1、第09讲 认识三角形 温故知新 变量相关的定义 1、变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量。 2、自变量和因变量。（1）在某一变化过程中，有两个变量，当其中一个变量在一定范围内取一个数值时，另一个变量也有唯一一个数值与其对应，通常把前一个变量叫做自变量，后一个变量叫做因变量。 （2） 自变量和因变量的区别和联系。联系：两者都是某一变化过程中的变量，两者因研究的侧重点或先后顺序不同可以互相转化，比如当路程一定时，时间随速度的变化而变化，这时速度为自变量，时间为因变量。而当速度一定时，路程随时间的变化而变化，这时时间为自变量，路程为因变量。 区别：因变量随自变量的变化为变化。3、常量：在变化过
2、程中数值始终不变的量。智慧乐园 生活中还有哪些三角形形状的物体呢，简单举例知识要点一。三角形（一）三角形的定义及分类（1）三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。三角形有三边条、三个内角和三个顶点。“三角形”可以用符号“”表示，如图中顶点是A，B，C的三角形，记作ABC，三个字母之间并无顺序关系。ABC 的三边，有时也用来表示。如图，顶点A、B、C所对的边分别是BC、AC、AB，分别用来表示。（2）三角形的分类：按角分类（3）三角形内角的和等于180，这个定理可以结合右边的图形，利用平行线的性质证明。（二）直角三角形（1）通常我们用“RtABC”表示“直角三
3、角形ABC”。直角所对的边叫做直角三角形的斜边，夹直角的两条边叫做直角边。（2）直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余，用几何语言表示：在RtABC中， C=90，则 A+B=90 典例分析例1、如图，图中以AB为边的三角形的个数是（）A3 B4 C5 D6【解析】A例2、下列说法中正确的是（）A三角形的内角中至少有两个锐角 B三角形的内角中至少有两个钝角C三角形的内角中至少有一个直角 D三角形的内角中至少有一个钝角【解析】A例3、已知：如图，ABC中，ABCCBDC，AABD，则A_【解析】ABC中，ABCCBDC，ABC和BCD都是等腰三角形。又AABD，可设A=x，C=2x，根据三角
4、形内角和180度，可解得x=36例4、ABC中，若AC2B，则B_【解析】60例5、ABC中，若ABC123，则它们的相应邻补角的比为_ _【解析】根据三角形内角和可求出三个内角为30，60，90.则邻补角分别为150，120，90答案：543例6、如图，ACB=90，CDAB，垂足为D，下列结论错误的是（）A图中有三个直角三角形 B1=2C1和B都是A的余角 D2=A【解析】B例6、如图，在ABC中，BAC=90，ACAB，AD是斜边BC上的高，DEAC，DFAB，垂足分别为E、F，则图中与C（C除外）相等的角的个数是（）A3个 B4个 C5个 D6个【解析】A学霸说：（1）任意一个三角形，
5、最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角。（2）判断一个三角形的形状，只需看最大内角是什么角即可。 举一反三1、如图中三角形的个数是（）A6 B7 C8 D9【解析】C2、图中三角形的个数是（）A8个 B9个 C10个 D11个【解析】B3、如图，ABC中，A=46，C=74，BD平分ABC，交AC于点D，那么BDC的度数是（）A76 B81 C92 D104【解析】A4、如图，已知ADC中，A=30，ADC=110，BEAC，垂足为E，求B的度数【解析】ADC中，A=30，ADC=110C=180AADC=40BEACBEC=90B=90C=505、如图，CE平分ACD
6、，F为CA延长线上一点，FGCE交AB于点G，ACD=100，AGF=20，求B的度数【解析】CE平分ACDACE=ACD=100=50FGCEAFG=ACE=50在AFG中，BAC=AFG+AGF=50+20=70又ACB=180ACD=180100=80B=180BACACB=1807080=30知识要点二三角形三边关系及三角形的“三线”(一）三角形三边关系（1）三角形中，如图，有两边相等的三角形叫做等腰三角形。三条边都相等的三角形是等边三角形。（2）在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。总结一句就是三角形中，任意一边小于另外两边之和，大于另外两边之差。（二）三角形的
7、“三线”（1）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。如图，AD是ABC的BC边上的中线。一个三角形有三条中线，并且交于一点，这点称为三角形的重心。如图，三条中线交于点O，O点即为ABC的重心。三角形的中线性质：中线平分一条边；无论三角形什么形状，它的重心都在三角形的内部；三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形。（2）三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三角线的角平分线交于三角形内部一点。（3）三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的
