1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：六年级 课 时 数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师： 授课主题第23讲 分数百分数行程问题授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标1. 理解行程问题中的各种比例关系.2. 掌握寻找比例关系的方法来解行程问题授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂知识梳理 比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题
2、、分数百分数应用题也有广泛的应用。我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用来表示，大体可分为以下两种情况：1. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。，这里因为时间相同，即,所以由得到，甲乙在同一段时间t内的路程之比等于速度比2. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。，这里因为路程相同，即，由得，甲乙在同一段路程s上的时间之比等于速度比的反比。典例分析 考点一：比例初步利用简单倍比关系进行解题例1、
3、甲、乙两车从相距330千米的A、B两城相向而行，甲车先从A城出发，过一段时间后，乙车才从B城出发，并且甲车的速度是乙车速度的。当两车相遇时，甲车比乙车多行驶了30千米，则甲车开出 千米，乙车才出发。【解析】两车相遇时共行驶330千米，但是甲多行30千米，可以求出两车分别行驶的路程，可得甲车行驶180千米，乙车行驶150千米，由甲车速度是乙车速度的可以知道，当乙车行驶150千米的时候，甲车实际只行驶了千米，那么可以知道在乙车出发之前，甲车已经行驶了180-125=55千米。例2、上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家
4、后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？【解析】画一张简单的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-44（千米）.而爸爸骑的距离是 4 8 12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 1243（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8324（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了41216（千米）.少骑行24-168（千米）.摩托车的速度是88=1（千米/分），爸爸骑行16千米需要16分钟.881632.所以这时是8点32分。注意：小明第2个4千米，也就是从到的过程中，爸爸一共走12千米，这一点是本题
5、的关键对时间相同或距离相同，但运动速度、方式不同的两种状态，是一大类行程问题的关键本题的解答就巧妙地运用了这一点例3、从甲地到乙地全部是山路，其中上山路程是下山路程的。一辆汽车上山速度是下山速度的一半，从甲地到乙地共行7时。这辆汽车从乙地返回甲地需要多少时间？【解析】8时。 解：根据题意，上山与下山的路程比为23，速度比为，所用时间比为。因为从甲地到乙地共行7时，所以上山用4时，下山用3时。如下图所示，从乙地返回甲地时，因为下山的速度是上山的2倍，所以从乙到丙用326（时），从丙到甲用422（时），共用628（时）。例4、一辆小汽车与一辆大卡车在一段9千米长的狭路上相遇，必须倒车，才能继续通行
6、已知小汽车的速度是大卡车速度的3倍，两车倒车的速度是各自速度的，小汽车需倒车的路程是大卡车需倒车的路程的4倍如果小汽车的速度是每小时50千米，那么要通过这段狭路最少用多少小时?【解析】如果一辆车在倒车，另一辆的速度一定大于其倒军速度，即一车倒出狭路另一车也驶离狭路，倒车的车可立即通过小汽车倒车的路程为千米，大卡车倒车的路程为千米小汽车倒车的路程为千米小时，大卡车倒车的速度为千米/小时当小汽车倒车时，倒车需7.210=O.72小时，而行驶过狭路需950=0.18小时，共需小时；当大卡车倒车时，倒车需小时，而行驶过狭路需小时，共小时显然当小轿车倒车时所需时间最少，需0.9小时考点二：时间相同速度比
7、等于路程比例1、甲、乙分别从A，B两地同时相向出发。相遇时，甲、乙所行的路程比是ab。从相遇算起，甲到达B地与乙到达A地所用的时间比是多少？【解析】b2a2。解：因为甲、乙的速度比是ab，所以相遇后甲、乙还要行的路程比是ba，还要用的时间比是（ba）（ab）b2：a2。例2、甲、乙两人分别从两地同时出发，相向而行。出发时他们的速度之比是3：2，相遇后，甲的速度提高20%，乙的速度提高，这样当甲到达地时，乙离地还有41千米，那么两地相遇_千米。【解析】 相遇前 相遇后 如图！ 即 例3、甲、乙二人分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后继续行进，甲到达
8、 B 地和乙到达 A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点 30千米，则 A、 B 两地相距多少千米？【解析】两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路程比为 4 : 3第一次相遇时甲走了全程的4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了 3个全程，三个全程中甲走了个全程，与第一次相遇地点的距离为个全程所以 A、 B两地相距 (千米)考点三：路程相同速度比等于时间的反比例1、一列火车出发 1 小时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的前进，最终到达目的地晚1.5 小时若出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时，然后
