1、专题09 一元二次方程及其应用 专题知识回顾 1定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a0)。其中ax2 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。3. 一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。4.一元二次方程的解法有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。（1）直接开方法。适用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。（2）配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-
2、2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：化简把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；移项把常数项移项到等号的右边；配方两边同时加上b2，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式；开方，即降次；解一次方程。（3）公式法。当b2-4ac0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。b2-4ac0时，方程有两个不相等的实数根。，b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。b2-4ac0时，方程无实数根。定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的
3、判别式，通常用字母表示，即=b2-4ac。（4）因式分解法。因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。5.一元二次方程根与系数的关系 如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。6.解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。第4步：
4、解方程。根据方程的类型采用相应的解法。第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。第6步：答。专题典型题考法及解析 【例题1】 (2019安徽)解方程：（x1）24【答案】x13，x21【解析】此题主要考查了直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2a（a0）的形式，利用数的开方直接求解（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2a（a0）；ax2b（a，b同号且a0）；（x+a）2b（b0）；a（x+b）2c（a，c同号且a0）法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”（2）用直接开方法求一元
5、二次方程的解，要仔细观察方程的特点利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可两边直接开平方得：x12，x12或x12，解得：x13，x21【例题2】(2019山西）一元二次方程配方后可化为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】，故选D。【例题3】（2019年山东省威海市）一元二次方程3x242x的解是 【答案】x1，x2【解析】直接利用公式法解方程得出答案3x242x3x2+2x40，则b24ac443（4）520，故x，解得：x1，x2【例题4】（2019年江苏省扬州市）一元二次方程x（x2）x2的根是 【答案】1或2【解析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可
6、x（x2）x2，x（x2）（x2）0，（x2）（x1）0，x20，x10，x12，x21【例题5】（2019北京市） 关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根【答案】m=1，此方程的根为【解析】先由原一元二次方程有实数根得判别式进而求出m的范围；结合m的值为正整数，求出m的值，进而得到一元二次方程求解即可.关于x的方程有实数根， 又m为正整数，m=1，此时方程为解得根为，m=1，此方程的根为【例题6】（2019四川泸州）已知x1，x2是一元二次方程x2x40的两实根，则（x1+4）（x2+4）的值是 【答案】16【解析】考查一元二次方程根与系数的关系x1，x2是一元二次方程x
7、2x40的两实根，x1+x21，x1x24，（x1+4）（x2+4）x1x2+4x1+4x2+16x1x2+4（x1+x2）+164+41+164+4+1616【例题7】 (2019安徽)据国家统计局数据，2018年全年国内生产总值为90.3万亿，比2017年增长6.6%假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万亿的年份是（）A2019年B2020年C2021年D2022年【答案】B【解析】根据题意分别求出2019年全年国内生产总值、2020年全年国内生产总值，得到答案2019年全年国内生产总值为：90.3（1+6.6%）96.2598（万亿），2020年全年国内生产总
8、值为：96.2598（1+6.6%）102.6（万亿），国内生产总值首次突破100万亿的年份是2020年。 专题典型训练题 一、选择题1.( 2019甘肃省兰州市) x1是关于的一元二次方程x2+ax+2b0的解，则2a+4b（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 6【答案】A【解析】将x1代入方程x2+ax+2b0，得a+2b1，2a+4b2（a+2b）2（1）2.2.（2019湖南怀化）一元二次方程x2+2x+10的解是（）Ax11，x21Bx1x21Cx1x21Dx11，x22【答案】C【解析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分
9、解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键利用完全平方公式变形，从而得出方程的解x2+2x+10，（x+1）20，则x+10，解得x1x21，3.（2019浙江金华）用配方法解方程x2-6x-8=0时，配方结果正确的是（ ） A.(x-3)2=17 B.(x-3)2=14 C.（x-6)2=44 D.(x-3）2=1【答案】 A 【解析】配方法解一元二次方程 x2-6x-8=0， x2-6x+9=8+9，（x-3）2=17.4. （2019湖北咸宁）若关于x的一元二次方程x22x+m0有实数根，则实数m的取值范围是（）Am1Bm1Cm1Dm1【答案】【解析】关于x的一