8、线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。三角形的三条高所在的直线交于一点。锐角三角形的高线交于三角形内部一点，直角三角形的高线交于三角形直角顶点，钝角三角形的高线交于三角形外部一点。 典例分析例1、下列各组线段能组成一个三角形的是( )A3cm，3cm，6cmB2cm，3cm，6cmC5cm，8cm，12cmD4cm，7cm，11cm【解析】根据三角形边的性质即：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知选 C例2、若三角形的两边长分别为3和5，则其周长l的取值范围是( )A6l15B6l16C11l13 D10l16【解析】根据三角形边的性质即：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于
9、第三边，可得第三边长度的取值范围是3-7,所以周长的最小值是3+3+5=11；最大值是3+5+7=15。故选D例3、三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（）A角平分线 B中位线 C高 D中线【解析】D例4、下列说法中，其中正确的有（）三条线段组成的图形叫做三角形；三角形的角平分线是射线；三角形的三条高所在的直线相交于一点，这一点不在三角形的内部，就在三角形的外部；三角形的三条中线相交于一点，且这点一定在三角形的内部 A4个 B3个 C2个 D1个【解析】D例5、如图，在ABC中，ADBC，AE平分BAC，若1=30，2=20，则B= 【解析】AE平分BAC，1=EAD+
10、2，EAD=12=3020=10，RtABD中，B=90BAD=903010=50例6、已知：如图，ABC中，AD、AE分别是ABC的高和角平分线，BF是ABC的平分线，BF与AE交于O，若ABC=40，C=60，求DAE、BOE的度数【解析】在ABC中，ABC=40，C=60BAC=180BC=80AE是的角平分线EAC=BAC=40AD是ABC的高ADC=90在ADC中，DAC=180ADCC=1809060=30 DAE=EACDAC=4030=10 BF是ABC的平分线，ABC=40FBC=ABC=20又C=60AFO=80AOF=1808040=60BOE=AOF=60 举一反三1、
11、若三角形三条边的长分别是7，10，x，求x的范围。【解析】根据三角形边的性质即：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得 3x172、已知：如图，P是ABC内一点请想一个办法说明ABACPBPC【解析】延长BP交AC于D在ABD中，ABADBDBPPD，在DPC中，DPDCPC，由、，AB(ADDC)DPBPPCDP即ABACPBPC3、如图所示，在ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且ABC的面积是4cm2，则阴影部分面积等于（）A2cm2 B1cm2 C0.25cm2 D0.5cm2【解析】如图，点F是CE的中点，BEF的底是EF，BEC的底是EC，即EF=E
12、C，高相等SBEF=SBEC同理得，SEBC=SABCSBEF=SABC，且SABC=4SBEF=1，即阴影部分的面积为1故选B4、已知ABC中，ACB=90，CD为AB边上的高，BE平分ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：CFE=CEF证明：ACB=901+3=90CDAB2+4=90又BE平分ABC1=23=44=53=5即CFE=CEF学霸说：（1）由三角形的中线找到等量关系进行代换，可以得到线段、面积之间的倍数关系。（2）根据解题需要，三角形的角平分线可以表示为相等关系、倍数关系和分数关系，应灵活运用。课堂闯关 初出茅庐1、如图，AD是ABC边BC的中线，E、F分别是AD、BE的
13、中点，若BFD的面积为6，则ABC的面积等于（）A18 B24 C48 D36【解析】C2、已知等腰三角形的周长为16，且一边长为3，则腰长为（）A3B10C6.5D3或6.5【解析】（1）当3是腰长时，底边为1632=10此时3+3=610，不能组成三角形（2）当3是底边时，腰长为（163）=6.5此时3，6.5，6.5三边能够组成三角形所以腰长为6.5故选C3、ABC中，已知A、B、C的度数之比是1：2：3，则ABC的形状是（）A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形【解析】B4、在ABC中，A=B=ACB，CD是ABC的高，CE是ACB的角平分线，求DCE的度数【解析】
14、A=B=ACBB=2A，ACB=3AA+B+ACB=180A+2A+3A=180，解得A=30ACB=90CD是ABC的高ACD=9030=60CE是ACB的角平分线ACE=90=45DCE=ACDACE=6045=155、在直角ABC中，ACB=90，B=30，CDAB于D，CE是ABC的角平分线（1）求DCE的度数（2）若CEF=135，求证：EFBC【解析】B=30，CDAB于DDCB=90B=60CE平分ACB，ACB=90ECB=ACB=45DCE=DCBECB=6045=15（2）CEF=135，ECB=ACB=45CEF+ECB=180EFBC 优学学霸1、已知：如图ABC中，点
