1、圆中三大切线定理 秋季班第八讲秋季班第六讲暑期班第六讲知识互联网题型一：切线的性质定理思路导航题目中已知圆的切线，可以“连半径，标直角”，然后在直角三角形中利用勾股、相似或锐角三角函数解决问题。典题精练【例1】 如图，在ABC中，以AC为直径的0与BC边交于点D，过点D作O的切线DE，交AB于点E，若DEAB求证：【解析】 连接、，由切线的性质定理可得，又DEAB，则为的中位线，为中点，又，则为的垂直平分线，为等边三角形，题型二：切线的判定定理思路导航 判定切线共有三种方法：定义法、距离法和定理法，其中常用的是距离法和定理法，可以总结为六字口诀，定理法是“连半径，证垂直”，距离法是“作垂直，证
2、半径”，定理法的使用频率最高，必须熟练掌握。典题精练【例2】 如图，C是以AB为直径的O上一点，过O作OEAC于点E，过点A作O的切线 交OE的延长线于点F，连结CF并延长交BA的延长线于点P. 求证：PC是O的切线. 若AB=4，求CF的长. 【解析】 证明：连结OC OEAC， AE=CE FA=FC FAC=FCA OA=OC， OAC=OCA OAC+FAC=OCA+FCA 即FAO=FCO FA与O相切，且AB是O的直径， FAAB FCO=FAO=90 PC是O的切线 PCO=90，即ACO +ACP =90.又BCO+ACO =90， ACP=BCO. BO=CO， BCO=B，
3、 ACP=B. P公共角， PCAPBC . .，. AEO=ACB=90， OFBC. AB=4， AO=2 . AF=1 . CF=1 . 【例3】 如图，已知中，平分，以为圆心、长为半径作，与的另一个交点为 求证：与相切； 若，求的长 【解析】 证明：过点作于 平分， 是的半径，与相切 解：设的半径为 在中， 由可知切于，切于， 又， 在中， ，即，解得 另：该问还可以用求得的长 还可以用面积的求法，.【例4】 已知：如图，是的直径，是上一点，于点，过点作的切线，交 的延长线于点，连结 求证：与相切； 连结并延长交于点，求的长【解析】 证明：连结. 与相切，为切点. 直线是线段的垂直平分
4、线. 是的直径. 与相切. 解：过点作于点，则. 在中， 由勾股定理得 在中，同理得 是的中点， ， 题型三 切线长定理思路导航 切线长和切线长定理： 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角例题精讲【引例】已知：如图，分别与相切于两点求证： ； ； 垂直平分线段【解析】 连结分别与相切，OP=OP，由等腰三角形“三线合一”可知：且，垂直平分线段典题精练【例5】 如图，分别切于，若，周长为，求的半径 梯形中，是上一点，以为圆心的半圆与都相切已知，求的长【解析】 连结都与相切，周长
5、 ，即的半径为 连接， 都是半圆的切线， 由切线长定理得平分，平分， ， 【例6】 如右图所示，的内切圆与三边、分别切于、.，求、的长CBADO 如图，在中，圆为的内切圆，点是斜边的中点，则 . （2012启东市模拟）【解析】 、与相切，设 ，解得，即、的长分别为、和 2【例7】 已知：是半圆的直径，点在的延长线上运动（点与点不重合），以为直径的半圆与半圆交于点，的平分线与半圆交于点DEOBAMC图1(1) 求证：是半圆的切线（图1）；(2) 作于点（图2），猜想与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明.DCAMFOE图2B【解析】 连结，则为半圆的半径为半圆的直径，是半圆的切线BDOAMC图4
6、KGEF 猜想：证法一：如图4，连结，延长交于点，作于点，则平分，是半圆的直径，为半圆上的一点，为公共边，证法二：如图5，以为直径作，延长交于点，连结，平分，DOBAMC图6EFH DOBAMC图5EFP证法三：如图6，连结，相交于点平分，精讲：三角形内切圆相关性质和结论探究；【探究对象】三角形内切圆相关性质和结论【探究过程】【探究1】角的相关性质探究：、均为角平分线，且；【探究2】直角三角形内切圆半径计算方法探究：直角三角形的内切圆半径，或(其中、为直角边，为斜边)例：如图，为的内切圆，求内切圆半径分析：方法一：连接，设三角形的底各为，即，方法二：设切，于，三点，由切线长定理可知：，由可证得
