1、2019 年山东省济宁市嘉祥县中考数学一模试卷年山东省济宁市嘉祥县中考数学一模试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求。有一项符合题目要求。 1 （3 分）的平方根（ ） A4 B2 C4 D2 2 （3 分）下列计算正确的是（ ） A2x+3y5xy B （m+3）2m2+9 C （xy2）3xy6 Da10a5a5 3 （3 分）下列各式从左到右的变形中，是分解因式的是（ ） Am（a+b+c）ma+mb+mc Bx2+5xx（x+
2、5） Cx2+5x+5x（x+5）+5 Da2+1a（a+） 4 （3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x24x+c0 的一个根为 1，则另一个根是（ ） A5 B4 C3 D2 5 （3 分） 在一次函数 ykx6 中， 已知 y 随 x 的增大而减小 下列关于反比例函数 y 的描述，其中正确的是（ ） A当 x0 时，y0 By 随 x 的增大而增大 Cy 随 x 的增大而减小 D图象在第二、四象限 6 （3 分）如图，在 RtABC 中，C90，AC6，BC8，O 为ABC 的内切圆， 点 D 是斜边 AB 的中点，则 tanODA（ ） A B C D2 7
3、（3 分）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后 一个三角形中 y 与 n 之间的关系是（ ） 第 2 页（共 27 页） Ay2n+1 By2n+n Cy2n+1+n Dy2n+n+1 8 （3 分） 如图， 是二次函数 yax2+bx+c （a0） 的图象的一部分， 给出下列命题： a+b+c 0；b2a；ax2+bx+c0 的两根分别为3 和 1；a2b+c0其中正确的命题 是（ ） A B C D 9 （3 分）如图，在ABCD 中，E 为 CD 上一点，连接 AE、BD，且 AE、BD 交于点 F，DE： EC2：3，则 SDEF：S四边形BCEF（
4、） A2：5 B4：9 C4：31 D4：25 10 （3 分）如图，RtABC 中，ACB90，ACBC，在以 AB 的中点 O 为坐标原点， AB 所在直线为 x 轴建立的平面直角坐标系中，将ABC 绕点 B 顺时针旋转，使点 A 旋 转至 y 轴的正半轴上的点 A处，若 AOOB2，则阴影部分面积为（ ） A B1 C+1 D 二、填空题：二、填空题：本大题共本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分分. 11 （3 分）据测算，我国每年因沙漠造成的直接经济损失超过 5 400 000 万元，这个数用科 学记数法表示为 万元 12 （3 分）若当 x
5、2018 时，式子 ax3bx3 的值为 5，则当 x2018 时，式子 ax3bx 3 的值为 第 3 页（共 27 页） 13 （3 分）双曲线 y1、y2在第一象限的图象如图，过 y1上的任意一点 A，作 x 轴 的平行线交 y2于 B，交 y 轴于 C，若 SAOB3，则 k 的值为 14 （3 分）如图，一天，我国一渔政船航行到 A 处时，发现正东方向的我领海区域 B 处有 一可疑渔船，正在以 12 海里/时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东 60方 向航行，1.5 小时后，在我航海区域的 C 处截获可疑渔船，问我渔政船的航行路程是
6、海里（结果保留根号） 15 （3 分）如图，图形 B 是由图形 A 旋转得到的，则旋转中心的坐标为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 7 小题，共小题，共 55 分。分。 16 （6 分）先化简，再求值：（x+1） ，其中 x 是不等式组 的整数解 17 （6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 的三个顶点坐标分别为 A（1，1） ，B 第 4 页（共 27 页） （4，0） ，C（4，4） （1）按下列要求作图： 将ABC 向左平移 4 个单位，得到A1B1C1； 将A1B1C1绕点 B1逆时针旋转 90，得到A2B2C2 （2）求点 C1在旋
7、转过程中所经过的路径长 18 （7 分）我市自从去年九月实施高中新课程改革以来，高中学生在课堂上的“自主学习、 合作交流”能力有了很大提高张老师为了了解所教班级学生的“自主学习、合作交流” 的具体情况， 对该班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查， 并将调查结果分成四类， A： 特别好；B：好；C：一般；D：较差，且将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图请 你根据统计图解答下列问题： （1）本次调查中，张老师一共调查了 名学生，其中 C 类女生有 名； （2）请将上面的条形统计图补充完整； （3） 为了共同进步，张老师想从被调查的 A 类和 D 类学生中分别选取一位同
