1、第10讲 全等三角形（一） 温故知新 三角形的“三线”（一）三角形的“三线”（1）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。一个三角形有三条中线，并且交于一点，这点称为三角形的重心。 三角形的中线性质：中线平分一条边；无论三角形什么形状，它的重心都在三角形的内部；三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形。（2）三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三角线的角平分线交于三角形内部一点。（3）三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角
2、形的高线，简称三角形的高。三角形的三条高所在的直线交于一点。锐角三角形的高线交于三角形内部一点，直角三角形的高线交于三角形直角顶点，钝角三角形的高线交于三角形外部一点。智慧乐园 生活中你还遇见过这样的图形吗？请举例子知识要点一全等三角形（一）全等图形的定义（1）全等图形：能够完全重合的两个图形称为全等图形。即形状和大小两者都要完全一样，缺一不可。（2）全等图形特征：全等图形的形状和大小都相同；全等图形的周长相等，面积相等。（二）全等三角形的定义及性质（1）全等三角形：能够完全重合的两个三角形是全等三角形。全等用符号“”来表示，如图ABCDEF，其中互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对
3、应边，互相重合的角叫做对应角，在记两个三角形全等时，对应顶点的字母一定要写在对应的位置上。（2）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。全等三角形的对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形的周长相等、面积相等。（3）全等三角形的基本类型： 平移全等型 对称全等型旋转全等型 典例分析例1、下列说法正确的是（）A形状相同的两个三角形全等 B面积相等的两个三角形全等C完全重合的两个三角形全等 D所有的等边三角形全等【解析】C例2、如图，ABCCDA，并且AB=CD，那么下列结论错误的是（）A1=2 BAC=CA CD=B DAC=BC【解析】D例3、如图，如果
4、ABCDEF，DEF周长是32cm，DE=9cm，EF=13cm，则AC=_cm【解析】10例4、若ABCDEF，ABC的周长为100，AB=30，EF=25，则AC=（ ）A、55 B、45 C、30 D、25【解析】B例5、如图，ABCADE，且EAB120，B30，CAD10，CFD=_ 【解析】95学霸说：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。全等三角形的对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形的周长相等、面积相等。 举一反三1、如图，ABCADE，B=80，C=30，DAC=35，EAC的度数为（）A40 B35 C30 D25 【解析】C2、如图，若A
5、BCAEF，则对于结论：（1）AC=AF；（2）FAB=EAB；（3）EF=BC；（4）EAB=FAC其中正确的个数是（）A1个 B2个 C3个 D4个 【解析】C3、如图，在ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若ADBEDBEDC，则C的度数为（）A.15 B20 C25 D30【解析】D4、如图，若OADOBC，且0=65，BEA=135，求C的度数【解析】 OADOBCC=D，OBC=OAD0=65OBC=180-65-C=115-C在四边形AOBE中，O+OBC+BEA+OAD=36065+115-C+135+115-C=360解得C=355、如图，已知ABCDEF，A=30，B
6、=50，BF=2，求DFE的度数和EC的长【解析】A=30，B=50ACB=180-A-B=180-30-50=100ABCDEFDFE=ACB=100，EF=BCEF-CF=BC-CF，即EC=BFBF=2EC=2DFE=100，EC=26、如图，ABCDEF，A85，B60，AB8，EH2（1）求F的度数与DH的长；（2）求证：ABDE【解析】(1)ABCDEFF=ACB=180-A-B =180-85-60=35DE=AB=8EH=2DH=DE-EH=6(2)ABCDEFABC=EBFABDE知识要点二三角形全等的判定条件（一）（一）三角形全等的条件（1）三角形全等条件1：三条边分别相等
7、的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”。注意：在运用“SSS”判定三角形全等，必须同时满足三边对应相等，只有一边或两边对应相等是不能得到全等的。“SSS”判定全等只适用于三角形，不能适用其他图形。符号语言：已知ABC与DEF的三条边对应相等。在ABC与DEF中，ABCDEF（SAS）（2）三角形的稳定性：由“SSS”结论可知，三角形三条边的长度确定了，三角形的大小和形状也就确定了，这个性质叫做三角形的稳定性。（3）三角形全等条件2：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。注意：用“ASA”判定两个三角形全等时，一定要说明两个角及夹边对应相等 在书写两个三角形
8、全等的条件“ASA”时，一般把夹边相等写在中间的位置。符号语言：已知D=E，ADAE，BADCAE求证：ABDACE证明：在ABD和ACE中，D=EAD=AEBADCAEABDACE（ASA） 典例分析例1、如图所示，ABDC，ACDB，求证：12【解析】在ABC与DCB中，ABCDCB（SSS）ABCDCB，ACBDBC.ABCDBCDCBACB.即12例2、已知：如图所示，在四边形ABCD中，ABCB，ADCD，求证：CA.【解析】连接BD，在ABD和CBD中，ABDCBD（SSS）CA例3、如图，在ABC和BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F若AC=BD，AB=ED，BC=BE
