1、2018-2019学年山东省济南市槐荫区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4分）下列成语描述的事件为随机事件的是（）A水涨船高B守株待兔C水中捞月D缘木求鱼2（4分）下列说法正确的是（）A3是9的平方根B1的立方根是1Ca是a2的算术平方根D4的负的平方根是23（4分）下列从左到右的变形属于因式分解的是（）A2a（a+1）2a2+2aBa26a+9a（a6）+9Ca2+3a+2（a+1）（a+2）Da21a（a）4（4分）如图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转90后能与原来的图案重合的是（）AB
2、CD5（4分）分式，的最简公分母为（）A2xy2B5xyC10xy2D10x2y26（4分）下列二次根式中，最简二次根式是（）ABCD7（4分）某次数学趣味竞赛共有10道题目，每道题答对得10分，答错或不答得0分人数25131073成绩（分）5060708090100全班40名同学的成绩的中位数和众数分别是（）A75，70B70，70C80，80D75，808（4分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是4，9，1，4，则最大正方形E的面积是（）A18B114C194D3249（4分）如图，在ABC中，C90，BAC7
3、0，将ABC绕点A顺时针旋转70，B、C旋转后的对应点分别是B和C，连接BB，则BBC的度数是（）A35B40C45D5010（4分）如图所示，在等边ABC中，点D是边AC上一点，连接BD，将BCD绕着点B逆时针旋转60，得到BAE，连接ED，则下列结论中：AEBC；DEB60；ADEBDC；AEDABD，其中正确结论的序号是（）ABCD11（4分）将一组数，2，2，2，按下列方式进行排列：，2，2，2，4，3，2若的位置记为（1，3），2的位置记为（2，1），则这个数的位置记为（）A（5，4）B（4，4）C（4，5）D（3，5）12（4分）如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，
4、使MBN30若AMm，MNx，CNn，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D随x，m，n的值而定二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分把答案填在答题卡的横线上）13（4分）计算：（）3 14（4分）将多项式x22在实数范围内分解因式的结果为 15（4分）如图，已知175，将直线m平行移动到直线n的位置，则23 16（4分）如图，由6个小正方形组成的23网格中，任意选取5个小正方形并涂黑，则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是 17（4分）已知a，b是两个连续整数，且a1b，则ab 18（4分）把两块同样大小的含45角的三角尺按如图所示的方式放置
5、，其中一块三角尺的锐角顶点与另一块的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B、C、D在同一直线上，若AB3，则CD 三、解答题（本大题共9个小题，共78分解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤-）19（6分）计算：（1）+（2）0；（2）320（6分）解分式方程：221（6分）分解因式：（a2+1）24a222（8分）由甲、乙两个工程队承包某校校园的绿化工程，甲、乙两队单独完成这项工作所需的时间比是3：2，两队共同施工6天可以完成（1）求两队单独完成此项工程各需多少天？（2）此项工程由甲、乙两队共同施工6天完成任务后，学校付给他们4000元报酬，若按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各应得
6、到多少元？23（8分）如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上（1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；（2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；（3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形24（10分）某校开设了“3D”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制例图1、图2两幅均不完整的统计图表校本课程频数频率A360.45B0.25C16bD8合计a1请您根据
7、图表中提供的信息回答下列问题：（1）统计表中的a ，b ；（2）“D”对应扇形的圆心角为 度；（3）根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数；（4）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“A”、“B”、“C”三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率25（10分）如图，点O是等边三角形ABC内的一点，BOC150，将BOC绕点C按顺时针旋转得到ADC，连接OD，OA（）求ODC的度数；（）若OB2，OC3，求AO的长26（12分）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，
