1、第7讲分式方程(参考用时:50分钟)A层(基础)1.(2019成都)分式方程x-5x-1+2x=1的解为(A)(A)x=-1(B)x=1(C)x=2(D)x=-2解析:方程两边同时乘以x(x-1),得x(x-5)+2(x-1)=x(x-1),解得x=-1,检验:当x=-1时,x(x-1)0,x=-1是原方程的解.故选A.2.(2019十堰)十堰即将跨入高铁时代,钢轨铺设任务也将完成.现还有6 000米的钢轨需要铺设,为确保年底通车,如果实际施工时每天比原计划多铺设20米,就能提前15天完成任务.设原计划每天铺设钢轨x米,则根据题意所列的方程是(A)(A)6 000x-6 000x+20=15(
2、B)6 000x+20-6 000x=15(C)6 000x-6 000x-15=20(D)6 000x-15-6 000x=20解析:原计划每天铺设钢轨x米,则实际施工时每天铺设钢轨(x+20)米,根据等量关系:计划时间-实际时间=15天,可得方程6 000x-6 000x+20=15.故选A.3.关于x的分式方程2x+3x-a=0的解为x=4,则常数a的值为(D)(A)1 (B)2 (C)4 (D)10解析:把x=4代入分式方程2x+3x-a=0,得24+34-a=0,解得a=10,经检验,a=10是分式方程24+34-a=0的解.故选D.4.对于非零的两个实数a,b,规定ab=1b-1a
3、,若1(x+1)=1,则x的值为(D)(A)32 (B)12 (C)-32 (D)-12解析:1x+1-1=1,x=-12,经检验x=-12是原方程的根.故选D.5.(2019内江三模)若分式方程2xx+1-m+1x2+x=x+1x有增根,则m的值是(D)(A)-1或1(B)-1或2(C)1或2 (D)1或-2解析:方程两边都乘x(x+1),得2x2-(m+1)=(x+1)2,当最简公分母x(x+1)=0时,分式方程有增根,x=0或x=-1.当x=0时,0-(m+1)=1,解得m=-2;当x=-1时,2-(m+1)=0,解得m=1.故选D.6.(2019安顺)某生态示范园计划种植一批蜂糖李,原
4、计划总产量达36万千克,为了满足市场需求,现决定改良蜂糖李品种,改良后平均亩产量是原计划的1.5倍,总产量比原计划增加了9万千克,种植亩数减少了20亩,则原计划和改良后平均亩产量各多少万千克?设原计划平均亩产量为x万千克,则改良后平均亩产量为1.5x万千克,根据题意列方程为36x-36+91.5x=20.解析:原计划平均亩产量为x万千克,改良后平均亩产量为1.5x万千克,根据原计划种植亩数-改良后种植亩数=20亩,列出方程得36x-36+91.5x=20.7.(2019凉山)方程2x-1x-1+21-x2=1的解是x=-2.解析:2x-1x-1-2(x+1)(x-1)=1,去分母,得(2x-1
5、)(x+1)-2=(x+1)(x-1),去括号,得2x2+x-3=x2-1,移项并整理,得x2+x-2=0,(x+2)(x-1)=0,解得x=-2或x=1.经检验,x=1是原方程的增根,x=-2是原方程的解.8.(2019宿迁)关于x的分式方程1x-2+a-22-x=1的解为正数,则a的取值范围是a0,且5-a2,解得a5且a3.9.(2019绵阳)一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h,它以最大航速沿江顺流航行120 km所用时间,与以最大航速逆流航行60 km所用时间相同,则江水的流速为10km/h.解析:设江水的流速为x km/h,根据题意可得12030+x=6030-x,解得x=
6、10,经检验,x=10是原方程的根,江水的流速为10 km/h.10.解方程:(1)(2019自贡)xx-1-2x=1;(2)(2019广安)xx-2-1=4x2-4x+4.解:(1)方程两边同乘以x(x-1),得x2-2x+2=x2-x,解得x=2,检验:当x=2时,x(x-1)0,x=2是原方程的解.(2)方程两边同乘以(x-2)2,得x(x-2)-(x-2)2=4,解得x=4.检验:当x=4时,(x-2)20.x=4是原方程的解.11.某高速公路正在加速建设,预计明年8月竣工.届时,如果汽车行驶在高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高80%,那么行驶81千米的高速公路比行驶同等
