1、2019 年山东省济宁市中考数学模拟试卷（5 月份）一、选择题本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1（3 分）5 的相反数是（ ）A5 B C5 D0.52（3 分）使代数式 有意义的 x 的取值范围是（ ）Ax10 Bx10 Cx10 Dx 103（3 分）下列运算正确的是（ ）Aa+2a2a 2 B（2ab 2） 24a 2b4 C（a3） 2a 29 Da 6a3 a2 4（3 分）港珠澳大桥 2018 年 10 月 23 日正式开通，整个大桥造价超过 720 亿元人民币，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道数据“720 亿
2、”用科学记数法表示为（ ）A0.7210 11 B7.210 11 C7.210 10 D7210 95（3 分）下列设计的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A B C D6（3 分）如图是空心圆柱，则空心圆柱在正面的视图，正确的是（ ）A B C D7（3 分）在禁毒知识考试中，全班同学的成绩统计如表：得分（分） 60 70 80 90 100人数（人） 7 22 10 8 3则得分的众数和中位数分别为（ ）A70 分，70 分 B80 分，80 分 C70 分，80 分 D80 分，70 分8（3 分）2018 年某公司一月份的销售额是 50 万元，第一季度的销售总额为 18
3、2 万元，设第一季度的销售额平均每月的增长率为 x，可列方程为（ ）A50（1+x） 2182B50（1+2x）182C182（1x ） 250D50+50（1+x ）+50（1+x） 21829（3 分）如图，平面直角坐标中，点 A（1，2），将 AO 绕点 A 逆时针旋转 90，点 O的对应 B 点恰好落在双曲线 y （x0）上，则 k 的值为（ ）A2 B3 C4 D610（3 分）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，P 是对角线 BD 上一点，PEBC 于点E，PFCD 于点 F，连接 AP，EF 给出下列结论：PD EC； 四边形 PECF的周长为 8；APD 一定是等腰三角形
4、；APEF；EF 的最小值为2 ；AP EF其中正确结论的序号为（ ）A B C D二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分11（3 分）把多项式 m24 m+4 分解因式的结果是 12（3 分）不透明的袋中装有 3 个大小相同的小球，其中两个为白色，一个为红色，随机地从袋中摸取一个小球后放回，再随机地摸取一个小球，两次取的小球都是红球的概率为 13（3 分）用彩色和单色的两种地砖铺地，彩色地砖 14 元/块，单色地砖 12 元/ 块，若单色地砖的数量比彩色地砖的数最的 2 倍少 15 块，买两种地砖共用了 1340 元，设购买彩色地砖 x 块，单色地砖 y 块，则根据题意
5、可列方程组为 14（3 分）如图，优弧 所在O 的半径为 2，AB2 ，点 P 为优弧 上一点（点P 不与 A，B 重合），将图形沿 BP 折叠得到点 A 的对称点 A当 BA与 O 相切时，折痕 PB 的长为 15（3 分）已知ABC 的周长为 1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，以此类推，则第 2019 个三角形周长为 三、解答题：本大题共 7 小题，共 55 分16（6 分）计算：（3） 0 cos45+（ ） 1 | 4|17（6 分）某校为了解九年级学生艺术测试情况，以九年级（1）班学生的艺术测试成绩为样本，按 A、B、C、D 四个等级进
6、行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：A 级：90 分100 分；B 级：75 分89 分；C 级：60 分74 分；D 级：60 分以下）（1）此次抽样共调查了多少名学生？（2）请求出样本中 D 级的学生人数，并补全条形统计图；（3）若该校九年级有 1000 名学生，请你用此样本估计艺术测试中分数不低于 75 分的学生人数18（7 分）为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时 40 海里的速度向正东方航行，在 A 处测得灯塔 P 在北偏东 60方向上，继续航行 1 小时到达 B 处，
7、此时测得灯塔 P 在北偏东30方向上（1）求APB 的度数；（2）已知在灯塔 P 的周围 20 海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？19（8 分）某校为了改善办公条件，计划从厂家购买 A、B 两种型号电脑已知每台 A种型号电脑价格比每台 B 种型号电脑价格多 0.1 万元，且用 10 万元购买 A 种型号电脑的数量与用 8 万购买 B 种型号电脑的数量相同（1）求 A、B 两种型号电脑每台价格各为多少万元？（2）学校预计用不多于 9.2 万元的资金购进这两种电脑共 20 台，其中 A 种型号电脑至少要购进 10 台，请问有哪几种购买方案？20（8 分）如图，在ABC 中，ABAC