8、如x22xy+y216，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解过程如下：x22xy+y216（xy）2一16（xy+4）（xy4）这种分解因式的方法叫分组分解法利用这种分组的思想方法解决下列问题：（1）9a2+4b225m2n2+12ab+10mn；（2）已知a、b、c分别是ABC三边的长且2a2+b2+c22a（b+c）0，请判断ABC的形状，并说明理由27（12分）（1）（操作发现）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上请按要求画图：将ABC绕点A按顺时针方向旋转90，点B的对应点为
9、B，点C的对应点为C，连接BB，则ABB （2）（问题解决）如图2，在等边三角形ABC内有一点P，且PA2，PB，PC1，求BPC的度数和等边三角形ABC的边长；（3）（灵活运用）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA，BP，PC1，求BPC的度数2018-2019学年山东省济南市槐荫区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4分）下列成语描述的事件为随机事件的是（）A水涨船高B守株待兔C水中捞月D缘木求鱼【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可【解答】解：水涨
10、船高是必然事件，A不正确；守株待兔是随机事件，B正确；水中捞月是不可能事件，C不正确缘木求鱼是不可能事件，D不正确；故选：B【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件2（4分）下列说法正确的是（）A3是9的平方根B1的立方根是1Ca是a2的算术平方根D4的负的平方根是2【分析】利用算术平方根及平方根、立方根的定义判断即可【解答】解：A9没有平方根，此选项错误；B1的立方根是1，此选项错误；C|a|是a2的算术平方根，此选项错误；D4的负的
11、平方根是2，此选项正确；故选：D【点评】此题考查了算术平方根，以及平方根与立方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键3（4分）下列从左到右的变形属于因式分解的是（）A2a（a+1）2a2+2aBa26a+9a（a6）+9Ca2+3a+2（a+1）（a+2）Da21a（a）【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可【解答】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；B、不是因式分解，故本选项不符合题意；C、是因式分解，故本选项符合题意；D、不是因式分解，故本选项不符合题意；故选：C【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式
12、分解4（4分）如图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转90后能与原来的图案重合的是（）ABCD【分析】根据旋转对称图形的概念解答【解答】解：A此图案绕中心旋转36或36的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；B此图案绕中心旋转45或45的整数倍能与原来的图案重合，此选项符合题意；C此图案绕中心旋转60或60的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；D此图案绕中心旋转72或72的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；故选：B【点评】本题主要考查旋转对称图形，解题的关键是掌握如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形5（4分
13、）分式，的最简公分母为（）A2xy2B5xyC10xy2D10x2y2【分析】按照求最简公分母的方法计算即可【解答】解：分式，的最简公分母为10xy2，故选：C【点评】本题主要考查最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母一般方法：如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂6（4分）下列二次根式中，最简二次根式是（）ABCD【分析】判定一个二
14、次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是【解答】解：A、原式2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；B、被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项错误；C、原式3，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；D、符合最简二次根式的定义，故本选项正确；故选：D【点评】本题考查最简二次根式的定义根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式7（4分）某次数学趣味竞赛共有10道题目，每道题答对得10分，答错或不答
15、得0分人数25131073成绩（分）5060708090100全班40名同学的成绩的中位数和众数分别是（）A75，70B70，70C80，80D75，80【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可【解答】解：把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第20、21个数的平均数，全班40名同学的成绩的中位数是：75；70出现了13次，出现的次数最多，则众数是70；故选：A【点评】此题考查了中位数和众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现
