1、第20讲特殊的平行四边形(参考用时:60分钟)A层(基础)1.(2019巴中)下列命题是真命题的是(C)(A)对角线相等的四边形是矩形(B)对角线互相垂直的四边形是矩形(C)对角线互相垂直的矩形是正方形(D)四边相等的平行四边形是正方形解析:对角线相等的平行四边形是矩形,A,B选项错误;四边相等的矩形是正方形,D选项错误.故选C.2.(2019天津)如图,四边形ABCD为菱形,A,B两点的坐标分别是(2,0),(0,1),点C,D在坐标轴上,则菱形ABCD的周长等于(C)(A)5(B)43(C)45(D)20解析:A,B两点的坐标分别是(2,0),(0,1),AB=22+12=5,菱形ABCD
2、的周长为45.故选C.3.如图,点O是矩形ABCD的对角线AC的中点,OMAB交AD于点M,若OM=3,BC=10,则OB的长为(D)(A)5(B)4(C)342(D)34解析:四边形ABCD是矩形,D=90,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,OMAB,OM是ADC的中位线,OM=3,DC=6,AD=BC=10,在RtADC中,AC=AD2+CD2=234,BO=12AC=34,故选D.4.(2019兰州)如图,边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,将正方形ABCD沿直线DF折叠,点C落在对角线BD上的点E处,折痕DF交AC于点M,则OM等于(D)(A)12 (B)22(C)3
3、-1(D)2-1解析:四边形ABCD是正方形,AB=AD=BC=CD=2,DCB=COD=BOC=90,OD=OC,BD=2AB=2,OD=BO=OC=1,将正方形ABCD沿直线DF折叠,点C落在对角线BD上的点E处,DE=DC=2,DFCE,OE=2-1,EDF+FED=ECO+OEC=90,ODM=ECO,在OEC与OMD中,EOC=MOD=90,OC=OD,OCE=ODM,OECOMD(A.S.A.),OM=OE=2-1,故选D.5.如图,点E,F,G,H分别是四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点.则下列说法其中正确的个数是(A)若AC=BD,则四边形EFGH为矩形;若ACBD,
4、则四边形EFGH为菱形;若四边形EFGH是平行四边形,则AC与BD互相平分;若四边形EFGH是正方形,则AC与BD互相垂直且相等.(A)1(B)2(C)3(D)4解析:点E,F,G,H分别是四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点,EH=12BD=FG,EHBDFG,四边形EFGH是平行四边形,由AC=BD可得EH=EF,四边形EFGH为菱形,错误;由ACBD,可得EHEF,四边形EFGH为矩形,错误;由四边形EFGH是平行四边形,无法得到AC与BD互相平分,错误;由四边形EFGH是正方形,可得到AC与BD互相垂直且相等,正确.故选A.6.如图,在矩形ABCD中,AB=3,对角线AC,BD
5、相交于点O,AE垂直平分OB于点E,则AD的长为33.解析:四边形ABCD是矩形,OB=OD,OA=OC,AC=BD,BAD=90,OA=OB.AE垂直平分OB,AB=AO,OB=OA=AB=3,BD=2OB=6,AD=BD2-AB2=62-32=33.7.(2019广西)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点A作AHBC于点H,已知BO=4,S菱形ABCD=24,则AH=245.解析:四边形ABCD是菱形,DO=BO=4,AO=CO,ACBD,BD=8,S菱形ABCD=12ACBD=24,AC=6,OC=12AC=3,在RtBOC中,根据勾股定理,得BC=OB2+OC2=5,