8、学进行 “一 帮一”互助学习，请用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和 一位女同学的概率 第 5 页（共 27 页） 19 （8 分）某市政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件 20 元的护眼台灯销售过程中发现，每月销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的关系 可近似的看作一次函数：y10x+500 （1）设李明每月获得利润为 w（元） ，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （2）如果李明想要每月获得 2000 元的利润，那么销售单价应定为多少元？ （3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于 32 元，如果李明想要每月 获得
9、的利润不低于 2000 元，那么他每月的成本最少需要多少元？ （成本进价销售量） 20 （8 分）如图，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x 轴和 y 轴上，点 B 的坐标为（2，3） 双 曲线 y（x0）的图象经过 BC 的中点 D，且与 AB 交于点 E，连接 DE （1）直接写出 k 的值及点 E 的坐标； （2）若点 F 是 OC 边上一点，且 FBDE，求直线 FB 的解析式 21 （9 分）如图，D 为O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且CDACBD （1）求证：CD 是O 的切线； （2）过点 B 作O 的切线交 CD 的延长线于点 E，若 BC6，tanCDA
10、，求 BE 的 长 22 （11 分）在平面直角坐标系中，二次函数 yax2+bx+2 的图象与 x 轴交于 A（3，0） ， B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C （1）求这个二次函数的关系解析式； 第 6 页（共 27 页） （2）点 P 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点 P，使ACP 的面积最大？若 存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由； （3）在平面直角坐标系中，是否存在点 Q，使BCQ 是以 BC 为腰的等腰直角三角形？ 若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由； 第 7 页（共 27 页） 2019 年山东省济宁市嘉祥县中考数学一模试卷年山东省济宁
11、市嘉祥县中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求。有一项符合题目要求。 1 （3 分）的平方根（ ） A4 B2 C4 D2 【分析】先根据算术平方根的定义化简，再根据平方根的定义进行求解 【解答】解：4216， 4， （2）24， 的平方根为2 故选：D 【点评】本题主要考查了算术平方根的定义，平方根的定义，需要先求出，是易错 题，需要注意 2 （3 分）下列计算正确的是（ ） A2x+3y5xy
12、 B （m+3）2m2+9 C （xy2）3xy6 Da10a5a5 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断 【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意； B、原式m2+6m+9，不符合题意； C、原式x3y6，不符合题意； D、原式a5，符合题意， 故选：D 【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 3 （3 分）下列各式从左到右的变形中，是分解因式的是（ ） Am（a+b+c）ma+mb+mc Bx2+5xx（x+5） Cx2+5x+5x（x+5）+5 Da2+1a（a+） 【分析】利用因式分解的定义判断即可 第 8 页（共 27 页） 【解答
13、】解：A、m（a+b+c）ma+mb+mc，不符合题意； B、x2+5xx（x+5） ，符合题意； C、x2+5x+5x（x+5）+5，不符合题意； D、a2+1a（a+） ，不符合题意， 故选：B 【点评】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键 4 （3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x24x+c0 的一个根为 1，则另一个根是（ ） A5 B4 C3 D2 【分析】根据根与系数的关系可得出两根之和为 4，从而得出另一个根 【解答】解：设方程的另一个根为 m，则 1+m4， m3， 故选：C 【点评】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系 解答关于 x 的一元二次
