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2020年中考数学专题复习:圆中三大切线定理

1、圆中三大切线定理 秋季班第八讲秋季班第六讲暑期班第六讲知识互联网题型一:切线的性质定理思路导航题目中已知圆的切线,可以“连半径,标直角”,然后在直角三角形中利用勾股、相似或锐角三角函数解决问题。典题精练【例1】 如图,在ABC中,以AC为直径的0与BC边交于点D,过点D作O的切线DE,交AB于点E,若DEAB求证:【解析】 连接、,由切线的性质定理可得,又DEAB,则为的中位线,为中点,又,则为的垂直平分线,为等边三角形,题型二:切线的判定定理思路导航 判定切线共有三种方法:定义法、距离法和定理法,其中常用的是距离法和定理法,可以总结为六字口诀,定理法是“连半径,证垂直”,距离法是“作垂直,证

2、半径”,定理法的使用频率最高,必须熟练掌握。典题精练【例2】 如图,C是以AB为直径的O上一点,过O作OEAC于点E,过点A作O的切线 交OE的延长线于点F,连结CF并延长交BA的延长线于点P. 求证:PC是O的切线. 若AB=4,求CF的长. 【解析】 证明:连结OC OEAC, AE=CE FA=FC FAC=FCA OA=OC, OAC=OCA OAC+FAC=OCA+FCA 即FAO=FCO FA与O相切,且AB是O的直径, FAAB FCO=FAO=90 PC是O的切线 PCO=90,即ACO +ACP =90.又BCO+ACO =90, ACP=BCO. BO=CO, BCO=B,

3、 ACP=B. P公共角, PCAPBC . .,. AEO=ACB=90, OFBC. AB=4, AO=2 . AF=1 . CF=1 . 【例3】 如图,已知中,平分,以为圆心、长为半径作,与的另一个交点为 求证:与相切; 若,求的长 【解析】 证明:过点作于 平分, 是的半径,与相切 解:设的半径为 在中, 由可知切于,切于, 又, 在中, ,即,解得 另:该问还可以用求得的长 还可以用面积的求法,.【例4】 已知:如图,是的直径,是上一点,于点,过点作的切线,交 的延长线于点,连结 求证:与相切; 连结并延长交于点,求的长【解析】 证明:连结. 与相切,为切点. 直线是线段的垂直平分

4、线. 是的直径. 与相切. 解:过点作于点,则. 在中, 由勾股定理得 在中,同理得 是的中点, , 题型三 切线长定理思路导航 切线长和切线长定理: 在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角例题精讲【引例】已知:如图,分别与相切于两点求证: ; ; 垂直平分线段【解析】 连结分别与相切,OP=OP,由等腰三角形“三线合一”可知:且,垂直平分线段典题精练【例5】 如图,分别切于,若,周长为,求的半径 梯形中,是上一点,以为圆心的半圆与都相切已知,求的长【解析】 连结都与相切,周长

5、 ,即的半径为 连接, 都是半圆的切线, 由切线长定理得平分,平分, , 【例6】 如右图所示,的内切圆与三边、分别切于、.,求、的长CBADO 如图,在中,圆为的内切圆,点是斜边的中点,则 . (2012启东市模拟)【解析】 、与相切,设 ,解得,即、的长分别为、和 2【例7】 已知:是半圆的直径,点在的延长线上运动(点与点不重合),以为直径的半圆与半圆交于点,的平分线与半圆交于点DEOBAMC图1(1) 求证:是半圆的切线(图1);(2) 作于点(图2),猜想与已有的哪条线段的一半相等,并加以证明.DCAMFOE图2B【解析】 连结,则为半圆的半径为半圆的直径,是半圆的切线BDOAMC图4

6、KGEF 猜想:证法一:如图4,连结,延长交于点,作于点,则平分,是半圆的直径,为半圆上的一点,为公共边,证法二:如图5,以为直径作,延长交于点,连结,平分,DOBAMC图6EFH DOBAMC图5EFP证法三:如图6,连结,相交于点平分,精讲:三角形内切圆相关性质和结论探究;【探究对象】三角形内切圆相关性质和结论【探究过程】【探究1】角的相关性质探究:、均为角平分线,且;【探究2】直角三角形内切圆半径计算方法探究:直角三角形的内切圆半径,或(其中、为直角边,为斜边)例:如图,为的内切圆,求内切圆半径分析:方法一:连接,设三角形的底各为,即,方法二:设切,于,三点,由切线长定理可知:,由可证得