16、次数最多的数8（4分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是4，9，1，4，则最大正方形E的面积是（）A18B114C194D324【分析】根据正方形的面积公式，勾股定理，得到正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S142+92，S212+42，则S3S1+S2，S316+81+1+16114故选：B【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2c29（4分）如图，在ABC中
17、，C90，BAC70，将ABC绕点A顺时针旋转70，B、C旋转后的对应点分别是B和C，连接BB，则BBC的度数是（）A35B40C45D50【分析】首先在ABB中根据等边对等角，以及三角形内角和定理求得ABB的度数，然后在直角BBC中利用三角形内角和定理求解【解答】解：ABAB，ABBABB55，在直角BBC中，BBC905535故选：A【点评】本题考查了旋转的性质，在旋转过程中根据旋转的性质确定相等的角和相等的线段是关键10（4分）如图所示，在等边ABC中，点D是边AC上一点，连接BD，将BCD绕着点B逆时针旋转60，得到BAE，连接ED，则下列结论中：AEBC；DEB60；ADEBDC；A
18、EDABD，其中正确结论的序号是（）ABCD【分析】由题意可得EABACBABC60，BDBE，DBE60，可判断，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和可判断【解答】解：ABC是等边三角形，ABBC，BACABCACB60，AEBBDC将BCD绕着点B逆时针旋转60，得到BAE，BEBD，DBE60，EABACB60EABABC60，BED是等边三角形AEBCBED是等边三角形DEB60故正确AEBBDC，AEBAED+BED，BDCBAC+ABDAEDABD故正确BDC60，ADE60BDCADE故错误故选：D【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用这些
19、性质解决问题是本题的关键11（4分）将一组数，2，2，2，按下列方式进行排列：，2，2，2，4，3，2若的位置记为（1，3），2的位置记为（2，1），则这个数的位置记为（）A（5，4）B（4，4）C（4，5）D（3，5）【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得的位置即可【解答】解：这组数据可表示为：，；19238，19534，为第4行，第4个数字故选：B【点评】本题主要考查的是数字的变化规律，找出其中的规律是解题的关键12（4分）如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使MBN30若AMm，MNx，CNn，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形
20、D随x，m，n的值而定【分析】将ABM绕点B顺时针旋转60得到CBH连接HN想办法证明HCN120HNMNx即可解决问题；【解答】解：将ABM绕点B顺时针旋转60得到CBH连接HNABC是等边三角形，ABCACBA60，MON30，ABM+CBN30，NBHCBH+CBN30，NBMNBH，BMBH，BNBN，NBMNBH，MNNHx，BCHA60，CHAMn，NCH120，x，m，n为边长的三角形NCH是钝角三角形，故选：C【点评】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型二、填空题（本大题
21、共6个小题，每小题4分，共24分把答案填在答题卡的横线上）13（4分）计算：（）3【分析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案【解答】解：（）3故答案为：【点评】此题主要考查了分式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键14（4分）将多项式x22在实数范围内分解因式的结果为【分析】根据平方差公式分解因式即可【解答】解：x22，故答案为：，【点评】本题考查了实数范围内怎样分解因式，解答本题的关键是熟练掌握平方差公式是关键15（4分）如图，已知175，将直线m平行移动到直线n的位置，则23105【分析】直接利用平移的性质结合三角形外角的性质得出答案【解答】解：由题意可得：mn，则CAD+1180，可
22、得：34，故4+CAD2，则23CAD+33CAD180118075105故答案为：105【点评】此题主要考查了平移的性质以及平行线的性质，正确转化角的关系是解题关键16（4分）如图，由6个小正方形组成的23网格中，任意选取5个小正方形并涂黑，则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是【分析】直接利用已知得出涂黑后是轴对称图形的位置，进而得出答案【解答】解：由题意可得：空白部分一共有6个位置，白色部分只有在1或2处时，黑色部分的图形是轴对称图形，故黑色部分的图形是轴对称图形的概率是：故答案为：【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确得出符合题意的位置是解题关键17（4分）已知a，b是两个连续整