14、方程 x24x+c 0 的另一个根时，也可以直接利用根与系数的关系 x1+x2解答 5 （3 分） 在一次函数 ykx6 中， 已知 y 随 x 的增大而减小 下列关于反比例函数 y 的描述，其中正确的是（ ） A当 x0 时，y0 By 随 x 的增大而增大 Cy 随 x 的增大而减小 D图象在第二、四象限 【分析】根据一次函数的性质得出 k0，求出 k20，再根据反比例函数的性质进行 判断即可 【解答】解：在一次函数 ykx6 中，y 随 x 的增大而减小， k0， k20， 关于反比例函数 y的性质是图象当 x0 时，图象在第四象限，y0，在每 个象限内，y 随 x 的增大而
15、减小，图象在第二、四象限， 即只有选项 D 符合题意，选项 A、B、C 都不符合题意； 故选：D 【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的性质，能熟记一次函数和反比例函数的性 第 9 页（共 27 页） 质是解此题的关键 6 （3 分）如图，在 RtABC 中，C90，AC6，BC8，O 为ABC 的内切圆， 点 D 是斜边 AB 的中点，则 tanODA（ ） A B C D2 【分析】设O 与 AB，AC，BC 分别相切于点 E，F，G，连接 OE，OF，OG，则 OE AB根据勾股定理得 AB10，再根据切线长定理得到 AFAE，CFCG，从而得到四 边形 OFCG 是正方形，根据正方形
16、的性质得到设 OFx，则 CFCGOFx，AFAE 6x，BEBG8x，建立方程求出 x 值，进而求出 AE 与 DE 的值，最后根据三角 形函数的定义即可求出最后结果 【解答】解：过 O 点作 OEABOFACOGBC， OGCOFCOED90， C90，AC6 BC8， AB10 O 为ABC 的内切圆， AFAE，CFCG （切线长相等） C90， 四边形 OFCG 是矩形， OGOF， 四边形 OFCG 是正方形， 设 OFx，则 CFCGOFx，AFAE6x，BEBG8x， 6x+8x10， OF2， AE4， 点 D 是斜边 AB 的中点， AD5， DEADAE1， 第 10 页
17、（共 27 页） tanODA2 故选：D 【点评】此题要能够根据切线长定理证明：作三角形的内切圆，其中的切线长等于切线 长所在的两边和与对边差的一半；直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边 的差的一半 7 （3 分）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后 一个三角形中 y 与 n 之间的关系是（ ） Ay2n+1 By2n+n Cy2n+1+n Dy2n+n+1 【分析】由题意可得下边三角形的数字规律为：n+2n，继而求得答案 【解答】解：观察可知：左边三角形的数字规律为：1，2，n， 右边三角形的数字规律为：2，22，2n， 下边三角形的数字规律为：
18、1+2，2+22，n+2n， y2n+n 故选：B 【点评】此题考查了数字规律性问题注意根据题意找到规律 y2n+n 是关键 8 （3 分） 如图， 是二次函数 yax2+bx+c （a0） 的图象的一部分， 给出下列命题： a+b+c 0；b2a；ax2+bx+c0 的两根分别为3 和 1；a2b+c0其中正确的命题 是（ ） 第 11 页（共 27 页） A B C D 【分析】根据抛物线与 x 轴的交点坐标为（1，0）对进行判断；根据对称轴方程为 x 1 对进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的交点坐标为（ 3，0）和（1，0） ，由此对进行判断；根据抛物线与 y 轴的交点在
19、 x 轴下方，得到 c 0，而 a+b+c0，则 a2b+c3b，由 b0，于是可对进行判断 【解答】解：x1 时，y0， a+b+c0，所以正确； x1， b2a，所以错误； 点（1，0）关于直线 x1 对称的点的坐标为（3，0） ， 抛物线与 x 轴的交点坐标为（3，0）和（1，0） ， ax2+bx+c0 的两根分别为3 和 1，所以正确； 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， c0， 而 a+b+c0，b2a， c3a， a2b+c3b， b0， 3b0，所以错误 故选：C 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数 yax2+bx+c（a0）的图 象为抛物线，当 a0，