8、 ，以线段 AB 上的点 O 为圆心，OB 为半径作O，分别与边 AB、BC 相交于 D、E 两点，过点 E 作 EFAC 于 F（1）判断直线 EF 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若 OB3， ，求线段 BE 的长21（9 分）（1）阅读理解：如图 ，在 ABC 中，若 AB10，AC 6，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围解决此问题可以用如下方法：延长 AD 到点 E 使 DEAD，再连接 BE（或将ACD 绕着点 D 逆时针旋转 180得到 EBD），把 AB、AC，2AD 集中在ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断中线 AD 的取值范围是 ；（2）问题解决：如图 ，在 A
9、BC 中，D 是 BC 边上的中点，DEDF 于点 D，DE 交 AB 于点 E，DF交 AC 于点 F，连接 EF，求证：BE+CF EF；（3）问题拓展：如图 ，在四边形 ABCD 中，B+D180，CBCD，BCD140，以 C 为顶点作一个 70角，角的两边分别交 AB，AD 于 E、F 两点，连接 EF，探索线段BE，DF ，EF 之间的数量关系，并加以证明22（11 分）如图，直线 AB 和抛物线的交点是 A（0，3），B（5，9），已知抛物线的顶点 D 的横坐标是 2（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在 x 轴上是否存在一点 C，与 A，B 组成等腰三角形？若存在，求出点
10、C 的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线 AB 的下方抛物线上找一点 P，连接 PA，PB 使得PAB 的面积最大，并求出这个最大值2019 年山东省济宁市中考数学模拟试卷（5 月份）参考答案与试题解析一、选择题本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1（3 分）5 的相反数是（ ）A5 B C5 D0.5【分析】根据相反数的定义，可得答案【解答】解：5 的相反数是 5，故选：A【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数2（3 分）使代数式 有意义的 x 的取值范围是（ ）Ax10 Bx10 Cx10 Dx
11、10【分析】直接利用二次根式的性质得出答案【解答】解：使代数式 有意义，则 x100，解得：x10，故选：A【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键3（3 分）下列运算正确的是（ ）Aa+2a2a 2 B（2ab 2） 24a 2b4 C（a3） 2a 29 Da 6a3 a2 【分析】根据合并同类项系数相加字母及指数不变，积的乘方等于乘方的积，同底数幂的除法底数不变指数相减，差的平方等余平方和减积的二倍，可得答案【解答】解：A、a+2a3a，故 A 错误；B、（2ab 2） 24a 2b4 ，故 B 正确；C、（a3） 2a 26a+9 ，故 C 错误；D
12、、a 6a3a 4，故 D 错误；故选：B【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键4（3 分）港珠澳大桥 2018 年 10 月 23 日正式开通，整个大桥造价超过 720 亿元人民币，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道数据“720 亿”用科学记数法表示为（ ）A0.7210 11 B7.210 11 C7.210 10 D7210 9【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n
13、 是负数【解答】解：720 亿720000000007.2010 10故选：C【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值5（3 分）下列设计的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A B C D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意故选：C【点评】此题主要考查了中心
14、对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合6（3 分）如图是空心圆柱，则空心圆柱在正面的视图，正确的是（ ）A B C D【分析】找出从几何体的正面看所得到的视图即可【解答】解：从几何体的正面看可得：故选：C【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握三视图所看的位置7（3 分）在禁毒知识考试中，全班同学的成绩统计如表：得分（分） 60 70 80 90 100人数（人） 7 22 10 8 3则得分的众数和中位数分别为（ ）A70 分，70 分 B80 分，80 分 C70 分，80 分