23、数，且a1b，则ab8【分析】先估算出的范围，再求出a、b值，最后代入求出即可【解答】解：34，213，a2，b3，ab238，故答案为：8【点评】本题考查了估算无理数的大小和求代数式的值，能估算出的范围是解此题的关键18（4分）把两块同样大小的含45角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一块三角尺的锐角顶点与另一块的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B、C、D在同一直线上，若AB3，则CD33【分析】作AFBC于F，根据等腰直角三角形的性质求出AF，BF，CF，根据勾股定理求出BC，得到AD，根据勾股定理求出DF，结合图形计算【解答】解：过点A作AFBC于F，在RtABC中，B45，BCAB
24、6，BFAFFCAB3，两个同样大小的含45角的三角尺，ADBC6，在RtADF中，根据勾股定理得，DF3，CDDFFC33，故答案为：33【点评】本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键三、解答题（本大题共9个小题，共78分解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤-）19（6分）计算：（1）+（2）0；（2）3【分析】（1）直接利用算术平方根以及零指数幂的性质化简得出答案；（2）直接化简二次根式进而得出答案【解答】解：（1）+（2）03+14；（2）343【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简二次根式是解题关键20（6分）解分式方程：2【分析】分
25、式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到y的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：y22y6+1，移项合并得：y3，经检验y3是增根，分式方程无解【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根21（6分）分解因式：（a2+1）24a2【分析】原式利用平方差公式变形，再利用完全平方公式分解即可【解答】解：原式（a2+1+2a）（a2+12a）（a+1）2（a1）2【点评】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键22（8分）由甲、乙两个工程队承包某校校园的绿化工
26、程，甲、乙两队单独完成这项工作所需的时间比是3：2，两队共同施工6天可以完成（1）求两队单独完成此项工程各需多少天？（2）此项工程由甲、乙两队共同施工6天完成任务后，学校付给他们4000元报酬，若按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各应得到多少元？【分析】（1）设甲队单独完成此项工程需要3x天，则乙队单独完成此项工程需要2x天，根据两队共同施工6天可以完成该工程，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论；（2）根据甲、乙两队单独完成这项工作所需的时间比可得出两队每日完成的工作量之比，再结合总报酬为4000元即可求出结论【解答】解：（1）设甲队单独完成此项工程需要3x天，则乙队单独
27、完成此项工程需要2x天，根据题意得：+1，解得：x5，经检验，x5是所列分式方程的解且符合题意3x15，2x10答：甲队单独完成此项工程需要15天，乙队单独完成此项工程需要10天（2）甲、乙两队单独完成这项工作所需的时间比是3：2，甲、乙两队每日完成的工作量之比是2：3，甲队应得的报酬为40001600（元），乙队应得的报酬为400016002400（元）答：甲队应得的报酬为1600元，乙队应得的报酬为2400元【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键23（8分）如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四
28、边形的顶点在方格的顶点上（1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；（2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；（3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形【分析】（1）平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；（2）等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形；（3）正方形既是轴对称图形又是中心对称图形【解答】解：（1）甲图：平行四边形，（2）乙图：等腰梯形，（3）丙图：正方形【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握几个常见的四边形是哪类图形是关键：平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形；矩形、菱形、正方
29、形既是轴对称图形又是中心对称图形24（10分）某校开设了“3D”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制例图1、图2两幅均不完整的统计图表校本课程频数频率A360.45B0.25C16bD8合计a1请您根据图表中提供的信息回答下列问题：（1）统计表中的a80，b0.20；（2）“D”对应扇形的圆心角为36度；（3）根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数；（4）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“A”、“B”、“C”三门校本课程中随机选取一门，请用画