20、抛物线开口向上；对称轴为直线 x；抛物线与 y 轴的交点 坐标为（0，c） 9 （3 分）如图，在ABCD 中，E 为 CD 上一点，连接 AE、BD，且 AE、BD 交于点 F，DE： EC2：3，则 SDEF：S四边形BCEF（ ） A2：5 B4：9 C4：31 D4：25 第 12 页（共 27 页） 【分析】证明DFEBFA，根据三角形的面积公式、相似三角形的性质计算，得到答 案 【解答】解：四边形 ABCD 为平行四边形， DCAB，DCAB， DE：EC2：3， DE：AB2：5， DCAB， DFEBFA， ， ， ， SDEF：S四边形BCEF4：31， 故选：C 【点评】本
21、题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形 的面积比等于相似比的平方是解题的关键 10 （3 分）如图，RtABC 中，ACB90，ACBC，在以 AB 的中点 O 为坐标原点， AB 所在直线为 x 轴建立的平面直角坐标系中，将ABC 绕点 B 顺时针旋转，使点 A 旋 转至 y 轴的正半轴上的点 A处，若 AOOB2，则阴影部分面积为（ ） A B1 C+1 D 【分析】根据等腰直角三角形的性质求出 AB，再根据旋转的性质可得 ABAB，然后 求出OAB30，再根据直角三角形两锐角互余求出ABA60，即旋转角为 第 13 页（共 27 页） 60，再根据 S阴影S扇
22、形ABA+SABCSABCS扇形CBCS扇形ABAS扇形CBC，然 后利用扇形的面积公式列式计算即可得解 【解答】解：ACB90，ACBC， ABC 是等腰直角三角形， AB2OA2OB4，BC2， ABC 绕点 B 顺时针旋转点 A 在 A处， BAAB， BA2OB， OAB30， ABA60， 即旋转角为 60， S阴影S扇形ABA+SABCSABCS扇形CBC， S扇形ABAS扇形CBC， ， 故选：D 【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分分. 11 （
23、3 分）据测算，我国每年因沙漠造成的直接经济损失超过 5 400 000 万元，这个数用科 学记数法表示为 5.4106 万元 【分析】在实际生活中，许多比较大的数，我们习惯上都用科学记数法表示，使书写、 计算简便将一个绝对值较大的数写成科学记数法 a10n的形式时，其中 1|a|10，n 为比整数位数少 1 的数 【解答】解：5 400 0005.4106万元 故答案为 5.4106 【点评】用科学记数法表示一个数的方法是（1）确定 a：a 是只有一位整数的数； （2） 确定 n：当原数的绝对值10 时，n 为正整数，n 等于原数的整数位数减 1；当原数的绝 对值1 时，n 为负整数，n 的
24、绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数 第 14 页（共 27 页） 位数上的零） 12 （3 分）若当 x2018 时，式子 ax3bx3 的值为 5，则当 x2018 时，式子 ax3bx 3 的值为 11 【分析】把 x2018 代入代数式得到20183a+2018b8，根据添括号法则代入计算即 可 【解答】解：当 x2018 时，式子 ax3bx3 的值为 5， 20183a+2018b35， 20183a+2018b8， 当 x2018 时，ax3bx320183a2018b3（20183a+2018b）383 11， 故答案为：11 【点评】本题考查的是代数式求值，掌握
25、乘方法则，添括号法则是解题的关键 13 （3 分）双曲线 y1、y2在第一象限的图象如图，过 y1上的任意一点 A，作 x 轴 的平行线交 y2于 B，交 y 轴于 C，若 SAOB3，则 k 的值为 10 【分析】根据 SBOCSAOCSAOB，列出方程，求出 k 的值 【解答】解：由题意得：SBOCSAOCSAOB， ， 解得，k10， 故答案为：10 【点评】本题考查反比例函数系数 k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐 标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|根据面积关系得出方程是解决问题的 关键 14 （3 分）如图，一天，我国一渔政船航行到 A 处时，发现正东方向的
26、我领海区域 B 处有 一可疑渔船，正在以 12 海里/时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东 60方 第 15 页（共 27 页） 向航行， 1.5小时后， 在我航海区域的C处截获可疑渔船， 问我渔政船的航行路程是 18 海里（结果保留根号） 【分析】作 CDAB 于点 D，垂足为 D，首先在 RtBCD 中求得 CD 的长，然后在 Rt ACD 中求得 AC 的长即可 【解答】解：作 CDAB 于点 D，垂足为 D， 在 RtBCD 中， BC121.518（海里） ，CBD45， CDBCsin45189（海里） ， 则在 RtACD 中， AC9218（海里） 故我渔政船航行了 1