15、D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BD=2DC，SBGD=8，SAGE=3，则ABC的面积是（）A25B30C35D40【解析】三角形BDG和CDG中，BD=2DC根据这两个三角形在BC边上的高相等那么SBDG=2SGDC，因此SGDC=4同理SAGE=SGEC=3，SBEC=SBGC+SGEC=8+4+3=15三角形ABC的面积=2SBEC=30，故选B2、ABC中，ADBC，AE平分BAC交BC于点E（1）B=30，C=70，求EAD的大小（2）若B C，则2EAD与CB是否相等？若相等，说明理由【解析】（1）B=30，C=70BAC=180BC=80AE
16、是角平分线，EAC=BAC=40AD是高，C=70DAC=90C=20EAD=EACDAC=4020=20；（2）由（1）知，EAD=EACDAC=BAC（90C）把BAC=180BC代入，整理得EAD=CB，2EAD=CB3、小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在RtABC中，A=90，BD平分ABC，M为直线AC上一点，MEBC，垂足为E，AME的平分线交直线AB于点F（1）M为边AC上一点，则BD、MF的位置是 请你进行证明（2）M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是 请你进行证明（3）M为边AC延长线上一点，猜想BD、MF的位置关系是 请你进行证明【解析】（1
17、）BDMF理由如下：A=90，MEBCABC+AME=360902=180BD平分ABC，MF平分AMEABD=ABC，AMF=AMEABD+AMF=（ABC+AME）=90又AFM+AMF=90ABD=AFMBDMF（2）BDMF理由如下：A=90，MEBCABC+C=AME+C=90ABC=AMEBD平分ABC，MF平分AMEABD=AMFABD+ADB=90AMF+ADB=90BDMF（3）BDMF理由如下：A=90，MEBCABC+ACB=AME+ACB=90ABC=AMEBD平分ABC，MF平分AMEABD=AMFAMF+F=90ABD+F=90BDMF考场直播1、【2015深圳市校
18、级期中】如图，已知在ABC中，两条角平分线BE和CD相交于点F，若BFC=116，求A的度数【解析】在BFC中，BFC=116根据三角形的内角和得，FBC+FCB=180BFC=180116=64BE，CD分别是ABC，ACB的角平分线ABC=2FBC，ACB=2FCBABC+ACB=2（FBC+FCB）=264=128在ABC中，A=180（ABC+ACB）=180128=522、【2016深圳校级期末】一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若3=50，则1+2=（）A90 B100 C130 D180【解析】如图，BAC=180901=901ABC=180603=1203ACB=180
19、602=1202在ABC中，BAC+ABC+ACB=180901+1203+1202=1801+2=15033=501+2=15050=100，故选：B套路揭密：（1）求角度中，角平分线能够为我们带来角的相等、倍数等关系，高线能够带来角互余的关系，然后在三角形中利用内角和定理，就可以很轻松求出角度。自我挑战1、在ABC中，AB=4，AC=7，则ABC的周长L的取值范围是 【解析】14L222、如图，在ABC中，ADC=110，AD、CD分别平分BAC，ACB，则ABC= 【解析】403、在ABC中，ABC=C，A=80，进行如下操作：以点B为圆心，以小于AB长为半径作弧，分别交BA、BC于点E
20、、F；分别以E、F为圆心，以大于EF长为半径作弧，两弧交于点M；作射线BM交AC于点D，则BDC的度数为（）A100 B65C75 D105【解析】A=80ABC=C=50由题意可得：BD平分ABC则ABD=CBD=25BDC的度数为：A+ABD=105，故选：D4、在下列条件中：A+B=C，A：B：C=1：2：3，A=90B，A=BC中，能确定ABC是直角三角形的条件有（）A1个 B2个 C3个 D4个【解析】D5、如图，O为ABC中ABC与ACB的平分线的交点，分别过点B、C作PBBO，PCCO，若A=70，求出P的度数【解析】ABC中A=70，ABC+ACB=18070=110，O为ABC中ABC与ACB的平分线的交点，OBC+OCB=（ABC+ACB）=110=55，O=18055=125，PBBO，PCCO，OBP=OCP=90，P=360OBPOCPO=3609090125=556、如图，已知ABC中，B=60，AD是BC边上的高，AE是BAC的平分线，且DAE=10，求C的度数解：ADBCADB=90B=60BAD=30DAE=10BAE=40AE平分BACBAE=CAE=40，BAC=80C=180BBAE=40思考乐优学产品中心初中组16