6、S菱形ABCD=BCAH=5AH=24,AH=245.8.如图,四边形ACDF是正方形,CEA和ABF都是直角且点E,A,B三点共线,AB=4,则阴影部分的面积是8.解析:ACEFAB(A.A.S.),CE=AB=4,SABC=1244=8.9.在矩形ABCD中,AD=5,AB=4,点E,F在直线AD上,且四边形BCFE为菱形,若线段EF的中点为点M,则线段AM的长为5.5或0.5.解析:分两种情况:如图1所示:四边形ABCD是矩形,CD=AB=4,BC=AD=5,CDF=90,四边形BCFE为菱形,CF=EF=BE=BC=5.DF=CF2-CD2=52-42=3,AF=AD+DF=8,M是E
7、F的中点,MF=12EF=2.5,AM=AF-MF=8-2.5=5.5;如图2所示:同得AE=3,EF=5,M是EF的中点,ME=2.5,AM=AE-ME=3-2.5=0.5.综上所述,线段AM的长为5.5或0.5.10.(2019长沙)如图,正方形ABCD,点E,F分别在AD,CD上,且DE=CF,AF与BE相交于点G.(1)求证:BE=AF;(2)若AB=4,DE=1,求AG的长.(1)证明:四边形ABCD是正方形,BAE=ADF=90,AB=AD=CD,DE=CF,AE=DF,在BAE和ADF中,AB=DA,BAE=ADF,AE=DF,BAEADF(S.A.S.),BE=AF.(2)解:
8、由(1)得,BAEADF,EBA=FAD,GAE+AEG=90,AGE=90,AB=4,DE=1,AE=3,BE=AB2+AE2=42+32=5,在RtABE中,12ABAE=12BEAG,AG=435=125.11.(2019宁波)如图,矩形EFGH的顶点E,G分别在菱形ABCD的边AD,BC上,顶点F,H在菱形ABCD的对角线BD上.(1)求证:BG=DE;(2)若E为AD中点,FH=2,求菱形ABCD的周长.(1)证明:四边形EFGH是矩形,EH=FG,EHFG,GFH=EHF,BFG=180-GFH,DHE=180-EHF,BFG=DHE,四边形ABCD是菱形,ADBC,GBF=EDH
9、,BGFDEH(A.A.S.),BG=DE.(2)解:连结EG,如图所示.四边形ABCD是菱形,AD=BC,ADBC,E为AD中点,AE=ED,BG=DE,AE=BG,又AEBG,四边形ABGE是平行四边形,AB=EG,四边形EFGH是矩形,EG=FH=2,AB=2,菱形ABCD的周长为8.12.已知:如图,在菱形ABCD中,点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,连结CE,CF,OE,OF.(1)求证:BCEDCF;(2)当AB与BC满足什么关系时,四边形AEOF是正方形?请说明理由.(1)证明:四边形ABCD是菱形,B=D,AB=BC=DC=AD.点E,F分别为AB,AD的中点,BE=1
10、2AB,DF=12AD,BE=DF.在BCE和DCF中,BE=DF,B=D,BC=DC,BCEDCF(S.A.S.).(2)解:当ABBC时,四边形AEOF是正方形,理由如下:四边形ABCD是菱形,AB=BC=DC=AD,E,O,F分别是AB,AC,AD的中点,AE=12AB,OE=12BC,OF=12DC,AF=12AD,AE=OE=OF=AF,四边形AEOF是菱形.ABBC,OEBC,OEAB,AEO=90,四边形AEOF是正方形.B层(能力)13.(2019眉山)如图,在菱形ABCD中,已知AB=4,ABC=60,EAF=60,点E在CB的延长线上,点F在DC的延长线上,有下列结论:BE
11、=CF;EAB=CEF;ABEEFC;若BAE=15,则点F到BC的距离为 23-2.则其中正确结论的个数是(B)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:四边形ABCD是菱形,AB=BC,ACB=ACD,ABC=60,ABC是等边三角形,BAC=ACB=60,AB=AC,ACD=ACB=60,ABE=ACF,EAF=60,EAF=BAC,BAE=CAF,在BAE和CAF中,BAE=CAF,AB=AC,ABE=ACF,BAECAF(A.S.A.),AE=AF,BE=CF,故正确;EAF=60,AEF是等边三角形,AEF=60,AEB+CEF=AEB+EAB=60,EAB=CEF,故正确;ACD=A