27、8海里 故答案为：18 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中构造出直角三角 形并利用三角函数的知识求解 15 （3 分）如图，图形 B 是由图形 A 旋转得到的，则旋转中心的坐标为 （0，1） 【分析】利用旋转的性质，作两组对应点的连线段的垂直平分线，它们相交于点 P，则 P 第 16 页（共 27 页） 点为旋转中心，然后写出 P 点坐标即可 【解答】解：如图，旋转中心 P 点坐标为（0，1） 故答案为（0，1） 【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图 形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标常见的是旋转特殊角度如：30，
28、45，60， 90，180 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 7 小题，共小题，共 55 分。分。 16 （6 分）先化简，再求值：（x+1） ，其中 x 是不等式组 的整数解 【分析】根据分式的运算法则以及一元一次不等式组的解法即可求出答案 【解答】解：由不等式组解得：1x2， 原式 由分式有意义的条件可知：x1 且 x2 当 x0 时， 原式1 【点评】本题考查分式的运算法则，解题关键是熟练运用分式的运算法则以及不等式组 的解法，本题属于基础题型 17 （6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 的三个顶点坐标分别为 A（1，1） ，B （4，0） ，C（4，4） （1）
29、按下列要求作图： 第 17 页（共 27 页） 将ABC 向左平移 4 个单位，得到A1B1C1； 将A1B1C1绕点 B1逆时针旋转 90，得到A2B2C2 （2）求点 C1在旋转过程中所经过的路径长 【分析】 （1）利用点平移的坐标规律，分别写出点 A、B、C 的对应点 A1、B1、C1的 坐标，然后描点可得A1B1C1； 利用网格特点和旋转的性质，分别画出点 A1、B1、C1的对应点 A2、B2、C2即可； （2）根据弧长公式计算 【解答】解： （1）如图，A1B1C1为所作； 如图，A2B2C2为所作； （2）点 C1在旋转过程中所经过的路径长2 【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋
30、转的性质可知，对应角都相等都等于旋转 角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法， 找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形也考查了平移的性质 18 （7 分）我市自从去年九月实施高中新课程改革以来，高中学生在课堂上的“自主学习、 合作交流”能力有了很大提高张老师为了了解所教班级学生的“自主学习、合作交流” 第 18 页（共 27 页） 的具体情况， 对该班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查， 并将调查结果分成四类， A： 特别好；B：好；C：一般；D：较差，且将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图请 你根据统计图解答下列问题： （1）本次调查中，张老师一共调查了
31、20 名学生，其中 C 类女生有 2 名； （2）请将上面的条形统计图补充完整； （3） 为了共同进步，张老师想从被调查的 A 类和 D 类学生中分别选取一位同学进行 “一 帮一”互助学习，请用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和 一位女同学的概率 【分析】 （1）用 A 类人数A 类所占的百分比，得出调查的学生总数，再根据扇形图得 出“C”类人数，减去“C”类男生数，即可得出“C”类女生数； （2）根据（1）中求出的“C”类别女生数，可将条形图补充完整，用 1 减去 A、B、D 类所占的百分比，得出 C 类所占的百分比，可将扇形统计图补充完整； （3）由条形图可知，A 类
32、别 1 男 2 女，D 类别 1 男 1 女，画出树状图，根据概率公式求 解即可 【解答】解： （1）调查学生数为 315%20（人） ， “C”类别学生数为 20（110%15%50%）5（人） ，其中男生有 3 人， C 类女生有 532（人） ； （2）C 类女生有 2 人，C 类所占的百分比为 110%15%50%25% 补充统计图如下图所示； 第 19 页（共 27 页） （3）根据张老师想从被调査的 A 类和 D 类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互 助学习，画树状图如下： 一共有 6 种等可能的结果：男男、男女、女男、女女、女男、女女，其中一男一女的情 况有 3 种， P（一