9、同样以原速的前进，则到达目的地仅晚1 小时，那么整个路程为多少公里？【解析】出发 1 小时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的前进，最终到达目的地晚1.5 小时，所以后面以原速的前进的时间比原定时间多用小时，而速度为原来的，所用时间为原来的，所以后面的一段路程原定时间为小时，原定全程为 4 小时；出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时，然后同样以原速的前进，则到达目的地仅晚1 小时，所以后面以原速的前进的时间比原定时间多用小时所以后面的一段路程原定时间为小时， 类似分析可知又前进 90 公里后的那段路程需要：小时而原定全程为 4 小时，所以整个路程为 公里例 2、一辆汽车
10、按计划行驶了小时，剩下的路程用计划速度的继续行驶，到达目的地的时间比计划的时间迟了2时。如果按计划速度行驶的路程再增加 60千米，那么到达目的地的时间比计划时间只迟1时。问：计划速度是多少？全程有多远？【解析】40千米时；160千米。提示：按计划速度多行驶60千米可以少迟到1时，那么按计划速度多行驶120千米就可以按时到达，即行驶1时后还剩120千米。设计划速度为x千米/时，则有。P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1.甲乙两地相距12千米，上午10：45一位乘客乘出租车从甲地出发前往乙地，途中，乘客问司机距乙地还有多远，司机看了计程表后告诉乘客：已走路程的加上未
11、走路程的2倍，恰好等于已走的路程，又知出租车的速度是30千米/小时，那么现在的时间是 。【解析】可设已走路程为X千米，未走路程为（12-X）千米。列式为：X-X=(12-X)2 解得：X=9 分钟，现在时间是 2.欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里早晨 7 : 40 ，欢欢从家出发骑车去学校， 7 : 46 追上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知，欢欢立即调头，并将速度提高到原来的 2倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢 8 : 00赶到学校时，贝贝也恰好到学校如果欢欢在家换校服用去 6分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里出发时是几点几分【解析】欢欢从出发到追上贝贝用了
12、 6分钟，她调头后速度提高到原来的 2倍，根据路程一定，时间比等于速度的反比，她回到家所用的时间为 3 分钟，换衣服用时 6 分钟，所以她再从家里出发到到达学校用了 20- 6-3- 6 =5分钟，故她以原速度到达学校需要 10 分钟，最开始她追上贝贝用了 6分钟，还剩下 4 分钟的路程，而这 4 分钟的路程贝贝走了 14 分钟，所以欢欢的 6 分钟路程贝贝要走 14 （6 4）= 21分钟，也就是说欢欢追上贝贝时贝贝已走了 21 分钟，所以贝贝是 7 点 25 分出发的3.甲、乙两车同时从 A地出发，不停地往返行驶于 A、B 两地之间已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都
13、在途中 C 地甲车的速度是乙车速度的多少倍？【解析】第一次相遇时两车合走了两个全程，而乙车走了 AC 这一段路；第二次相遇两车又合走了两个全程，而乙车走了从 C 地到 B 地再到 C 地，也就是 2 个 BC 段由于两次的总行程相等，所以每次乙车走的路程也相等，所以 AC 的长等于 2 倍 BC 的长而从第一次相遇到第二次相遇之间，甲车走了 2 个 AC 段，根据时间一定，速度比等于路程的比，甲车、乙车的速度比为 2 AC : 2 BC =2 :1 ，所以甲车的速度是乙车速度的 2 倍4.一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是123，某人走这三段路所用的时间之比是456。已知他
14、上坡时每小时行2.5千米，路程全长为20千米。此人走完全程需多长时间？【解析】20.5时。提示：先求出上坡的路程和所用时间。5.一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是235，某人骑车走这三段路所用的时间之比是654。已知他走平路时速度为4.5千米时，全程用了5时。问：全程多少千米？【解析】 21.25千米。提示：先求出走平路所用的时间和路程。6.甲、乙二人分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后继续行进，甲到达 B 地和乙到达 A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点 30千米，则 A、 B 两地相距多少千米
15、？【解析】两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路程比为 4 : 3第一次相遇时甲走了全程的4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了 3个全程，三个全程中甲走了个全程，与第一次相遇地点的距离为个全程所以 A、 B两地相距 (千米)【答案】 千米7.甲、乙两车分别从 A、B 两地出发，在 A、B 之间不断往返行驶，已知甲车的速度是乙车的速度的，并且甲、乙两车第 2007 次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第 2008 次相遇的地点恰好相距 120 千米，那么，A、B 两地之间的距离等于多少 千米？ 【解析】甲、乙速度之比是 3：7，所以我们可以设整个
