润为 1750 元【点评】本题考查分段函数解析式，二次函数最值，一次函数最值；能够根据已知条件列出合理的表达式，结合函数图象求解是关键25正方形 ABCD 的边长为 6，它的对角线 AC、
36、BD 相交于点 O，EPF45，两边与正方形的边 AB、AD 分别交于 E、F 两点，如图 1，当点 EPF 的顶点 P 在点 O 处，且 AO 平分 EPF 时，求证 BEDF ；如图 2，将中的EPF 绕点 O 旋转，写出线段 BE、DF 之间的数量关系，并说明理由；当点 P 为线段 AC 的三等分点，且 AE1 时，直接写出线段 DF 的长【分析】（1）证明AEOAFO（ASA ），得到 ABAE ADAF；（2）证明BEODOF ，得到 ；（3）分两种情况AP AC，AP AC；过点 P 作 PMAB，过 F 作 FNAP，证明 RtEPMRtFPN，设 ANx，根据对对应边成比例，得
37、到 x 的值，再在等腰直角三角 tANF 中求出 AF 即可；【解答】解：（1）AO 平分 EPF ，EPA FPA，在正方形 ABCD 中，BACDAC，OA OA，AEOAFO（ASA ），AEAF，ABAD ，ABAEADAF，BEBF；（2）在正方形 ABCD 中，ABDADB 45，BEO+BOE 135，EPF 45，BOE+DOF135，BEODOF，BEODOF， ，BEDF OBOD，BD6 ，OBOD3 ，BEDF 18；（3） 或 ；过点 P 作 PMAB，过 F 作 FNAP，如图，EPF 45，MAP 45，APM 45 ，EPM FPN，RtEPMRtFPN， ，正
38、方形 ABCD 的边长为 6，AC6 ，点 P 为线段 AC 的三等分点，AP2 ，RtAMP 是等腰直角三角形，AMPM2，AE1，EM1，RtANF 是等腰直角三角形，设 ANx， ，x ，AF ，FD6 ；过点 P 作 PMAB，过 F 作 FNAP，如图，EPF 45，MAP 45，APM 45 ，EPM FPN，RtEPMRtFPN， ，正方形 ABCD 的边长为 6，AC6 ，点 P 为线段 AC 的三等分点，AP4 ，RtAMP 是等腰直角三角形，AMPM4，AE1，EM3，RtANF 是等腰直角三角形，设 ANx， ，x ，AF ，FD6 ；【点评】本题考查三角形的全等，三角形
39、的相似；分类讨论；熟练掌握三角形相似的判定和性质，正方形的性质是解题的关键26如图，二次函数 yax 2+bx+ 的图象经过 A（1，0），B（3，0），与 y 轴相交于点 C点 P 为第一象限的抛物线上的一个动点，过点 P 分别做 BC 和 x 轴的垂线，交BC 于点 E 和 F，交 x 轴于点 M 和 N（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段 PE 最大值，并求出线段 PE 最大时点 P 的坐标；（3）若 SPMN 3S PEF 时，求出点 P 的坐标【分析】（1）根据点 A，B 的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 C 的坐标，
40、由 OB，OC 的长可得出ABC30，结合 PNx 轴， PEBC 可得出 PE PF，由点 B，C 的坐标，利用待定系数法可求出直线 BC 的解析式，设点 P 的坐标为（x， x2+ x+ ），则点 F 的坐标为（x ， x+ ），进而可得出 PE x2+ x，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）由PEFPNM，PP 可得出PEFPNM，利用相似三角形的性质结合 SPMN 3S PEF 可得出 PN PE，再结合（2）可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出 x 的值，将其代入点 P 的坐标中即可得出结论【解答】解：（1）将 A（1，0），B（3，0）代入 yax 2
41、+bx+ ，得：，解得： ，二次函数的解析式为 y x2+ x+ （2）当 x0 时，y ，点 C 的坐标为（0， ），tanABC ，ABC30PNx 轴，PFE BFN60，又PEBC，sinPFE ，PE PF设直线 BC 的解析式为 ymx+n（m 0），将 B（3，0），C（0， ）代入 ymx +n，得：，解得： ，直线 BC 的解析式为 y x+ 设点 P 的坐标为（x ， x2+ x+ ），则点 F 的坐标为（x ， x+ ），PE x2+ x+ （ x+ ） x2+ x又PE x2+ x （x ） 2+ ， 0，当 x 时，PE 取得最大值，最大值为 ，此时点 P 的坐标为（ ， ）（3）PEFPNM，PP，PEF PNM， （ ） 2S PMN 3S PEF ， ，PN PE （ x2+ x） x2+ x+ ，解得：x 12，x 23（舍去），点 P 的坐标为（2， ）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、解直角三角形、相似三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征，找出 PE x2+ x；（3）利用相似三角形的性质结合（2）的结论，找出关于 x 的一元二次方程