33、男一女） 故答案为：20，2 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统 计图中得到必要的信息是解决问题的关键 条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据； 扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小 19 （8 分）某市政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件 20 元的护眼台灯销售过程中发现，每月销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的关系 可近似的看作一次函数：y10x+500 （1）设李明每月获得利润为 w（元） ，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （2）如果李明想要每月获得 2000 元的利润，那么销售单价应定为多少元
34、？ （3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于 32 元，如果李明想要每月 获得的利润不低于 2000 元，那么他每月的成本最少需要多少元？ （成本进价销售量） 第 20 页（共 27 页） 【分析】 （1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润 （定价进价）销售量，从而列出关系式； （2）令 w2000，然后解一元二次方程， 从而求出销售单价； （3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本 【解答】解： （1）由题意，得：w（x20） y， （x20） （10x+500）10x2+700x10000， ， 答：当销售单价定为 35 元时，每月可获得最大利
35、润 （2）由题意，得：10x2+700x100002000， 解这个方程得：x130，x240， 答：李明想要每月获得 2000 元的利润，销售单价应定为 30 元或 40 元 （3）a100， 抛物线开口向下， 当 30x40 时，w2000， x32， 当 30x32 时，w2000， 设成本为 P（元） ，由题意，得：P20（10x+500）200x+10000， a2000， P 随 x 的增大而减小， 当 x32 时，P最小3600， 答：想要每月获得的利润不低于 2000 元，每月的成本最少为 3600 元 【点评】此题考查二次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际
36、问 题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题 20 （8 分）如图，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x 轴和 y 轴上，点 B 的坐标为（2，3） 双 曲线 y（x0）的图象经过 BC 的中点 D，且与 AB 交于点 E，连接 DE （1）直接写出 k 的值及点 E 的坐标； （2）若点 F 是 OC 边上一点，且 FBDE，求直线 FB 的解析式 第 21 页（共 27 页） 【分析】 （1）首先根据点 B 的坐标和点 D 为 BC 的中点表示出点 D 的坐标，代入反比例 函数的解析式求得 k 值，然后将点 E 的横坐标代入求得 E 点的纵坐标即可； （2）根据条件判定FBCDEB
37、，利用相似三角形对应边的比相等确定点 F 的坐标， 即可求得直线 FB 的解析式 【解答】解： （1）BCx 轴，点 B 的坐标为（2，3） ， BC2， 点 D 为 BC 的中点， CD1， 点 D 的坐标为（1，3） ， 代入双曲线 y（x0）得，k133； BAy 轴， 点 E 的横坐标与点 B 的横坐标相等，为 2， 点 E 在双曲线上， y， 点 E 的坐标为（2，） ； （2）FBDE， CBF+EDB90BED+EDB， CBFBDE， 又CDBE90， FBCDEB， 点 E 的坐标为（2，） ，B 的坐标为（2，3） ，点 D 的坐标为（1，3） ， 第 22 页（共 27
38、页） BD1，BE，BC2， FBCDEB， ， 即：， FC， 点 F 的坐标为（0，） ， 设直线 FB 的解析式 ykx+b（k0） ， 则， 解得：k，b， 直线 FB 的解析式 yx+ 【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质以及矩形 的性质，解题时注意点的坐标与线段长的相互转化 21 （9 分）如图，D 为O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且CDACBD （1）求证：CD 是O 的切线； （2）过点 B 作O 的切线交 CD 的延长线于点 E，若 BC6，tanCDA，求 BE 的 长 【分析】 （1）连 OD，OE，根据圆周角定理得到ADO