7、四边形为正方形，即的半径【探究3】普通三角形内切圆半径计算方法探究： 普通三角形的内切圆半径(其中、为直角边，为斜边，)分析：由【探究2】的方法一可知，由海伦公式可得；【探究4】增加内切圆的个数；例：如图，和为的内切等圆，求的半径分析：连接则，即，解得【探究5】继续增加内切圆的个数；例：如图，为的内切等圆，求的半径分析：参见前一变式的解法，由面积易得，即，【探究6】改变内切圆的位置； 例：如图，若两等圆与的边及的延长线相切，且两等圆外切，求此时两等圆的半径分析：连接，即，解得，例：若将上面变式中的个等圆，放到外相邻两圆相外切，且与线段相切，与线段的延长线相切，求这些圆的半径分析：连接，则，即，
8、解得【总结】求直角三角形内切圆半径通常办法有两种： 面积法； 利用切线长定理求其它三角形内切圆半径的方法也有两种： 面积法：知道三角形的三边，利用勾股定理可求出任意一边上的高，于是就可以求出三角形的面积，接着仿照例题中的方法利用面积即可求出其内切圆的半径 利用切线长定理：利用切线长定理可求出三角形任意一顶点到内切圆的切线长，利用三角函数可求出三角形以这个顶点为角的内角度数，再解以这个顶点到圆心的线段、内切圆的半径、这个顶点到内切圆的切线长为三边的直角三角形即可【探究7】圆外切四边形的性质探究： 圆外切四边形的对边和相等：；分析：由切线长定理可设线段长度如图所示；则；复习巩固题型一 切线的性质定
9、理 巩固练习【练习1】 如图，与相切于点，线段与弦垂直于点，则切线 .【解析】 题型二 切线的判定定理 巩固练习【练习2】 在平行四边形中，以为直径作， 求圆心到的距离（用含的代数式来表示）； 当取何值时，与相切【解析】 分别过两点作，垂足分别为点，就是圆心到的距离四边形是平行四边形，在中，则，圆心到的距离为 由得，为的直径，且，当时，与相切于点，即，解得，当时，与相切【练习3】 已知：如图，由正方形的顶点引一条直线分别交、及的延长线于点、，求证：和的外接圆相切【解析】 连结由是正方形，容易证明，是直角三角形，外接圆圆心为中点，与相切【练习4】 如图，是的直径，于点，连接交于点，弦，弦 于点
10、求证：点是的中点； 求证：是的切线； 若，的半径为，求的长【解析】 ， 连结 由知 在和中， ， 又， 即是的切线 解法一：在中， 设 ， 又的半径为， ，即， 解得（舍去）， 解法二：连结 是直径， 的半径为， ， 在中，题型三 切线长定理 巩固练习【练习5】 如图，是的内切圆，是切点，又直线切于，交于，则的周长为_ 中，则的内切圆半径_ 等腰梯形外切于圆，且中位线的长为，那么这个等腰梯形的周长是_【解析】 ； 2； 课后测【测试1】 如图，切于点，直线交于点，弦，求证：【解析】 是的切线，是直径，即，【测试2】 如图，四边形ABCD内接于，BD是的直径，于点E，DA平分(1) 求证：AE是
11、的切线；(2) 如果，求的半径【解析】(1) 证明：联结OA，OA=OD，1=2DA平分，2=31=3OADE OAE=4，4=90OAE=90，即OAAE又点A在O上，AE是O的切线. (2) 解：BD是O的直径，BAD=905=90，BAD=5又2=3，BADAED，BA=4，AE=2，BD=2AD 在RtBAD中，根据勾股定理，得BD= O半径为 巴雷尼与诺贝尔奖巴雷尼小时候因病成了残疾，母亲的心就像刀绞一样，但她还是强忍住自己的悲痛。她想，孩子现在最需要的是鼓励和帮助，而不是妈妈的眼泪。母亲来到巴雷尼的病床前，拉着他的手说：“孩子，妈妈相信你是个有志气的人，希望你能用自己的双腿，在人生
12、的道路上勇敢地走下去！好巴雷尼，你能够答应妈妈吗？”母亲的话，像铁锤一样撞击着巴雷尼的心扉，他“哇”地一声，扑到母亲怀里大哭起来。从那以后，妈妈只要一有空，就给巴雷尼练习走路，做体操，常常累得满头大汗。有一次妈妈得了重感冒，她想，做母亲的不仅要言传，还要身教。尽管发着高烧，她还是下床按计划帮助巴雷尼练习走路。黄豆般的汗水从妈妈脸上淌下来，她用干毛巾擦擦，咬紧牙，硬是帮巴雷尼完成了当天的锻炼计划。体育锻炼弥补了由于残疾给巴雷尼带来的不便。母亲的榜样作用，更是深深教育了巴雷尼，他终于经受住了命运给他的严酷打击。他刻苦学习，学习成绩一直在班上名列前茅。最后，以优异的成绩考进了维也纳大学医学院。大学毕业后，巴雷尼以全部精力，致力于耳科神经学的研究。最后，终于登上了诺贝尔生理学和医学奖的领奖台。 今天我学到了 13