15、D80 分，70 分【分析】利用众数及中位数的定义解答即可【解答】解：得分为 70 分的人数最多，有 22 人，众数为 70 分，共 7+22+10+8+350 人，中位数为第 25 和第 26 人的平均数，中位数为 70 分，故选：A【点评】本题考查了众数、中位数的知识，掌握各知识点的概念是解答本题的关键8（3 分）2018 年某公司一月份的销售额是 50 万元，第一季度的销售总额为 182 万元，设第一季度的销售额平均每月的增长率为 x，可列方程为（ ）A50（1+x） 2182B50（1+2x）182C182（1x ） 250D50+50（1+x ）+50（1+x） 2182【分析】增长
16、率问题，一般用增长后的量增长前的量（1+增长率），本题可先用 x表示出二月份的销售额，再根据题意表示出三月份的销售额，然后将三个月的销售额相加，即可列出方程【解答】解：二月份的销售额为：50（1+x），三月份的销售额为：50（1+x）（1+x）50（1+x） 2，故第一季度总销售额为：50+50（1+x）+50（1+ x） 2182故选：D【点评】考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1x）2b9（3 分）如图，平面直角坐标中，点 A（1，2），将 AO 绕点 A 逆时针旋转 90，点 O
17、的对应 B 点恰好落在双曲线 y （x0）上，则 k 的值为（ ）A2 B3 C4 D6【分析】作 ACy 轴于 C，ADx 轴，BDy 轴，它们相交于 D，有 A 点坐标得到AC1，OC2，由于 AO 绕点 A 逆时针旋转 90，点 O 的对应 B 点，所以相当是把AOC 绕点 A 逆时针旋转 90得到ABD，根据旋转的性质得ADAC1，BDOC2，原式可得到 B 点坐标为（3，1），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算 k 的值【解答】解：作 ACy 轴于 C，ADx 轴，BDy 轴，它们相交于 D，如图，A 点坐标为（1，2），AC1，OC2，AO 绕点 A 逆时针旋转 90，点 O
18、 的对应 B 点，即把AOC 绕点 A 逆时针旋转 90得到ABD，ADAC1，BDOC2 ，B 点坐标为（3，1），k313故选：B【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 y （k 为常数，k0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y ）的横纵坐标的积是定值 k，即 xyk也考查了坐标与图形变化旋转10（3 分）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，P 是对角线 BD 上一点，PEBC 于点E，PFCD 于点 F，连接 AP，EF 给出下列结论：PD EC； 四边形 PECF的周长为 8；APD 一定是等腰三角形；APEF；EF 的最小值为2 ；AP EF其中正确结论的序
19、号为（ ）A B C D【分析】 根据正方形的对角线平分对角的性质，得PDF 是等腰直角三角形，在RtDPF 中，DP 2DF 2+PF2EC 2+EC22EC 2，求得 DP EC先证明四边形 PECF 为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为 2BC，则四边形 PECF 的周长为 8；根据 P 的任意性可以判断APD 不一定是等腰三角形；由，PECF 为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明 APEF；当 AP 最小时，EF 最小，EF 的最小值等于 2 ；证明 PFH+ HPF90，则 APEF【解答】解：如图，延长 FP 交 AB 与 G，连 PC，延长 AP 交 EF 与 H，
20、GFBC，DPFDBC，四边形 ABCD 是正方形DBC45DPFDBC45，PDFDPF45，PFECDF，在 RtDPF 中，DP 2DF 2+PF2EC 2+EC22EC 2，DP EC故正确；PEBC， PFCD， BCD90，四边形 PECF 为矩形，四边形 PECF 的周长2CE+2PE2CE +2BE2BC8，故正确；点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上任意一点，ADP45 度，当PAD45 度或 67.5 度或 90 度时，APD 是等腰三角形，除此之外，APD 不是等腰三角形，故错误四边形 PECF 为矩形，PCEF， PFEECP，由正方形为轴对称图形，APPC，
