1、32. 综合应用知识要点梳理1、 鸽巢原理1. 定义：鸽巢原理又叫抽屉原理，它是组合数学的一个基本原理。2. 类型：（1） 吧n+1个元素分成n类，不管怎么分，则一定有一类有2个或2个以上的元素。（2） 吧m个元素任意放入n（nm）各集合，则一定有一个集合至少要有k个元素，其中k=（当n能整除m时），或k=+1（当n不能整除m时）这里的表示不大于的最大整数。3.解题的步骤:第一步:分析题意，分清什么是“东西”，什么是“抽屉”。第二步:制造抽屉。这是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。根据题目的条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉
2、铺平道路。第三步:运用抽屉原理。2、 植树问题1. 定义:植树问题是指在某个固定图形上，给定点之间的距离或其他条件，在这个图形上最多能分布多少个这样的点的问题。 2.公式: 直线植树问题:计算两端点时，树木数=路线长度树木间隔+1 计算一端点时，树木数=路线长度:树木间隔 不计算两端点时，树木数=路线长度树木间隔-1 圆周植树问题:树木数=路线长度树木间隔三、鸡兔同笼问题方法:假设法，方程法，抬脚法，列表法。假设法解题思路:提出假设一产生差异一分析原因一解决差异。公式1;(兔的脚数x总只数一总脚数):(兔的脚数一鸡的脚数)=鸡的只数; 总只数-鸡的只数=兔的只数公式2;(总脚数一鸡的脚数x总只
3、数):(兔的脚数一鸡的脚数)=兔的只数;总只数-兔的只数=鸡的只数公式3;(设兔为x只，鸡为总只数-x）4x + 2(总只数-想）=总脚数考点精讲分析典例精讲考点1 鸽巢原理【例1】 张阿姨给孩子买衣服，有红、黄、白三种颜色，但结果总是至少有两个孩子的颜色一样，她至少有( )个孩子。 A.4 B.2 C.3 【精析】把颜色的种类看作“抽屉”，把孩子的数量看作物体的个数，根据抽屉原理得出:孩子的个数至少比颜色的种类多1时，才能至保证少有两个孩子的颜色一样，即3+1=4(个)。【答案】A【归纳总结】元素大于抽屉数，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”。【例2】把56个苹
4、果装在9个袋子里，有一个袋子至少装( )个苹果。A.5 B.6 C.7【精析】把56个苹果装在9个袋子里，将这9个袋子当做9个抽屉,56 9 =6个2个，即平均每个袋子里装6个后，还余下2个.根据抽屉原理可知，总有一个袋子至少要装6+1=7个，据此即可判断.解:569=6(个).2(个),6+1 =7(个)。【答案】 C【归纳总结】在此类抽屉问题中，至少数=物体数除以抽屉数的商+1(有余的情况下)。【例3】考点2 植树问题园林工人沿公路一侧植树，每隔6米种一棵，一共种了36棵，从第1棵到最后一棵的距离有多远?【精析】根据题干，此题属于两端都要栽的情况:间隔数=植树棵数一1，由此可以求出从第1棵
5、到最后一棵之间有36一1 = 35个间隔，再乘以6即可解决问题。【答案】(36一1) x6=35 x6=210(米) 答:从第一棵到最后一棵的距离是210米。【归纳总结】两端都要栽时，间隔数=植树棵数-1，由此即可解答。【例4】一个正方形花坛的周长是120米，在它四周每隔3米放一个花盆，每个角上都有一盆花，每边放多少盆花?【精析】用正方形的周长除以4，求出每条边的长度，再根据两端都要栽的计算方法:棵数=间隔数+1，进行解答。【答案】120 4 3 +1 =10 +1 =11(棵)答:每边放11盆花。【归纳总结】本题关键是求出每条边的长度，再根据棵数=间隔数+1的计算方法进行计算。考点3 鸡兔同
6、笼【例5】 松鼠妈妈采松子，晴天每天可采20个，雨天每天只能采12个，它一连几天采了112个松子，平均每天采14个，这几天当中有几天是雨天?【精析】一连几天采了112个，平均每天采14个，可以求出采松子的总天数，再用假设法就可以求出雨天的天数。【答案】采松子的天数:112 14 =8(天)假设8天全为晴天，则可采20x8=160(个)雨天的天数:(160一442)(20一12) = 6(天)答:这几天雨天有6天。【归纳总结】把两种不同的量假设成同一量，算出总量，和实际总量相比较得出差异。名题精析【例】(江西某师大附中入学)房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16个，如果椅子腿数和凳子腿数加起来
