1、参数方程编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】1掌握参数方程的概念，并通过具体案例体会一些特殊曲线其参数方程中参数的几何意义2分析直线、圆和圆锥曲线的几何意义，能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。3掌握参数方程与普通方程的互化方法，并通过实例进行比较，进一步体会某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，感受参数方程的优越性4通过阅读材料，了解其他摆线（变幅平摆线，变幅渐开线，外摆线，内摆线，换摆线）的生成过程；了解摆线在实际中的应用的实例；了解摆线在刻画行星运动轨迹中的作用。【要点梳理】要点一：参数方程参数方程的概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某
2、个变数的函数，即 并且对于的每一个允许值，方程组所确定的点都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。要点诠释：（1）参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数（2）一条曲线是用直角坐标方程还是用参数方程来表示，要根据具体情况确定（3）曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的关系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x、y间的间接联系。求曲线参数方程的主要步骤：第一步，画出轨迹草图，设M（x，y）是轨迹上任
3、意一点的坐标画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以便于发现变量之间的关系第二步，选择适当的参数参数的选择要考虑以下两点：（1）曲线上每一点的坐标（x，y）都能由参数取某一值唯一地确定出来；例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数此外，离某一定点的有向距离、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程，但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，所以参数个数一般应尽量少（2）曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；第三步，根据已知条件、图形的
4、几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略要点诠释：普通方程化为参数方程时，（1）选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价（2）参数的选取不同，得到的参数方程是不同的要点二：直线和曲线的参数方程1直线的参数方程：标准式：经过定点，倾斜角为的直线的参数方程是：（为参数） 一般式：经过点，斜率的直线的参数方程是：（为参数） 要点注释：（1）标准式中参数表示直线上以定点为起点，任意一点M(x,y)为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正负号，也即，表示直线上任一点M到定点的距离。（2）在一般式中，参数t不具备标准式中t的几何意义，若，即为
5、标准式.2圆的参数方程定义：已知圆心为，半径为的圆的参数方程为：（是参数，）；要点注释：参数表示轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。如图： （1）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。（2）圆的参数方程实际上是一组三角代换，为解决有关圆的问题提供了一条新的途径3椭圆的参数方程椭圆（）的参数方程为：（为参数）。要点注释：参数表示椭圆上某一点的离心角如图所示，点对应的离心角为（过作轴，交大圆即以为直径的圆于），切不可认为是。4双曲线的参数方程双曲线（,）的参数方程为：（为参数，且）。 （注：）要点注释：参数
6、表示双曲线上某一点的离心角。3抛物线的参数方程抛物线()的参数方程为：（是参数）要点注释：参数表示抛物线上一点（除顶点）与其顶点连线的斜率的倒数，即。要点三：参数方程与普通方程的互化 1、参数方程化为普通方程（1）把参数方程化为普通方程的基本思想是消去参数，消去参数的常用方法有：代入法先由一个方程求出参数的表达式（用直角坐标变量表示），再代入另一个方程利用代数或三角函数中的恒等式消去参数 例如：对于参数方程如果t是常数，是参数，那么可以利用公式sin2+cos2=1消参；如果是常数，t是参数，那么适当变形后可以利用(m+n)2(mn)2=4mn消参其他方法：加减消参法、乘除消参法、平方和（差）
7、消参法、混合消参法等 要点诠释：注意：一般来说，消去曲线的参数方程中的参数，就可以得到曲线的普通方程，但要注意，这种消参的过程要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的2、普通方程化为参数方程（1）把曲线的普通方程化为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系式，再代入普通方程求得另一个关系式。（2）一般地，常选择的参数有角度，斜率，时间等。要点诠释：互化要确保参数方程与普通方程互化前后的等价性。注意方程中的参数的变化范围，必须使坐标x,y的取值范围在互化前后保持不变，否则，互化就是不等价的。要点四：直线与圆锥曲线相交的几种题型（1）有关弦