7、长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟,求该汽车在高速公路上的平均速度.解:设汽车行驶在普通公路上的平均速度是x千米/时,则汽车行驶在高速公路上的平均速度是 1.8x千米/时,由题意,得811.8x+3660=81x.解得x=60.经检验,x=60是所列方程的根,且符合题意.1.860=108(千米/时).答:汽车行驶在高速公路上的平均速度是108千米/时.12.(2018桂林)某校利用暑假进行田径场地的改造维修,项目承包单位派遣一号施工队施工,计划用40天时间完成整个工程.当一号施工队工作5天后,承包单位接到通知,有一大型活动要在该校田径场举行,要求比原计划提前14天完成整个工程,于是承包单
8、位派遣二号施工队与一号施工队共同完成剩余工程,结果按通知要求如期完成整个工程.(1)若由二号施工队单独施工,完成整个工程需要多少天?(2)若此项工程由一号、二号施工队同时进场施工,完成整个工程需要多少天?解:(1)设二号施工队单独施工,完成整个工程需要x天.根据题意,得540+(40-5-14)(140+1x)=1(或40-1440+40-5-14x=1).解得x=60.检验:当x=60时,40x0.原分式方程的解为x=60.答:二号施工队单独施工,完成整个工程需要60天.(2)1(140+160)=24(天).答:此项工程由一号、二号施工队同时进场施工,完成整个工程需要24天.B层(能力)1
9、3.(2019重庆A卷)若关于x的一元一次不等式组x-14(4a-2)12,3x-12x+2的解集是xa,且关于y的分式方程2y-ay-1-y-41-y=1有非负整数解,则符合条件的所有整数a的和为(B)(A)0(B)1(C)4(D)6解析:解不等式组x-14(4a-2)12,3x-12x+2,得xa,x5,不等式组的解集是xa,a5.解关于y的分式方程2y-ay-1-y-41-y=1得y=3+a2,分式方程有非负整数解,3+a20,且3+a21,3+a2为整数,a-3且a-1,a为奇数.a=-3,1,3.-3+1+3=1,它们的和为1.故选B.14.若关于x的方程1x-4+mx+4=m+3x
10、2-16无解,则m的值为-1或5或-13.解析:将分式方程化为整式方程,得x+4+m(x-4)=m+3.整理,得(m+1)x=5m-1.当原分式方程无解时,则x2-16=0,解得x=4.当x=4时,4(m+1)=5m-1,解得m=5;当x=-4时,-4(m+1)=5m-1,解得m=-13.当整式方程无解时,m+1=0,解得m=-1.综合上述,m的值为-1或5或-13.15.(2019青岛)甲、乙两人加工同一种零件,甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍,两人各加工600个这种零件,甲比乙少用5天.(1)求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件?(2)已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是
11、150元和120元,现有3 000个这种零件的加工任务,甲单独加工一段时间后另有安排,剩余任务由乙单独完成.如果总加工费不超过7 800元,那么甲至少加工了多少天?解:(1)设乙每天加工x个零件,则甲每天加工 1.5x 个零件,由题意得600x=6001.5x+5,解得x=40,经检验,x=40是分式方程的解且符合实际.1.5x=60,答:甲每天加工60个零件,乙每天加工40个零件.(2)设甲加工了m天,则乙加工了3 000-60m40天,则由题意,得150m+1203 000-60m407 800,解得m40,答:甲至少加工了40天.16.某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学,在市场
12、上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元,且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同.(1)求这种笔和本子的单价;(2)该同学打算用自己的100元压岁钱购买这种笔和本子,计划100元刚好用完,并且笔和本子都买,请列出所有购买方案.解:(1)设这种笔单价为x元,则本子单价为(x-4)元,由题意得30x-4=50x,解得x=10,经检验,x=10是原分式方程的解,则x-4=6.答:这种笔单价为10元,本子单价为6元.(2)设恰好用完100元,可购买这种笔m支,本子 n本,由题意得10m+6n=100,整理得m=10-35n,m,n都是正整数,n=5时,m=7;n=10时,m=4;n=15时,m=1.有三种方案:购买这种笔7支,本子5本;购买这种笔4支,本子10本;购买这种笔1支,本子15本.