7、共60条，那么有( )把椅子。【精析】这是一道典型的简单的鸡兔同笼问题，可用假设法。假设16个都是凳子，得出腿的总数，并求出总差。【答案】假设16个全是椅子，则 16 x4=64(条) (64一 60）(4一3) =4(把)16一4=12(把)【归纳总结】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论;也可以用方程进行解答。毕业生学训练一、填空题1. 30只鸽子飞进7个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进( )只鸽子。2.在一个正方形花坛的四周种树，四个顶点各种一棵，每边种5棵，共种( )棵。3.笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有16个头，从下面数，有52个脚，那么鸡有( )只，兔
8、有 ( )只。4. 13只鸡放进4个鸡笼里，至少有( )只鸡要放进同一个鸡笼里。5. 在100米的人行道两边栽树，每隔4米栽一棵(两端都要栽)需要栽( )棵树6. 在一条马路一边从头至尾植树36棵，每相邻两棵树之间隔8米，这条马路有( )。7一个鱼塘的周长是1500米，沿鱼塘周围每隔6米栽一棵杨树，需要种（ ）棵杨树。8.全班46人去划船，一共租了9条船，每条大船坐6人，每条小船坐4人，他们租用了( )条大船。二、选择题1一副扑克牌加上大、小王共有54张，至少抽取( )张牌就一定能保证有两张同色。 A.5 B.6 C.7 D.132. 小明要到一栋楼的第巧层上去，他从第一层走到第五层用了100
9、秒，如果用同样的速度走到15层，还要( )秒。 A.200 8.250 0.300 D.3503.数学竞赛共10题，做对一题得8分，做错一题(或不做)，倒扣5分，小军得41分，他做错了( )。 A.3题 B.4题 C.5题 D. 2题4.强强一次捐款175元，分别是20元和5元的，共有23张，其中5元的有( )张。 A.4 8.19 C.135.有红、黄、蓝袜子各10只，闭着眼睛，任意取出袜子来，使得至少有2双袜子不同色，那么至少需要取( )只袜子。 A.9 B.5 C.16 D.136.把56个苹果装在9个袋子里，有一个袋子至少装( )个苹果。 A.5 B.6 C.77一个盒子里有4个白球、
10、3个红球和2个黄球，至少摸出( )个球才能保证摸出的球一定有两种颜色的球。 A.3 B.4 C.58.鸡兔同笼，15个头，40条腿，鸡的只数与兔的只数的最简整数比是( )。 A.3:1 B.3:8 C. 2: 1 D. 8: 3三、解决问题1.小红的存钱罐里有1元和5角的硬币32枚，共有20元。则5角的有多少枚?2.在一座长800米的大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂，一共挂了202盏，相邻两盏之间的距离都相等。求相邻两盏彩灯之间的距离。3一个木工锯一根19米的木料，他先把一头损坏部分锯下来1米，然后锯了5次，锯成同样长的短木条。每根短木条长多少米?4.商店委托搬运队运送100箱热水瓶，每箱6个。
11、双方商定每箱的运费2. 4元，如果打破一个，这个不但不计运费，并且要赔偿11. 5元，结果搬运队共得运费192. 4元，运送过程中打破了几个热水瓶?5.某玻璃杯厂要为商场运送1000个玻璃杯，双方商定每个运费为1元，如果打碎一个，这个不但不给运费，而且要赔偿3元。结果运到目的地后结算时，玻璃杯厂共得运费920元。求打碎了几个玻璃杯?6.育红小学上学期共有学生750人，本学期男学生增加，女学生减少，共有710人，本学期男，女学生各有多少人?冲刺提升一、填空题1.(绵阳某中入学)笼子里有若干只鸡和兔，从上面数有16个头，从下面数，有52个脚，那么鸡有( )只，兔有( )只。2.(成都某四中入学)在