39、+190，而CDACBD， CBD1，于是CDA+ADO90； （2）根据切线的性质得到 EDEB，OEBD，则ABDOEB，得到 tanCDAtan OEB，易证 RtCDORtCBE，得到，求得 CD，然后 第 23 页（共 27 页） 在 RtCBE 中，运用勾股定理可计算出 BE 的长 【解答】 （1）证明：连 OD，OE，如图， AB 为直径， ADB90，即ADO+190， 又CDACBD， 而CBD1， 1CDA， CDA+ADO90，即CDO90， CD 是O 的切线； （2）解：EB 为O 的切线， EDEB，OEDB， ABD+DBE90，OEB+DBE90， ABDOEB
40、， CDAOEB 而 tanCDA， tanOEB， RtCDORtCBE， ， CD64， 在 RtCBE 中，设 BEx， （x+4）2x2+62， 解得 x 即 BE 的长为 第 24 页（共 27 页） 【点评】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线； 也考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质 22 （11 分）在平面直角坐标系中，二次函数 yax2+bx+2 的图象与 x 轴交于 A（3，0） ， B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C （1）求这个二次函数的关系解析式； （2）点 P 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点 P，使AC
41、P 的面积最大？若 存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由； （3）在平面直角坐标系中，是否存在点 Q，使BCQ 是以 BC 为腰的等腰直角三角形？ 若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由； 【分析】 （1）直接把点 A（3，0） ，B（1，0）代入二次函数 yax2+bx+2 求出 a、b 的 值即可得出抛物线的解析式； （2）设点 P 坐标为（m，n） ，则 nm2m+2，连接 PO，作 PMx 轴于 M，PN y 轴于 N根据三角形的面积公式得出PAC 的表达式，再根据二次函数求最大值的方 法得出其顶点坐标即可； （3） 以 BC 为边， 在线段 BC 两侧分别作正方形
42、， 正方形的其他四个顶点均可以使得 “ BCQ 是以 BC 为腰的等腰直角三角形” ，因此有四个点符合题意要求，再过 Q1点作 Q1D y 轴于点 D，过点 Q2作 Q2Ex 轴于点 E，根据全等三角形的判定定理得出Q1CD CBO，CBOBQ2E，故可得出各点坐标 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+2 过点 A（3，0） ，B（1，0） ， 第 25 页（共 27 页） 解得， 二次函数的关系解析式为 yx2x+2； （2）存在 如图 1 所示，设点 P 坐标为（m，n） ，则 nm2m+2 连接 PO，作 PMx 轴于 M，PNy 轴于 N 则 PMm2m+2，PNm，AO3 当
43、 x0 时，y00+22， OC2， SPACSPAO+SPCOSACO AOPM+COPNAOCO 3（m2m+2）+2（m）32 m23m a10 函数 SPACm23m 有最大值 当 m时，SPAC有最大值 nm2m+2（）2（）+2， 存在点 P（，） ，使PAC 的面积最大 （3）如图 2 所示，以 BC 为边在两侧作正方形 BCQ1Q2、正方形 BCQ4Q3，则点 Q1，Q2， Q3， Q4为符合题意要求的点 过 Q1点作 Q1Dy 轴于点 D， 过点 Q2作 Q2Ex 轴于点 E， 1+290，2+390，3+490， 13，24， 第 26 页（共 27 页） 在Q1CD 与CBO 中， ， Q1CDCBO， Q1DOC2，CDOB1， ODOC+CD3， Q1（2，3） ； 同理可得 Q4（2，1） ； 同理可证CBOBQ2E， BEOC2，Q2EOB1， OEOB+BE1+23， Q2（3，1） ， 同理，Q3（1，1） ， 存在点 Q，使BCQ 是以 BC 为腰的等腰直角三角形Q 点坐标为：Q1（2，3） ，Q2 （3，1） ，Q3（1，1） ，Q4（2，1） 【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，二次 函数极值、全等三角形的判定与性质，正方形及等腰直角三角形的性质等知识，涉及面
