1、正弦定理编稿：李霞审稿：张林娟【学习目标】1.通过对直角三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思维方法发现数学规律；2.会利用正弦定理解决两类解三角形的问题；（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而求出其它边角）. 【要点梳理】要点一：学过的三角形知识1.中（1）一般约定：中角A、B、C所对的边分别为、；（2）；（3）大边对大角，大角对大边，即； 等边对等角，等角对等边，即；（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即，.2.中，（1），（2）（3），；，要点二：正弦定理及其证明正弦定理：在一个三角形中各
2、边和它所对角的正弦比相等，即：直角三角形中的正弦定理的推导证明：， ， ，即：， 斜三角形中的正弦定理的推导证明：法一：向量法（1）当为锐角三角形时过作单位向量垂直于，则+= 两边同乘以单位向量，得(+)=，即， ，同理：若过作垂直于得： ，（2）当为钝角三角形时设，过作单位向量垂直于向量，同样可证得：法二：圆转化法（1）当为锐角三角形时如图，圆O是的外接圆，直径为，则，（为的外接圆半径）同理：，故：（2）当为钝角三角形时如图，.法三：面积法任意斜中，如图作，则同理：，故，两边同除以即得：要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形；（2）可以证明（为的外接圆半径）；灵活利用正弦定理，还需知道它的
3、几个变式，比如： ，,等等.要点三：利用正弦定理解三角形一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素.任何一个三角形都有六个元素：三边和三角.在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，然后再进一步求出其他的边和角.要点诠释：已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况；(1)若A为锐角时：如图：(2)若A为直角或钝角时：判断三角形形状判断三角形形状的思路通常有以下两种：（1）化边为角；（2）化角为边.对条件实施转
4、化时，考虑角的关系，主要有：(1)两角是否相等？(2)三个角是否相等？（3）有无直角、钝角？考查边的关系，主要有：（1）两边是否相等？（2）三边是否相等？要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。比如下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解.【典型例题】类型一： 正弦定理的基本应用【高清课堂：正弦定理 例1】例1已知在中，求和B.【思路点拨】本题考查正弦定理及特殊角的三角函数值，三角形中边与角的对应关系等。由正弦定理列出边a满足的方程，再
5、根据三角形内角和来确定角B的值。【解析】， ， ，又，【总结升华】1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式. 举一反三：【变式1】在中，已知，求、.【答案】，根据正弦定理，.【变式2】在中，已知，求【答案】根据正弦定理，得.例2在，求【思路点拨】由正弦定理列出角C所满足的方程，求其正弦值，然后根据边的大小关系确定角C的值.【解析】由正弦定理得：，或，.【总结升华】1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。2. 解决此类问题就是根据正弦定理列出方程，从
6、而求出角的三角函数值进而求角，但要注意结合初中所学“大边对大角”定理检验所求结果是否符合题意，避免增解或漏解.举一反三：【高清课堂：正弦定理 例3】【变式1】在中， ，求和【答案】， ， 或当时，；当时，；或【变式2】在中, , 求和；【答案】 ， ， 或当时，；当时，（舍去）。【变式3】在中，, , 求.【答案】由正弦定理，得., ，即 类型三：利用正弦定理判断三角形的形状例3.已知ABC中,bsinB=csinC,且,试判断三角形的形状【思路点拨】利用正弦定理将边化成角，分析角之间的关系，再利用正弦定理将角化为边，进而判断三角形的形状.【解析】bsinB=csinC,由正弦定理得 sinB
7、=sinC， sinB=sinC B=C由 得 三角形为等腰直角三角形【总结升华】已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。举一反三：【变式1】在中，若，试判断的形状.【答案】由及已知条件可得：，为三角形的内角，或，所以为等腰三角形或直角三角形。【变式2】在ABC中，试判断三角形的形状.【答案】利用正弦定理将边转化为角.又 0A，B，AB 即故此三角形是等腰三角形.类型四：利用正弦定理求三角形的面积例4.在的面积。【思路点拨】已知三角形两边及其一边的对角，由正弦定理来解
8、题。【解析】根据正弦定理有则C有两解。（1）当C为锐角时，（2）当C为钝角时，所以，的面积为【总结升华】（R为三角形外接圆半径）公式中需要知道两边及其夹角，在此题目中需要求出A，而对于A有两种情况，因此该三角形的面积有两解。举一反三：【变式】在ABC中，已知，求的面积。【答案】由，得，又，即，所以三角形的解有两种情况，或故的面积的面积为或.类型五：正弦定理的综合运用例5. 在ABC中，。（）求角C的大小；（）若ABC最大边的边长为，求最小边的边长。【解析】（）C=-（A+B）,tanC=-tan（A+B）=-又0C,C=。（）C=,AB边最大，即AB=.又tanAtanB, 角A最小，BC边为最小边。由且,得由得：,所以，最小边.【总结升华】本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力举一反三：【变式】在ABC中，已知a5，B105，C15，则此三角形的最大边的长为_【答案】在ABC中，大角对大边，故b为最大边长，A180(BC)180(10515)60.据正弦定理b.