8、长最值题型过定点的直线标准参数方程，当直线与曲线交于A、B两点。则A、B两点分别用参变量t1、t2表示。 一般情况A、B都在定点两侧，t1、t2符号相反，故|AB|=| t1-t2|，即可作分公式。且因正、余弦函数式最大（小）值较容易得出，因此类型题用直线标准参数方程来解，思路固定、解法步骤定型，计算量不大而受大家的青睐。（2）有关相交弦中点、中点轨迹的题型 直线标准参数方程和曲线两交点A(t1)、B(t2)的中点坐标相应的参数；若定点恰为AB为中点，则t1+t2=0 这些参数值都很容易由韦达定理求出。因此有关直线与曲线相交，且与中点坐标有关的问题，用直线标准参数方程解决较为容易得出结果。（3
9、）有关两线段长的乘积（或比值）的题型若F为定点，P、Q为直线与曲线两交点，且对应的参数分别为t1、t2 则|FP|FQ|=| t1t2|，由韦达定理极为容易得出其值。因此有关直线与曲线相交线段积（或商）的问题，用直线的标准参数方程解决为好【典型例题】类型一、求曲线的参数方程例1过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。【思路点拨】从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满足的参数方程。【解析】设M（x，y），设直线l1的方程为y4k（x2），（k） M为AB
10、的中点， 消去k，得x2y50。 另外，当k0时，AB中点为M（1，2），满足上述轨迹方程； 当k不存在时，AB中点为M（1，2），也满足上述轨迹方程。 综上所述，M的轨迹方程为x2y50。【总结升华】（1）本题解法的前半部分用了参数法，求出了动点的参数方程，后半部分通过消参得到了普通方程。（2）用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响举一反三：【变式1】设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀角速运动，角速度为rads试以时间
11、t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程 【答案】 如图所示，在运动开始时质点位于点A处，此时t=0 设动点M（x，y）对应时刻t， 由图可知， 又（t以s为单位）， 得参数方程【变式2】过原点作直线l和抛物线交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。【答案】 由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程y=kx。把它代入抛物线方程，得。因为直线和抛物线相交，所以0，解得。设A（），B（），M（x，y），由韦达定理得。由消去k得。又，所以。点M的轨迹方程为。【变式3】设飞机以匀速v=150ms做水平飞行，若在飞行高度h=588 m处投弹（设炸弹的初速度等于飞机的速度）， （1）求炸弹离开飞
12、机后的轨迹方程； （2）试问飞机在离目标多远（水平距离）处投弹才能命中目标【答案】（1）如图所示，A为投弹点，坐标为（0，588），B为目标，坐标为（x0，0）记炸弹飞行的时间为t，在A点t=0设M（x，y）为飞行曲线上的任意一点，它对应时刻t炸弹初速度v0=150 ms，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向上的路程，得， 即 这是炸弹飞行曲线的参数方程 （2）炸弹飞行到地面目标B处的时间t0满足方程y=0， 即，解得 由此得 即飞机在离目标1643m（水平距离）处投弹才能击中目标类型二、参数方程与普通方程互化例2把下列参数方程化为普通方程：（1）；（2） (，为参数)； （3）(,为参数)
13、【思路点拨】 （1）利用三角恒等式进行消参；（2）将第二个式子变形后，把第一个式子代入消参；（3）观察式子的结构，注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法；或把用表示，反解出后再代入另一表达式即可消参【解析】（1），即x2+y2=9（0x3，0y3）。（2），把代入得又,所求方程为(,)(3)法一：,又，,所求方程为(,)法二：由得,代入得,(,)【总结升华】（1）消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。（2）消参过程中应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出、的范围在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的
14、各种方法举一反三：【高清课堂：曲线的参数方程406450例题1】【变式1】将下列参数方程化为普通方程，并说明曲线类型（1）；（2）； （3）【答案】 （1）t2，2x2，2y0x2+y2=4（2x2，2y0），即下半圆（2） (x3)2+(y2)2=152cos2+152sin2=152，(x3)2+(y2)2=225， 它是以（3，2）为圆心，以15为半径的圆 （3）， ， 它是中心在原点，焦点在x轴上的椭圆【变式2】将参数方程(a为参数)化成普通方程为( )A2xy10Bx2y10C2xy10(3x1)Dx2y10(1y1)【答案】D将y代入x=21，得普通方程x2y10，又因为11，所以