21、 BAPECP，APEF，PFE BAP，故正确；由 EFPC AP，当 AP 最小时，EF 最小，则当 APBD 时，即 AP BD 2 时，EF 的最小值等于 2 ，故正确；GFBC，AGP90，BAP +APG90，APGHPF，PFH+HPF 90，APEF，故正确；本题正确的有：；故选：A【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分11（3 分）把多项式 m24 m+4 分解因式的结果是 （m 2） 2 【分析】直接利用完全平
22、方公式分解因式得出答案【解答】解：m 24m+4（m 2） 2故答案为：（m2） 2【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键12（3 分）不透明的袋中装有 3 个大小相同的小球，其中两个为白色，一个为红色，随机地从袋中摸取一个小球后放回，再随机地摸取一个小球，两次取的小球都是红球的概率为 【分析】根据题意先画出树状图得出所有等情况数和两次取的小球都是红球的情况数，再根据概率公式即可得出答案【解答】解：根据题意画图如下：共有 9 种等可能的情况数，其中两次取的小球都是红球的有 1 种，则两次取的小球都是红球的概率为 ；故答案为： 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法
23、求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比13（3 分）用彩色和单色的两种地砖铺地，彩色地砖 14 元/块，单色地砖 12 元/ 块，若单色地砖的数量比彩色地砖的数最的 2 倍少 15 块，买两种地砖共用了 1340 元，设购买彩色地砖 x 块，单色地砖 y 块，则根据题意可列方程组为 【分析】设购买彩色地砖 x 块，单色地砖 y 块，根据“单色地砖的数量比彩色地砖的数最的 2 倍少 15 块，买两种地砖共用了 1340 元”，即可得出关于 x
24、，y 的二元一次方程组，此题得解【解答】解：设购买彩色地砖 x 块，单色地砖 y 块，依题意，得： 故答案为： 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键14（3 分）如图，优弧 所在O 的半径为 2，AB2 ，点 P 为优弧 上一点（点P 不与 A，B 重合），将图形沿 BP 折叠得到点 A 的对称点 A当 BA与 O 相切时，折痕 PB 的长为 2 【分析】根据切线的性质得到OBA90，从而得到ABA120，就可求出ABP，进而求出OBP30过点 O 作 OGBP，垂足为 G，容易求出 OG、BG 的长，根据垂径定理就可求出折痕的长【
25、解答】解：过点 O 作 OHAB，垂足为 H，连接 OB，如图 1所示OHAB，AB2 ，AHBH OB2，OH1点 O 到 AB 的距离为 1过点 O 作 OGBP，垂足为 G，如图 2 所示BA与O 相切，OBA BOBA90OBH 30 ，ABA 120ABP ABP60OBP30OG OB1BG OGBP，BGPG BP2 折痕 PB 的长为 2 故答案为：2 【点评】本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的定义、30角所对的直角边等于斜边的一半、翻折问题等知识，正确的作出辅助线是解题的关键15（3 分）已知ABC 的周长为 1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个
26、三角形三边的中点构成第三个三角形，以此类推，则第 2019 个三角形周长为 【分析】根据题意可以写出前几个三角形的周长，从而可以发现三角形周长的变化规律，进而写出第 2019 个三角形周长【解答】解：由题意可得，第 1 个三角形的周长是 1，第 2 个三角形的周长是 ，第 3 个三角形的周长是 ，第 4 个三角形的周长是 ，则第 2019 个三角形的周长是 ，故答案为： 【点评】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中三角形周长的变化规律三、解答题：本大题共 7 小题，共 55 分16（6 分）计算：（3） 0 cos45+（ ） 1 | 4|【分析】本题涉及零指数幂、特殊角
27、的三角函数值、负指数为正指数的倒数、取绝对值四个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【解答】解：原式1 +242【点评】此题主要考查了实数的运算，其中特殊角的三角函数值是常考的知识点，因此要熟记特殊角的三角函数值；另外，负指数为正指数的倒数；任何非 0 数的 0 次幂等于117（6 分）某校为了解九年级学生艺术测试情况，以九年级（1）班学生的艺术测试成绩为样本，按 A、B、C、D 四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：A 级：90 分100 分；B 级：75 分89 分；C 级：60 分74 分；D