16、路程为 3+7=10 份，这样一个全程中甲走 3 份，第 2007 次相遇时甲总共走了 3（20072-1）=12039 份，第 2008 次相遇时甲总共走了 3（20082-1）=12045 份，所以总长为 12012045-12040-（12040-12039）10=300 米. 【答案】300 米8.小明和小光同时从解放军营地回校执行任务，小光步行速度是小明的倍，营地有一辆摩托车，只能搭乘一人，它的速度是小明步行速度的16倍。为了使小光和小明在最短时间内到达，小明和小光需要步行的距离之比是多少？【解析】1115。解：设开始时小光乘车，小明步行；车行至B点，小光下车步行，车调头去接小明；车
17、到A点接上小明后调头，最后小明、小光同时到达学校（见下图）。由题中条件，车速是小明速度的16倍，是小光速度的12倍。设从营地到A点的距离为a。当车接到小明时，小明走了a，车行了16a，因为车开到B后又返回到A，所以A到B的距离为7.5a。车放下小光后，直到又追上小光，比小光多行15a。由于车速是小光的倍，所以小光走的距离是车追上距离的，即。小明和小光步行的距离之比是 课后反击1.明明每天早上7：00从家出发上学，7：30到校。有一天，明明6：50就从家出发，他想：“我今天出门早，可以走慢点。”于是他每分钟比平常少走lO米，结果他到校时比往常迟到了5分钟。明明家离学校_米。【解析】平时明明用30
18、分钟，今天用了45分钟，时间比为2:3,则速度比为3:2，那么可知平时速度为30米/分钟，所以明明家离学校900米。【答案】900米2. 小红从家步行去学校如果每分钟走120米，那么将比预定时间早到5分钟：如果每分钟走90米，则比预定时间迟到3分钟，那么小红家离学校有多远？【解析】两次的速度比为，路程不变，所有时间比应该是，两次所有时间相差分钟，所以应该分别用了分钟和分钟，米 3.在一圆形跑道上，甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行，6 分后两人相遇，再过4 分甲到达 B 点，又过 8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？【解析】由题意知，甲行 4 分相当于乙行 6 分.（抓住走
19、同一段路程时间或速度的比例关系） 从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行 12 分，而乙行 12 分相当于甲行 8 分，所以甲环行一周需 12820（分），乙需 204630（分）.4.一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高 20%可以提前1小时到达如果按原速行驶一段距离后，再将速度提高 30% ，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？【解析】车速提高 20%，即为原速度的6/5，那么所用时间为原来的5/6，所以原定时间为小时；如果按原速行驶一段距离后再提速 30% ，此时速度为原速度的13/10，所用时间为原来的10/13，所以按原速度后面这段路程需要的时间为小时所以前
20、面按原速度行使的时间为小时，根据速度一定，路程比等于时间之比，按原速行驶了全部路程的5.一辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高20，那么可以比原定时间提前1时到达；如果以原速行驶100千米后再将车速提高30，那么也比原定时间提前1时到达。求甲、乙两地的距离。【解析】360千米。解：时间与速度成反比，车速提高，所用时间为原来的，原来需要（时）。同理，车速提高了，所用时间是原来的。因为提前小时到达，所以车速提高后的这段路原来用（时）。甲、乙两地相距（千米）6.B地在A，C两地之间。甲从B地到A地去，甲出发后1时乙从B地出发到C地，乙出发后1时丙突然想起要通知甲、乙一件重要事情，于是从B地出发骑车去追
21、赶甲和乙。已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，为使丙从B地出发到最终赶回B地所用时间最少，丙应当先追甲再返回追乙，还是先追乙再返回追甲？【解析】先追乙。若先追甲，甲已走了2时，则追上甲需1时，返回B地又用1时，此时乙已走了3时，再追上乙需1.5时，返回B地再用1.5时。共用5时。若先追乙，乙已走了1时，则追上乙需0.5时，返回B地又用 0.5时，此时甲已走了3时，再追上甲需1.5时，返回B地再用1.5时。共用4时。7.大、小客车从甲、乙两地同时相向开出，大、小客车的速度比为45，两车开出后60分相遇，并继续前进。问：大客车比小客车晚多少分到达目的地？【解析】27分。大客车还需分，
22、小客车还需分。大客车比小客车晚到分。S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾 几个基本量之间的运算关系1、基本关系：路程速度*时间；2、相遇问题（相向而行）：相遇时两种运动物体的行程和等于总路程(相遇时间相等)；关系式： 甲走的路程+乙走的路程=总路程； 3、追击问题：同时不同地：前者走的路程+两者间距离=追者走的路程，同地不同时：前者所用时间-多用时间=追这所用时间；追及路程速度差=追及时间 追及路程追及时间=速度差 速度差追及时间=追及路程追及路程速度差=追及时间 追及路程追及时间=速度差 速度差追及时间=追及路程4、环形跑道同向追及：前者走的路程-后者走的路程=环形周长；反
23、向相遇：甲走的路程+乙走的路程=环形周长。名师点拨 解题方法:1，审题：看题目有几个人或物参与； 看题目时间：“再过多长时间” 就是从此时开始计时，“多长时间 后”就是从开始计时 看地点是指是同地还是两地甚至更多。 看方向是同向、背向还是相向 看事件指的是结果是相遇还是追及 相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断。 追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差。比如“用10秒钟快比慢多跑100米”我们立刻知道快慢的速度差。这个是追击问题经常用到的，同过路程差求速度差 。 2，简单题利用公式 3，复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来。相遇问题就找路程和，追击问题就找路程差 学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是