9、，则ACB等于（）AEDBBBEDCAFBD2ABF【解析】解：在ABC和DEB中，ABCDEB （SSS），ACB=DBEACB+DBE+BFC=180AFB+BFC=180ACB+DBE=AFB，ACB=AFB，故选C例4、如图，点E、C、D、A在同一条直线上，ABDF，ED=AB，E=CPD求证：ABCDEF【解析】证明：ABDFB=CPD，A=FDEE=CPDE=B在ABC和DEF中，ABCDEF（ASA） 举一反三1、如图，AB=AC，B=C，点D为BC的中点，BDE=CDF，DE、DF分别与CA、BA的延长线交于点E、F，求证：（1）AE=AF；（2）EFBC【解析】（1）BDE=
10、CDFBDF=CDE在BDF和CDE中BDFCDE（ASA）CE=BFAB=ACAE=AF（2）AE=AFAEF=AFEBAC=EAFAEF=AFE=ABC=ACBEFBC2、在ABC中，ABC=45，F是高AD与高BE的交点，求证：ADCBDF【解析】（1）证明：ADBC，FDB=ADC=90ABC=45BAD=45=ABDAD=BDBEACAEF=FDB=90AFE=BFD由三角形内角和定理得：CAD=FBD在ADC和BDE中ADCBDE（ASA）3、如图，将BOD绕点O旋转180后得到AOC，再过点O任意画一条与AC，BD都相交的直线MN，交点分别为M和N试问：线段OMON成立吗？若成立
11、，请进行证明；若不成立，请说明理由【解析】OMON成立理由是：BOD绕点O旋转180后得到AOC，BODAOCAB，AOBO又AOMBON，AOMBON(ASA)OMON学霸说：（1）在运用“SSS”判定三角形全等，必须同时满足三边对应相等，只有一边或两边对应相等是不能得到全等的。“SSS”判定全等只适用于三角形，不能适用其他图形。（2）用“ASA”判定两个三角形全等时，一定要说明两个角及夹边对应相等 在书写两个三角形全等的条件“ASA”时，一般把夹边相等写在中间的位置。（3）平行线的定义可以作为判定两直线平行的依据 课堂闯关 初出茅庐1、如图，ABCDEF，ABC的周长为25cm，AB=6c
12、m，CA=8cm，则DE= ，DF= ，EF= 【解析】6cm；8cm；11cm2、如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E则四边形AECF的面积是 ADCBO【解析】 易证AEBAFD，可得到四边形AECF的面积=正方形的面积=163、如图所示，ABCD，OBOD，则由“ASA”可以直接判定_【解析】AOBCOD4、如图，ABCDCB，AC与BD相交于点E，若A=D=80，ABC=60，则BEC等于_.【解析】1005、如图，线段AD，BC相交于点O，若OA=OB，为了用“ASA”判定AOCB
13、OD，则应补充条件（）AA=B BC=D CAC=BDDOC=OD【解析】A6、如图所示，已知点E，C在线段BF上，BECF，ABDE，ACBF求证：ABCDEFCE B F D A 【解析】证明：ABDEBDEFBECFBCEF在ABC与DEF中BDEF，BCEF，ACBFABCDEF（ASA） 优学学霸1、如图，ABC中，ABC=45，D为BC上一点，CD=2BD，ADC=60AEBC于点E，CFAD于点F，AE、CF相交于点G求证：AFGCFD证明：连接BFCFADDFC=CFD=90ADC=60FCD=30CD=2DFCD=2BDBD=DFDBF=DFBADC=DFB+FBD=60DF
14、B=DBF=30ABC=45ABF=4530=15ABF+BAF=BFD=30FAB=15即BAF=ABFBF=AFFBC=FCB=30BF=CFAEBCAED=90ADC=60FAG=30=DCF在AFG和CFD中 AFGCFD（ASA）2、如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中BAE=BCE=ACD=90，且BC=CE，请问ABC与DEC全等吗？如果全等请说明理由【解析】结论：ABCDEC证明：如图2中，BAE=BCE=ACD=903=5，B+6=1806+7=180B=7在ABC与DEC中ABCDEC考场直播1、【2016春深圳市校级期末】如图，在等腰ABC中，AB=AC，点D、E分
15、别在边AB、AC上，BE与CD交于点O，且BO=CO，求证：（1）ABE=ACD；（2）DO=EO【解析】（1）AB=AC，ABC=ACB，OB=OC，OBC=OCB，ABCOBC=ACBOCB，即ABE=ACD；（2）在DOB和EOC中，DOBEOC，DO=EO2、【2013深圳校级期末】如图，ACBACB，BCB=40，则ACA的度数为（）A20 B30 C35 D40【解析】ACBACB，ACB=ACB，BCB=ACBACB，ACA=ACBACB，ACA=BCB=40故选D套路揭密：（1）熟知全等的判定方法，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构
16、造三角形自我挑战1、如图，ACBACB，BCB=30，则ACA的度数为（）A.20 B30 C35 D40【解析】B2、如图，ABCDEF，BE=4，AE=1，则DE的长是（ ）A.5 B.4 C.3 D.2【解析】B3、已知：如图，ABDCDB，若ABCD，则AB的对应边是 （ ）ADB BBCCCD DAD【解析】C二、填空题4、如图6，已知ABEDCE，AE2 cm，BE1.5 cm，A25，B48；那么DE_cm，EC_cm，C_；D_【解析】2 1.5 48 25 5、如图9所示，ABCDCB（1）若D74DBC38，则A_，ABC_（2）如果ACDB，请指出其他的对应边_ _ （3
17、）如果AOBDOC，请指出所有的对应边 ，对应角 6、如图所示，以B为中心，将RtEBC绕B点逆时针旋转90得到ABD，若E35，求ADB的度数【解析】RTEBC旋转得到RTABD,ADB=ECBE=35ADB=90-35=557、已知，如图在ABC中，ADBC于点D，BF平分ABC交AD于点E，且BED=C=64，求证：ABFCBF【解析】证明：ADBC，ADC=BDE=90，BED=C=64，DAC=9064=26，DBE=9064=26，BF平分ABC，ABC=2DBE=52，AB=CBF，BAC=180ABCC=1805264=64，C=BAF，在ABF和CBF中，ABFCBF（ASA）思考乐优学产品中心初中组14