28、 级：60 分以下）（1）此次抽样共调查了多少名学生？（2）请求出样本中 D 级的学生人数，并补全条形统计图；（3）若该校九年级有 1000 名学生，请你用此样本估计艺术测试中分数不低于 75 分的学生人数【分析】（1）根据 A 级的学生数和所占的百分比可以求得本次抽样调查的学生数；（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据可以求得 D 级的学生数，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据统计图中的数据可以得到该校九年级艺术测试中分数不低于 75 分的学生人数【解答】解：（1）1020%50（名），即此次抽样共调查了 50 名学生；（2）样本中 D 等级的人数是： 501023125（名）补
29、全的条形统计图如右图所示；（3）根据题意得：1000 660（人），答：估计艺术测试中分数不低于 75 分的学生人数约为 660 人【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答18（7 分）为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时 40 海里的速度向正东方航行，在 A 处测得灯塔 P 在北偏东 60方向上，继续航行 1 小时到达 B 处，此时测得灯塔 P 在北偏东30方向上（1）求APB 的度数；（2）已知在灯塔 P 的周围 20 海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航
30、行是否安全？【分析】（1）在ABP 中，求出PAB、PBA 的度数即可解决问题；（2）作 PDAB 于 D求出 PD 的值即可判定；【解答】解：（1）由题意得，PAB30，PBD60，APB PBDPAB30，（2）由（1）可知APBPAB30，PBAB40（海里）过点 P 作 PD AB 于点 D，在 RtPBD 中，PDBPsin60 20 （海里）20 20海监船继续向正东方向航行是安全的【点评】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键19（8 分）某校为了改善办公条件，计划从厂家购买 A、B 两种型号电脑已知
31、每台 A种型号电脑价格比每台 B 种型号电脑价格多 0.1 万元，且用 10 万元购买 A 种型号电脑的数量与用 8 万购买 B 种型号电脑的数量相同（1）求 A、B 两种型号电脑每台价格各为多少万元？（2）学校预计用不多于 9.2 万元的资金购进这两种电脑共 20 台，其中 A 种型号电脑至少要购进 10 台，请问有哪几种购买方案？【分析】（1）设求 A 种型号电脑每台价格为 x 万元，则 B 种型号电脑每台价格（x0.1）万元根据“用 10 万元购买 A 种型号电脑的数量与用 8 万购买 B 种型号电脑的数量相同”列出方程并解答（2）设购买 A 种型号电脑 y 台，则购买 B 种型号电脑（
32、20y）台根据“A 种型号电脑至少要购进 10 台”、“用不多于 9.2 万元的资金购进这两种电脑”解答【解答】解：（1）设求 A 种型号电脑每台价格为 x 万元，则 B 种型号电脑每台价格（x0.1）万元根据题意得： ，解得：X0.5经检验：x0.5 是原方程的解，x0.10.4答：A、B 两种型号电脑每台价格分别是 0.5 万元和 0.4 万元（2）设购买 A 种型号电脑 y 台，则购买 B 种型号电脑（20y）台根据题意得：0.5y+0.4（20y）9.2解得：y12，又A 种型号电脑至少要购进 10 台，10y12 y 的整数解为 10、11、12有 3 种方案即：购买 A 种型号电脑
33、 10 台、购买 B 种型号电脑 10 台；购买 A 种型号电脑 11 台、购买 B 种型号电脑 9 台；购买 A 种型号电脑 12 台、购买 B 种型号电脑 8 台【点评】考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键20（8 分）如图，在ABC 中，ABAC ，以线段 AB 上的点 O 为圆心，OB 为半径作O，分别与边 AB、BC 相交于 D、E 两点，过点 E 作 EFAC 于 F（1）判断直线 EF 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若 OB3， ，求线段 BE 的长【分析】（1）连结 OE，如图，由 ABAC 得BC ，由 OBOE 得B
34、OEB，则OEBC，根据平行线的判定得到 OEAC，而 EFAC，则根据平行线的性质得OEEF，于是可根据切线的判定定理得到结论；（2）连接 BD 解直角三角形即可得到结论【解答】（1）证明：连结 OE，如图，ABAC，BC，OBOE ，BOEB ，OEBC，OEAC，而 EFAC，OEEF，EF 为O 的切线；（2）连接 DE，OB3，BD 为O 的直径，BD3，DEB90， ，BE BD2【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可也考查了解直角三角形21（9 分）（1）阅读理解