10、元二次方程x22x+m0有实数根，（2）24m0，解得：m15.(2019内蒙古包头市)已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，则m的值是（ ）A. 34B.30C.30或34D.30或36【答案】A.【解析】分两种情况讨论： 若4为等腰三角形底边长，则a，b是两腰，方程x2-12x+m+2=0有两个相等实根，=(-12)2-41(m+2)=136-4m=0,m=34.此时方程为x2-12x+36=0，解得x1=x2=6.三边为6，6，4，满足三边关系，符合题意. 若4为等腰三角形腰长，则a，b中有一条边也为4，方程x2-12x+m
11、+2=0有一根为4.42-124+m+2=0，解得，m=30.此时方程为x2-12x+32=0，解得x1=4，x2=8.三边为4，4，8，不满足三边关系，故舍去.综上，m的值为34.6.（2019山东省聊城市）若关于x的一元二次方程（k2）x22kx+k6有实数根，则k的取值范围为（）Ak0 B k0且k2 Ck Dk且k2【答案】D【解析】考点是一元二次方程的定义以及根的判别式。根据二次项系数非零结合根的判别式0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围（k2）x22kx+k60，关于x的一元二次方程（k2）x22kx+k6有实数根，解得：k且k27. （2019湖北仙桃）
12、若方程x22x40的两个实数根为，则2+2的值为（）A12B10C4D4【答案】A【解析】方程x22x40的两个实数根为，+2，4，2+2（+）224+8128. （2019江苏泰州）方程2x2+6x10的两根为x1 、x2 则x1+x2等于（）A6 B6 C3 D3【答案】C【解析】根据根与系数的关系即可求出答案由于0，x1+x23，9.（2019山东淄博）若x1+x23，x12+x225，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）Ax23x+20Bx2+3x20Cx2+3x+20Dx23x20【答案】A【解析】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根
13、时，x1+x2，x1x2利用完全平方公式计算出x1x22，然后根据根与系数的关系写出以x1，x2为根的一元二次方程x12+x225，（x1+x2）22x1x25，而x1+x23，92x1x25，x1x22，以x1，x2为根的一元二次方程为x23x+2010. （2019广东）已知x1.x2是一元二次方程了x22x=0的两个实数根，下列结论错误的是（ ）Ax1x2 Bx122x1=0 Cx1+x2=2 Dx1x2=2【答案】D【解析】因式分解x（x-2）=0，解得两个根分别为0和2，代入选项排除法.11.（2019广西贵港）若，是关于x的一元二次方程x22x+m0的两实根，且+，则m等于（）A2
14、 B3 C2 D3【答案】B【解析】利用一元二次方程根与系数的关系得到+2，m，再化简+，代入可求解；，是关于x的一元二次方程x22x+m0的两实根，+2，m，+，m3 12（2019浙江宁波）能说明命题“关于x的方程x24x+m0一定有实数根”是假命题的反例为（）Am1 Bm0 Cm4 Dm5【答案】D【解析】利用m5使方程x24x+m0没有实数解，从而可把m5作为说明命题“关于x的方程x24x+m0一定有实数根”是假命题的反例当m5时，方程变形为x24x+m50，因为（4）2450，所以方程没有实数解，所以m5可作为说明命题“关于x的方程x24x+m0一定有实数根”是假命题的反例13.（2
15、019黑龙江哈尔滨）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（）A20% B40% C18%D36%【答案】A【解析】本题考查了一元二次方程实际应用问题关于增长率的类型问题，按照公式a（1x）2b对照参数位置代入值即可，公式的记忆与运用是本题的解题关键设降价的百分率为x根据题意可列方程为25（1x）216解方程得，（舍）每次降价得百分率为20%14. （2019湖南衡阳）国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人设2016年底至2018年底该地区
16、贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（）A9（12x）1B9（1x）21C9（1+2x）1D9（1+x）21【答案】B【解析】等量关系为：2016年贫困人口（1下降率）22018年贫困人口，把相关数值代入计算即可设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得：二、填空题15. （2019湖北十堰）对于实数a，b，定义运算“”如下：ab（a+b）2（ab）2若（m+2）（m3）24，则m 【答案】3或4【解析】根据题意得（m+2）+（m3）2（m+2）（m3）224，（2m1）2490，（2m1+7）（2m17）0，2m1+70或2m170，所以m13，m2416. （2019吉林长
17、春）一元二次方程x2-3x+1=0根的判别式的值为 .【答案】5【解析】a=1，b=-3，c=1，=b2-4ac=(-3)2-411=517.（2019吉林省）若关于x的一元二次方程（x+3)2=c有实数根，则c的值可以为 （写出一个即可）【答案】答案不唯一，例如5，（c0时方程都有实数根）【解析】c0时方程都有实数根18.（2019年湖北省荆门市）已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+10的两个不相等实数根，且满足（x11）（x21）8k2，则k的值为 【答案】1 【解析】根据根与系数的关系结合（x11）（x21）8k2，可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，根
18、据方程的系数结合根的判别式0，可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而即可确定k值，此题得解x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+10的两个实数根，x1+x2（3k+1），x1x22k2+1（x11）（x21）8k2，即x1x2（x1+x2）+18k2，2k2+1+3k+1+18k2，整理，得：2k2k10，解得：k1，k21关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+10的两个不相等实数根，（3k+1）241（2k2+1）0，解得：k32或k3+2，k119. （2019广西桂林）一元二次方程的根是【答案】，【解析】解一元二次方程因式分解法或，所以，故答案为
19、，20.（2019年四川省遂宁市）若关于x的方程x22x+k0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 【答案】k1【解析】本题考查了根的判别式，要知道一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根利用根的判别式进行计算，令0即可得到关于k的不等式，解答即可关于x的方程x22x+k0有两个不相等的实数根，0，即44k0，k121.（2019年江西省）设x1，x2是一元二次方程x2x10的两根，则x1+x2+x1x2【答案】0 【解析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x