12、一次考试中，某班数学得100分的有17人，语文得100的有13人，两科都得100分的人有7人，两科至少有一科得100的共有( )人;全班45人中两科都不得100的有( )。3.(西安某铁一中分班)有5瓶维生素，其中一瓶少了4片。如果用天平至少称( )次就能找到少药片的那瓶。4.(成都树德中学入学)暗箱中混放着白、红、蓝、黄四种颜色的球各8个，至少需要摸到( )个球，才能确保从中摸出四个不同色的球。5.(南昌某中入学)房间里有若干个凳子和椅子，每个凳子有3条腿，每把椅子有4条腿，当它们全被人坐上后共有43条腿(包括每个人的两条腿)，房间里有( )个人。6.(西安某铁一中入学)布袋中装有4个红球、
13、6个白球和8个黑球，它们除颜色外，完全相同，从袋中最少摸( )个球，肯定有三种颜色的球。二、解决问题1.(西安某铁一中分班)一个房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16个，如果椅子的腿数和凳子腿数加起来共有60条，那么有几个椅子和几个凳子?2.(宝鸡某一中入学)某人以相同的速度沿着一排树跑步，从第1棵跑到第6棵共用了30秒(每两棵树之间的距离相等，树的数量足够多)，如果跑120秒，他应该跑到了第几棵树?3.(临川某中入学)鸡兔同笼，30个头，9条腿，鸡兔相差多少只?4.(西安某铁一中分班)从甲地到乙地原来每隔45米要安装一根电线杆，加上两端的两根一共有25根电线杆。现在改每隔60米安装一根电线
14、杆，除两端的两根不需移动，中间还有多少根不必移动?32. 综合应用毕业升学训练一、1. 5 2. 16 3. 6 4. 4 5. 526. 280 7. 250 8. 5二、1. C 2. B 3. A 4. B 5. D 6. C 7. C 8. C三、1. 【解析】假设32枚都是1元的硬币，则共有32元。而现在一共有20元，多算了32-20-12（元）。如果用1枚5角的硬币换1枚1元的硬币，就要多1-0.5-0.5（元），那么看看这12元应该有几个0.5元来换，就有几个5角。列式为120.5，计算即可。【解析】5角-0.5元，所以5角的硬币有：（132-20）（1-0.5）-（32-20）
15、0.5-120.5-24（枚）答：5角的硬币有24枚。2.【解析】大桥两边一共挂了202盏彩灯，没变各挂2022-101盏，101盏彩灯把800米长的大桥分成101-1-100段，所以，相邻两盏彩灯之间的距离是800100-8米。3. 【解析】根据题意，把长19-1-18米长的木条锯了5次，可以锯成5+1-6段，所以每根短木条长186-3米。4.【解析】假设全部安全运到，总运费是240元，比实际多了47.6元，原因在于打破一个不但不给运费还要赔偿11.5元，则打破一个相差11.9元。2.4100-240元（240-192.4）（2.46+11.5）-4（个）答：运送过程中打破了4个热水瓶。5.
16、【解析】假设1000个玻璃杯全部运到并完好无损，应得运费11000-1000元，实际上少得1000-920-80元，这说明运输过程中打碎了玻璃杯。每打碎一个，不但不给运费还要赔偿3元，这样玻璃杯厂就少收入1+3-4元。又已求出共少收入80元，所以打破的玻璃杯数为804-20个。6【解析】假设本学期女学生不是减少，而是增加，半学期应该有750（1+）-875人，比实际多875-710-165人，这165人是假设女学生也增加多出的人数，而实际女学生减少，所以，这165人对应着女学生的（+）-。上学期女生：750（1+）-710（+）-450（人）本学期女生：450（1-）-360（人）本学期男生：
17、710-360-350（人）答：本学期男学生有350人，女学生有360人。冲刺提升一、1. 6 10 2. 23 22 3. 2 4. 25 5. 8 6. 15二、1.【解析】假设法解决问题。假设16个都是椅子，164-64（条）（64-60）（4-3）-4（个）凳子16-4-12（个）椅子答：有12个椅子，4个凳子。2.【解析】12030（6-1）-1206-20（个间隔）20+1-21（棵）答：应该走到第21棵树。3.【解析】设兔有x只，则鸡有（30-x）只，由题意，得2（30-x）+4x-9660-2x+4x-962x-36x-18 鸡：30-18-12（只）18-12-6（只）答：鸡兔相差6只。4. 【解析】45 （25-1）-4524-1080（米）（甲、乙两地相距1080米）45,60-180（每隔180米不必移动）1080180-1-5（根）答：中间还有5根不必移动。