35、：如图 ，在 ABC 中，若 AB10，AC 6，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围解决此问题可以用如下方法：延长 AD 到点 E 使 DEAD，再连接 BE（或将ACD 绕着点 D 逆时针旋转 180得到 EBD），把 AB、AC，2AD 集中在ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断中线 AD 的取值范围是 2 AD8 ；（2）问题解决：如图 ，在 ABC 中，D 是 BC 边上的中点，DEDF 于点 D，DE 交 AB 于点 E，DF交 AC 于点 F，连接 EF，求证：BE+CF EF；（3）问题拓展：如图 ，在四边形 ABCD 中，B+D180，CBCD，BCD140，以 C 为
36、顶点作一个 70角，角的两边分别交 AB，AD 于 E、F 两点，连接 EF，探索线段BE，DF ，EF 之间的数量关系，并加以证明【分析】（1）延长 AD 至 E，使 DEAD，由 SAS 证明ACDEBD，得出BEAC6，在 ABE 中，由三角形的三边关系求出 AE 的取值范围，即可得出 AD 的取值范围；（2）延长 FD 至点 M，使 DMDF ，连接 BM、EM，同（1）得BMD CFD，得出 BMCF，由线段垂直平分线的性质得出 EMEF，在BME 中，由三角形的三边关系得出 BE+BMEM 即可得出结论；（3）延长 AB 至点 N，使 BNDF，连接 CN，证出NBCD，由 SAS
37、 证明NBC FDC，得出 CNCF，NCBFCD，证出ECN 70ECF，再由SAS 证明NCEFCE，得出 ENEF，即可得出结论【解答】（1）解：延长 AD 至 E，使 DEAD，连接 BE，如图所示：AD 是 BC 边上的中线，BDCD，在BDE 和CDA 中， ，BDECDA（SAS ），BEAC6，在ABE 中，由三角形的三边关系得：ABBEAEAB+BE，106AE10+6，即 4AE16，2AD8；故答案为：2AD8；（2）证明：延长 FD 至点 M，使 DMDF ，连接 BM、EM ，如图所示：同（1）得：BMDCFD（SAS），BMCF，DEDF ，DMDF，EMEF，在B
38、ME 中，由三角形的三边关系得：BE +BMEM，BE+CFEF；（3）解：BE+DFEF ；理由如下：延长 AB 至点 N，使 BNDF，连接 CN，如图 3 所示：ABC+ D180，NBC+ABC180，NBC D，在NBC 和 FDC 中， ，NBC FDC （SAS），CNCF， NCBFCD，BCD140，ECF70，BCE+ FCD70，ECN 70 ECF，在NCE 和 FCE 中， ，NCE FCE（SAS），ENEF，BE+BNEN，BE+DFEF 【点评】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全
39、等是解决问题的关键22（11 分）如图，直线 AB 和抛物线的交点是 A（0，3），B（5，9），已知抛物线的顶点 D 的横坐标是 2（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在 x 轴上是否存在一点 C，与 A，B 组成等腰三角形？若存在，求出点 C 的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线 AB 的下方抛物线上找一点 P，连接 PA，PB 使得PAB 的面积最大，并求出这个最大值【分析】（1）抛物线的顶点 D 的横坐标是 2，则 x 2，抛物线过是A（0，3），则：函数的表达式为：yax 2+bx3，把 B 点坐标代入函数表达式，即可求解；（2）分 ABAC 、AB BC、 ACBC，三种情
40、况求解即可；（3）由 SPAB PHxB，即可求解【解答】解：（1）抛物线的顶点 D 的横坐标是 2，则 x 2，抛物线过是 A（0，3），则：函数的表达式为：yax 2+bx3，把 B 点坐标代入上式得：925a+5b3，联立 、 解得： a，b ，c3，抛物线的解析式为：y x2 x3，当 x2 时，y ，即顶点 D 的坐标为（2， ）；（2）A（0，3），B（5，9），则 AB13，当 ABAC 时，设点 C 坐标（ m，0），则：（m） 2+（ 3） 213 2，解得：m 4 ，即点 C 坐标为：（4 ，0）或（4 ，0）；当 ABBC 时，设点 C 坐标（ m，0），则：（5m） 2
41、+9213 2，解得：m 5 ，即：点 C 坐标为（5 ，0）或（52 ，0），当 ACBC 时，设点 C 坐标（m ，0），则：点 C 为 AB 的垂直平分线于 x 轴的交点，则点 C 坐标为（ ，0），故：存在，点 C 的坐标为：（4 ，0）或（4 ，0）或（5 ，0）或（52 ，0）或（ ，0）；（3）过点 P 作 y 轴的平行线交 AB 于点 H，设：AB 所在的直线过点 A（0，3），则设直线 AB 的表达式为 ykx 3，把点 B 坐标代入上式，95k3，则 k ，故函数的表达式为：y x3，设：点 P 坐标为（m， m2 m3），则点 H 坐标为（m， m3），SPAB PHxB （ m2+12m），当 m2.5 时，S PAB 取得最大值为： ，答：PAB 的面积最大值为 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系