20、2，则x1+x2，x1x2直接根据根与系数的关系求解x1、x2是方程x2x10的两根，x1+x21，x1x21，x1+x2+x1x211022.（2019年四川省攀枝花市）已知x1，x2是方程x22x10的两根，则x12+x22 【答案】6 【解析】根据根与系数的关系变形后求解x1、x2是方程x22x10的两根，x1+x22，x1x21，x12+x22（x1+x2）22x1x2222（1）623.（2019年四川省成都市）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k10的两个实数根，且x12+x22x1x213，则k的值为 【答案】-2 【解析】根据“x1，x2是关于x的一元二次方程x2
21、+2x+k10的两个实数根，且x12+x22x1x213”，结合根与系数的关系，列出关于k的一元一次方程，解之即可根据题意得：x1+x22，x1x2k1，+x1x23x1x243（k1）1324.（2019年甘肃省天水市）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元则该地区居民年人均收入平均增长率为 （用百分数表示）【答案】40%【解析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得该地区居民年人均收入平均增长率，本题得以解决设该地区居民年人均收入平均增长率为x，20000（1+x）239200，解得，x1
22、0.4，x22.4（舍去），该地区居民年人均收入平均增长率为40%25.（2019年四川省宜宾市）某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程是 【答案】65（110%）（1+5%）50（1x）26550【解析】设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据利润售价成本价结合半年以后的销售利润为（6550）元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解设每个季度平均降低成本的百分率为x，依题意，得：65（110%）（1+5%）50（1x）2655
23、026.（2019年江苏省连云港市）已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2c0有两个相等的实数根，则+c的值等于 【答案】2 【解析】根据“关于x的一元二次方程ax2+2x+2c0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于a和c的等式，整理后即可得到的答案根据题意得：44a（2c）0，整理得：4ac8a4，4a（c2）4，方程ax2+2x+2c0是一元二次方程，a0，等式两边同时除以4a得：c2，则+c227.（2019年浙江省嘉兴市）在x2+40的括号中添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根【答案】4x【解析】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别
24、式（b24ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式 有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根上述结论反过来也成立要使方程有两个相等的实数根，即0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数即可要使方程有两个相等的实数根，则b24acb2160得b4故一次项为4x28.（2019年山东省枣庄市）已知关于x的方程ax2+2x30有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 【答案】a且a0【分析】由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根的判别式是b24ac0即可进行解答【解答】
25、解：由关于x的方程ax2+2x30有两个不相等的实数根得b24ac4+43a0，解得a则a且a0三、解答题29.（2019年浙江省绍兴市）x为何值时，两个代数式x2+1，4x+1的值相等？【答案】x10，x24【解析】考查了实数的运算，因式分解法解一元二次方程因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）利用题意得到x2+14x+1，利用因式分解法解方程即可x2+14x+1，x24x0，x（x4）0，x1
26、0，x2430. (2019黑龙江绥化)已知关于x的方程kx23x+10有实数根.(1)求k的取值范围;(2)若该方程有两个实数根,分别为x1和x2,当x1+x2+x1x24时,求k的值.【答案】见解析。【解析】根据根的判别式列出不等式,即可求得k的范围;由根与系数的关系,得到方程,即可解得k的值.(1)当k0时,方程是一元一次方程,有实数根,符合题意;当k0时,方程是一元二次方程,由题意得94k0,k,综上所述,k的取值范围是k.(2)x1和x2是该方程的两个实数根,x1+x2,x1x2,x1+x2+x1x24,+4,解得k1,经检验,k1是原分式方程的解,且1,k的值为1.31. （ 20
27、19湖北十堰）已知于x的元二次方程x26x+2a+50有两个不相等的实数根x1，x2（1）求a的取值范围；（2）若x12+x22x1x230，且a为整数，求a的值【答案】（1）a2 （2）a的值为1，0，1【解析】根据根的判别式，可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围；由根与系数的关系，用a表示出两根积、两根和，由已知条件可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围，再求其值即可（1）关于x的一元二次方程x26x+2a+50有两个不相等的实数根x1，x2，0，即（6）24（2a+5）0，解得a2；（2）由根与系数的关系知：x1+x26，x1x22a+5，x1，x2满足x12+x22x1x23
28、0，（x1+x2）23x1x230，363（2a+5）30，a-32，a为整数，a的值为1，0，132. （2019湖北孝感）已知关于x的一元二次方程x22（a1）x+a2a20有两个不相等的实数根x1，x2（1）若a为正整数，求a的值；（2）若x1，x2满足x12+x22x1x216，求a的值【答案】（1）a1，2 （2）a1【解析】根据关于x的一元二次方程x22（a1）x+a2a20有两个不相等的实数根，得到2（a1）24（a2a2）0，于是得到结论；根据x1+x22（a1），x1x2a2a2，代入x12+x22x1x216，解方程即可得到结论（1）关于x的一元二次方程x22（a1）x+a