15、有1y1，故选D【变式3】化下列参数方程为普通方程。（1）(t为参数) ； （2）（t为参数）【答案】（1）由得，代入化简得,故所求方程为（，）（2）两个式子相除得，代入得，即，故所求方程为()【变式4】曲线与坐标轴的交点是（ ）A B C D 【答案】B 当时，而，即，得与轴的交点为；当时，而，即，得与轴的交点为类型三、直线和曲线的参数方程【高清课堂：直线的参数方程406451例题1】 例3设直线的参数方程为 （1）求直线的直角坐标方程； （2）化参数方程为标准形式【思路点拨】在直线的参数方程的标准形式中参数t的系数具有明确的意义，分别是直线的倾斜角的正、余弦值，且y值中t的系数一定为正【解
16、析】（1）把代入y的表达式， 得， 化简得4x+3y50=0 所以直线的直角坐标方程为4x+3y50=0 （2）把方程变形为 令u=5t，则方程变为记，直线参数方程的标准形式是： 【总结升华】 已知直线的参数方程为（t为参数），由直线的参数方程的标准形式 可知参数t前的系数分别是其倾斜角的余弦值和正弦值，二者的平方和为1，故可将原式转化为再令，由直线倾斜角的范围，使在0，）范围内取值，并且把看成标准方程中的参数t，即得标准式的参数方程为（t为参数）由上述过程可知，一般参数方程中的具有标准形式参数方程中参数t的几何意义。 举一反三：【变式1】直线的参数方程为（t为参数），求直线的倾斜角【答案】第
17、一种方法：化为普通方程，求倾斜角把参数方程改写成，消去t，有，即，所以直线的倾斜角为110第二种方法：化参数方程为直线的标准参数方程，令t=t，则，所以直线的倾斜角为110【变式2】直线的参数方程能否化为标准形式？【答案】是可以的，只需作参数t的代换(构造勾股数，实现标准化) 令t= 得到直线参数方程的标准形式 t的几何意义是有向线段的数量【变式3】设直线过点A（2，4），倾斜角为 （1）求的参数方程； （2）设直线，与的交点为B，求点B与点A的距离【答案】（1）直线的参数方程为， 即（t为参数） （2）如图所示，B点在上，只要求出B点对应的参数值t，则|t|就是B到A的距离 把的参数方程代入
18、的方程中， 得， 由t为正值，知例4已知圆的方程是，将它表示为圆的参数方程形式。【思路点拨】 将圆的方程配方得圆的标准方程，然后利用平方和公式进行三角代换转化为参数方程。【解析】配方得圆的标准方程令，得圆的参数方程为（为参数）【总结升华】圆与椭圆的普通方程转化为圆与椭圆的参数方程一般都是利用进行三角代换。举一反三：【变式1】 已知圆的方程为x2+y2=2x，写出它的参数方程 【答案】x2+y2=2x的标准方程为(x1)2+y2=1， 设x1=cos，y=sin， 则（02），（为参数） 即为所求的参数方程【变式2】已知椭圆的方程为，将它表示为椭圆的参数方程形式。【答案】变形得，令， 得椭圆的参
19、数方程为（为参数）【变式3】已知椭圆的参数方程为（为参数），求出此椭圆的长轴长，短轴长，焦点坐标，离心率【答案】把消去参数得,得 ,即：椭圆的长轴长为26，短轴长为10，焦点坐标为(0,-12)和(0,12)，离心率为【变式4】若点在以点为焦点的抛物线上，则等于（ ）A B C D 【答案】C抛物线为，准线为，为到准线的距离，即为【变式4】圆的参数方程为，则此圆的半径为_。【答案】由 得，故半径为5类型四、参数方程的应用例5 已知实数x, y满足,求:（1）x2+y2的最大值；（2）x+y的最小值【思路点拨】充分利用圆的参数方程【解析】原方程配方得，表示以为圆心，2为半径的圆用参数方程表示为:
20、 （为参数，02）（1）当，即时，(x2+y2)max=16（2）当， 即时，【总结升华】利用圆的参数方程求最值，一般来说都是先把所求的量表示成关于参数的函数，然后利用三角函数的有界性或者函数的性质求最值。举一反三：【变式1】已知点是圆上的动点，（1）求的取值范围；（2）若恒成立，求实数的取值范围。【答案】（1）设圆的参数方程为，（2）【变式2】点是椭圆上的一个动点，则的最大值为_。【答案】。 椭圆为，设，【变式3】点P在椭圆上，利用参数方程求点P到直线的最大距离和最小距离。【答案】设，则即，当时，；当时，。【变式4】在椭圆中作内接矩形，求内接矩形的最大面积【答案】如图，设椭圆的内接矩形在第一
21、象限的顶点是A（）（），矩形的面积是S 。，当且仅当时，。所以内接矩形的最大面积为40例6 经过点，倾斜角为的直线与圆x2+y2=25相交于B、C两点 （1）求弦BC的长； （2）当A恰为BC的中点时，求直线BC的方程； （3）当|BC|=8时，求直线BC的方程； （4）当变化时，求动弦BC的中点M的轨迹方程 【思路点拨】 本题可以使用直线的普通方程来解，也可以使用参数方程来解，但是使用普通方程解，运算较为麻烦如果设出直线的倾斜角，写出直线的参数方程求解，就可以把问题转化为三角函数的最小值问题，便于计算 【解析】取AP=t为参数（P为上的动点）， 则的参数方程为 代入x2+y2=25，整理得
22、=9(2cos+sin)2+550恒成立 方程必有相异两实根t1、t2，且t1+t2=3(2cos+sin）， （1） （2）A为BC中点，t1+t2=0， 即2cos+sin=0，tan=2 故直线BC的方程为， 即4x+2y+15=0 （3）， (2cos+sin)2=1，cos=0或 直线BC的方程是x=3或3x+4y+15=0 （4）BC的中点M对应的参数是， 点M的轨迹方程为 ， 即点M的轨迹是以为圆心，以为半径的圆【总结升华】 利用直线的参数方程可以研究直线与圆的位置关系，求直线方程、求弦长、求动点轨迹等问题，也十分方便举一反三：【变式1】直线和圆交于两点，则的中点坐标为（ ） A B C D 【答案】D，得，中点为【变式2】求直线（为参数）被双曲线截得的弦长。【答案】把直线参数方程化为标准参数方程 【变式3】过点P（3，0）且倾斜角为30的直线和曲线相交于A、B两点，求线段AB的长【答案】直线的参数方程为曲线可以化为将直线的参数方程代入上式，得设A、B对应的参数分别为， AB