7、四边形为正方形,即的半径【探究3】普通三角形内切圆半径计算方法探究: 普通三角形的内切圆半径(其中、为直角边,为斜边,)分析:由【探究2】的方法一可知,由海伦公式可得;【探究4】增加内切圆的个数;例:如图,和为的内切等圆,求的半径分析:连接则,即,解得【探究5】继续增加内切圆的个数;例:如图,为的内切等圆,求的半径分析:参见前一变式的解法,由面积易得,即,【探究6】改变内切圆的位置; 例:如图,若两等圆与的边及的延长线相切,且两等圆外切,求此时两等圆的半径分析:连接,即,解得,例:若将上面变式中的个等圆,放到外相邻两圆相外切,且与线段相切,与线段的延长线相切,求这些圆的半径分析:连接,则,即,

8、解得【总结】求直角三角形内切圆半径通常办法有两种: 面积法; 利用切线长定理求其它三角形内切圆半径的方法也有两种: 面积法:知道三角形的三边,利用勾股定理可求出任意一边上的高,于是就可以求出三角形的面积,接着仿照例题中的方法利用面积即可求出其内切圆的半径 利用切线长定理:利用切线长定理可求出三角形任意一顶点到内切圆的切线长,利用三角函数可求出三角形以这个顶点为角的内角度数,再解以这个顶点到圆心的线段、内切圆的半径、这个顶点到内切圆的切线长为三边的直角三角形即可【探究7】圆外切四边形的性质探究: 圆外切四边形的对边和相等:;分析:由切线长定理可设线段长度如图所示;则;复习巩固题型一 切线的性质定

9、理 巩固练习【练习1】 如图,与相切于点,线段与弦垂直于点,则切线 .【解析】 题型二 切线的判定定理 巩固练习【练习2】 在平行四边形中,以为直径作, 求圆心到的距离(用含的代数式来表示); 当取何值时,与相切【解析】 分别过两点作,垂足分别为点,就是圆心到的距离四边形是平行四边形,在中,则,圆心到的距离为 由得,为的直径,且,当时,与相切于点,即,解得,当时,与相切【练习3】 已知:如图,由正方形的顶点引一条直线分别交、及的延长线于点、,求证:和的外接圆相切【解析】 连结由是正方形,容易证明,是直角三角形,外接圆圆心为中点,与相切【练习4】 如图,是的直径,于点,连接交于点,弦,弦 于点

10、求证:点是的中点; 求证:是的切线; 若,的半径为,求的长【解析】 , 连结 由知 在和中, , 又, 即是的切线 解法一:在中, 设 , 又的半径为, ,即, 解得(舍去), 解法二:连结 是直径, 的半径为, , 在中,题型三 切线长定理 巩固练习【练习5】 如图,是的内切圆,是切点,又直线切于,交于,则的周长为_ 中,则的内切圆半径_ 等腰梯形外切于圆,且中位线的长为,那么这个等腰梯形的周长是_【解析】 ; 2; 课后测【测试1】 如图,切于点,直线交于点,弦,求证:【解析】 是的切线,是直径,即,【测试2】 如图,四边形ABCD内接于,BD是的直径,于点E,DA平分(1) 求证:AE是

11、的切线;(2) 如果,求的半径【解析】(1) 证明:联结OA,OA=OD,1=2DA平分,2=31=3OADE OAE=4,4=90OAE=90,即OAAE又点A在O上,AE是O的切线. (2) 解:BD是O的直径,BAD=905=90,BAD=5又2=3,BADAED,BA=4,AE=2,BD=2AD 在RtBAD中,根据勾股定理,得BD= O半径为 巴雷尼与诺贝尔奖巴雷尼小时候因病成了残疾,母亲的心就像刀绞一样,但她还是强忍住自己的悲痛。她想,孩子现在最需要的是鼓励和帮助,而不是妈妈的眼泪。母亲来到巴雷尼的病床前,拉着他的手说:“孩子,妈妈相信你是个有志气的人,希望你能用自己的双腿,在人生

12、的道路上勇敢地走下去!好巴雷尼,你能够答应妈妈吗?”母亲的话,像铁锤一样撞击着巴雷尼的心扉,他“哇”地一声,扑到母亲怀里大哭起来。从那以后,妈妈只要一有空,就给巴雷尼练习走路,做体操,常常累得满头大汗。有一次妈妈得了重感冒,她想,做母亲的不仅要言传,还要身教。尽管发着高烧,她还是下床按计划帮助巴雷尼练习走路。黄豆般的汗水从妈妈脸上淌下来,她用干毛巾擦擦,咬紧牙,硬是帮巴雷尼完成了当天的锻炼计划。体育锻炼弥补了由于残疾给巴雷尼带来的不便。母亲的榜样作用,更是深深教育了巴雷尼,他终于经受住了命运给他的严酷打击。他刻苦学习,学习成绩一直在班上名列前茅。最后,以优异的成绩考进了维也纳大学医学院。大学毕业后,巴雷尼以全部精力,致力于耳科神经学的研究。最后,终于登上了诺贝尔生理学和医学奖的领奖台。 今天我学到了 13