29、2a20有两个不相等的实数根，2（a1）24（a2a2）0，解得：a3，a为正整数，a1，2；（2）x1+x22（a1），x1x2a2a2，x12+x22x1x216，（x1+x2）2x1x216，2（a1）23（a2a2）16，解得：a11，a26，a3，a133.（2019江苏徐州）如图所示，有一块矩形硬纸板，长30cm,宽20cm.在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子。当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2？【答案】5【解析】根据题目给定的相等关系，列出一元二次方程，解这个方程取舍后得出实际问题的解.设剪去的小正方形的
30、边长为xcm，则根据题意有：(30-2x)(20-2x)=200，解得x1=5，x2=20，当x=20时，20-2x0，所以x=5.所以，当剪去小正方形的边长为5cm时，长方体盒子的底面积为200cm2.34.（2019湖南衡阳）关于x的一元二次方程x23x+k0有实数根（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m1）x2+x+m30与方程x23x+k0有一个相同的根，求此时m的值【答案】见解析。【解析】（1）根据题意得（3）24k0，解得k；（2）k的最大整数为2，方程x23x+k0变形为x23x+20，解得x11，x22，一元二次方程（m1）x2+x+m30与
31、方程x23x+k0有一个相同的根，当x1时，m1+1+m30，解得m；当x2时，4（m1）+2+m30，解得m1，而m10，m的值为35. （2019广西贵港）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册（1）求这两年藏书的年均增长率；（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？【答案】见解析。【解析】根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增长率；
32、根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几（1）设这两年藏书的年均增长率是x，5（1+x）27.2，解得，x10.2，x22.2（舍去），答：这两年藏书的年均增长率是20%；（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有（7.25）20%0.44（万册），到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：100%10%，答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%36. （2019湖南长沙）近日，长沙市教育局出台长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线
33、上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？【答案】见解析。【解析】设增长率为x，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”可列方程求解；用2.42（1+增长率），计算即可求解（1）设增长率为x，根据题意，得2（1+x）22.42，解得x12.1（舍去），x20.110%答：增长率为10%（2）2.42（1+0.1）2.662（万人）答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次37. （
34、2019湖南邵阳）2019年1月14日，国新办举行新闻发布会，海关总署新闻发言人李魁文在会上指出：在2018年，我国进出口规模创历史新高，全年外贸进出口总值为30万亿元人民币有望继续保持全球货物贸易第一大国地位预计2020年我国外贸进出口总值将达36.3万亿元人民币求这两年我国外贸进出口总值的年平均增长率【答案】10%【解析】根据a（1x）2b增长率公式建立方程30（1+x）236.3，解方程即可设平均增长率为x，根据题意列方程得30（1+x）236.3解得x10.1，x22.1（舍）答：我国外贸进出口总值得年平均增长率为10%38.（2019湖北黄石）已知关于x的一元二次方程x26x+（4m
35、+1）0有实数根（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为x1.x2，且|x1x2|4，求m的值【答案】见解析。【解析】根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；由根与系数的关系可得出x1+x26，x1x24m+1，结合|x1x2|4可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值（1）关于x的一元二次方程x26x+（4m+1）0有实数根，（6）241（4m+1）0，解得：m2（2）方程x26x+（4m+1）0的两个实数根为x1.x2，x1+x26，x1x24m+1，（x1x2）2（x1+x2）24x1x242，即3216m16，解得：m1
36、39. （2019南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？【答案】扩充后广场的长为90m，宽为60m【解析】设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，根据矩形的面积公式和总价单价数量列出方程并解答设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，依题意得：3x2x100+30（3x2x5040）642000解得x130，x230（舍去）所以3x90，2x6040. （2019山东省德州
37、市 ）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同（1）求进馆人次的月平均增长率；（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由【答案】见解析。【解析】一元二次方程应用。先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于608，列方程求解；根据所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与500比较大小即可（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：128+128（1+x）+128（1+x）2608化简得：4x2+12x70（2x1）（2x+7）0，x0.550%或x3.5（舍）答：进馆人次的月平均增长率为50%（2）进馆人次的月平均增长率为50%，第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3128432500答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次