30、树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率【分析】（1）根据题意列出算式，再求出即可；（2）根据题意列出算式，再求出即可；（3）根据题意列出算式，再求出即可；（4）先列出表格，再根据题意列出算式，再求出即可【解答】解：（1）a360.4580，b16800.20，故答案为：80，0.20；（2）“D”对应扇形的圆心角的度数为：88036036，故答案为：36；（3）估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数为：20000.25500（人）；（4）列表格如下：ABCAA，AB，AC，ABA，BB，BC，BCA，CB，CC，C共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一门校
31、本课程的结果有3种，所以两人恰好选中同一门校本课程的概率为：【点评】本题考查了列表法或树形图、用样本估计总体、频数分布表、扇形统计图等知识点，能根据题意列出算式是解此题的关键25（10分）如图，点O是等边三角形ABC内的一点，BOC150，将BOC绕点C按顺时针旋转得到ADC，连接OD，OA（）求ODC的度数；（）若OB2，OC3，求AO的长【分析】（）根据旋转的性质得到三角形ODC为等边三角形即可求解；（）在RtAOD中，由勾股定理即可求得AO的长，再在直角AOD中利用三角函数的定义即可求解【解答】解：（）由旋转的性质得，CDCO，ACDBCO，ACB60，DCO60，OCD为等边三角形，O
32、DC60；（）由旋转的性质得，ADOB2，OCD为等边三角形，ODOC3，BOC150，ODC60，ADO90，在RtAOD中，由勾股定理得：AO【点评】本题主要考查了旋转的性质以及三角函数的定义，正确求得AO的长是解题的关键26（12分）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x22xy+y216，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解过程如下：x22xy+y216（xy）2一16（xy+4）（xy4）这种分解因式的方法叫分组分解法利用这种分组的思想方法解决下列问题：（1）9
33、a2+4b225m2n2+12ab+10mn；（2）已知a、b、c分别是ABC三边的长且2a2+b2+c22a（b+c）0，请判断ABC的形状，并说明理由【分析】（1）、认真阅读题例的思想方法，观察所给多项式的结构特点，合理分组运用完全平方公式后再整体运用平方差公式进行分解（2）、等式左边的多项式拆开分组，构造成两个完全平方式的和等于0的形式，利用两式各自等于0的时候求出a、b、c的关系即可【解答】（1）解：9a2+4b225m2n2+12ab+10mn（9a2+12ab+4b2）（25m210mn+n2）（3a+2b）2（5mn）2（3a+2b+5mn）（3a+2b5m+n）（2）解：由2a
34、2+b2+c22a（b+c）0可分解得2a2+b2+c22ab2ac0 利用拆项得（a22ab+b2）+（a22ac+c2）0 （ab）2+（ac）20 根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立，于是 ab0，ac0 所以可以得到abc 即：ABC的形状是等边三角形【点评】本题考查了用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，合理分组是解题关键，综合运用因式分解的几种方法是重难点27（12分）（1）（操作发现）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上请按要求画图：将ABC绕点A按顺时针方向旋转90，点B的对应点为B，点C的对应点为C，连接BB，则A
35、BB45（2）（问题解决）如图2，在等边三角形ABC内有一点P，且PA2，PB，PC1，求BPC的度数和等边三角形ABC的边长；（3）（灵活运用）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA，BP，PC1，求BPC的度数【分析】（1）根据旋转角，旋转方向画出图形即可，只要证明ABB是等腰直角三角形即可；（2）将BPC绕点B顺时针旋转60，画出旋转后的图形（如图2），连接PP，可得PPB是等边三角形，而PPA又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以APB150，而BPCAPB150；过点B作BMAP，交AP的延长线于点M，由MPB30，求出BM，PM，根据勾股定理即可求出答案；（3）将BPC
36、绕点B逆时针旋转90得到AEB，与（1）类似：可得：EBPEBA+ABPABC90，求出BEP（18090）45，根据勾股定理的逆定理求出APP90，推出BPCAEB90+45135；【解答】解：（1）如图1所示，连接BB，将ABC绕点A按顺时针方向旋转90，ABAB，BAB90，ABB45，故答案为：45；（2）ABC是等边三角形，ABC60，将BPC绕点B顺时针旋转60得出ABP，如图2，APCP1，BPBP，PBCPBA，APBBPC，PBC+ABPABC60，ABP+ABPABC60，BPP是等边三角形，PP，BPP60，AP1，AP2，AP2+PP2AP2，APP90，则PPA是 直
37、角三角形；BPCAPB90+60150；过点B作BMAP，交AP的延长线于点M，MPB30，BM，由勾股定理得：PM，AM1+，由勾股定理得：AB（3）如图3，将BPC绕点B逆时针旋转90得到AEB，与（1）类似：可得：AEPC1，BEBP，BPCAEB，ABEPBC，EBPEBA+ABPABC90，BEP（18090）45，由勾股定理得：EP2，AE1，AP，EP2，AE2+PE2AP2，AEP90，BPCAEB90+45135；【点评】本题主要考查对勾股定理及逆定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并能根据性质进行证明是解此题的关键