12、CB=60,ECF=60,AEB60,ABE和EFC不会相似,故错误;过点A作AGBC于点G,过点F作FHEC于点H,EAB=15,ABC=60,AEB=45,在RtAGB中,ABC=60,AB=4,BG=2,AG=23,在RtAEG中,AEG=EAG=45,GE=AG=23,EB=EG-BG=23-2,AEBAFC,CF=EB=23-2,在RtCHF中,CFH=90-FCE=30,CF=23-2,CH=12CF=3-1,FH=3CH=3(3-1)=3-3,点F到BC的距离为3-3,故错误.综上,正确结论的个数是2.故选B.14.(2019攀枝花)如图,在正方形ABCD中,E是BC边上的一点,
13、BE=4,EC=8,将正方形边AB沿AE折叠到AF,延长EF交DC于G,连结AG,现在有如下4个结论:EAG=45;FG=FC;FCAG;SGFC=14.其中正确结论的个数是(B)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:如图,连结DF.四边形ABCD是正方形,AB=AD=BC=CD,ABE=BAD=ADG=ECG=90,由翻折可知AB=AF,ABE=AFE=AFG=90,EF=BE=4,BAE=EAF,AFG=ADG=90,AG=AG,AD=AF,RtAGDRtAGF(H.L.),DG=FG,GAF=GAD,EAG=EAF+GAF=12(BAF+DAF)=45,故正确;设GD=GF=x,在RtE
14、CG中,EG2=EC2+CG2,CD=BC=BE+EC=12,(4+x)2=82+(12-x)2,x=6,DG=CG=6,FG=GC,又FGC60,FGC不是等边三角形,显然FGFC,故错误;GF=GD=GC,DFC=90,CFDF,AD=AF,GD=GF,AGDF,CFAG,故正确;SECG=1268=24,FGFE=64=32,FGEG=35,SGFC=3524=725,故错误.故选B.15.已知:如图,在ABC中,AB=AC,ADBC,垂足为点D,AN是ABC外角CAM的平分线,CEAN,垂足为点E,连结DE交AC于点F.(1)求证:四边形ADCE为矩形;(2)当ABC满足什么条件时,四
15、边形ADCE是一个正方形?并给出证明;(3)在(2)的条件下,若AB=AC=22,求正方形ADCE的周长.(1)证明:AB=AC,ADBC,CAD=12BAC.AN是ABC外角CAM的平分线,CAE=12CAM.BAC与CAM是邻补角,BAC+CAM=180,CAD+CAE=12(BAC+CAM)=90.ADBC,CEAN,ADC=CEA=90,四边形ADCE为矩形.(2)解:BAC=90时,四边形ADCE是一个正方形,证明:BAC=90且AB=AC,ADBC,CAD=12BAC=45,ADC=90,ACD=CAD=45,AD=CD.四边形ADCE为矩形,四边形ADCE为正方形.(3)解:由勾
16、股定理得AC=AD2+CD2,AD=CD,即2AD=22,AD=2,正方形ADCE的周长为4AD=42=8.16.(2019泰安)在矩形ABCD中,AEBD于点E,点P是边AD上一点.(1)若BP平分ABD,交AE于点G,PFBD于点F,如图,证明四边形AGFP是菱形;(2)若PEEC,如图,求证:AEAB=DEAP;(3)在(2)的条件下,若AB=1,BC=2,求AP的长.(1)证明:四边形ABCD是矩形,BAD=90,BAE+EAD=90,AEBD,AED=90,EAD+ADE=90,BAE=ADE,AGP=BAG+ABG,APG=ADE+PBD,ABG=PBD,AGP=APG,AP=AG,PAAB,PFBD,BP平分ABD,PA=PF,PF=AG,AEBD,PFBD,PFAG,四边形AGFP是平行四边形,PA=PF,四边形AGFP是菱形.(2)证明:AEBD,PEEC,AED=PEC=90,AEP=DEC,EAD+ADE=90,ADE+CDE=90,EAP=EDC,AEPDEC,AEDE=APDC,AB=CD,AEAB=DEAP.(3)解:AB=1,BC=2,tanADB=AEDE=ABAD=12,由(2)知,APCD=AEDE=12,AP=12CD=12.
