1、 第18讲 二次函数 第3课时1. 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_0.5_米2 如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h30t5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是_6_s. 3某种火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h5t2150t10表示经过_15_s，火箭达到它的最高点4. 向空中发射一枚炮弹，经
2、x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为yax2bxc(a40)若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是(B)A第8秒 B第10秒 C第12秒 D第15秒5. 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为(C)A50 m B100 m C160 m D200 m6. 一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是yx2x，铅球运行路线如图则铅球推出的水平距离为_10_m.7. 小
3、汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系式为sv2，一辆小汽车的速度为100 km/h，在前方80 m处停放一辆故障车，此时刹车_会_有危险(选填“会”或“不会”)8某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m设饲养室长为x(单位：m)，占地面积为y(单位：m2)(1)如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？(2)如图2，现要求在图中所示位置留2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确解：(1)yx(x25)2，当x25时，
4、占地面积y最大即当饲养室长为25 m时，占地面积最大(2)yx(x26)2338，当x26时，占地面积y最大即当饲养室长为26 m时，占地面积最大262512，小敏的说法不正确9. 某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价格x(元)满足一次函数，其图象如图所示(1)每天的销售数量m(件)与每件的销售价格x(元)的函数解析式是_mx100(0x100)_；(2)求该商场每天销售这种商品的销售利润y(元)与每件的销售价格x(元)之间的函数解析式；(3)每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加？解：(2)每件商品的利润为
5、x50，所以每天的利润为：y(x50)(x100)，函数解析式为yx2150x5 000.(3)x75，在50x75元时，每天的销售利润随着x的增大而增大10. 某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；(2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；(3)一天订住多少个房间时，宾馆
6、的利润最大？最大利润是多少元？解：(1)y50x(0x160，且x是10的整数倍)(2)w(180x20)x234x8000.(3)wx234x8 000(x170)210890，当x170时，w随x增大而增大，但0x160，当x160时，w最大10 880.当x160时，y50x34.答：(略)11. 用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架(如图中的一种)设竖档ABx米，请根据以下图案回答下列问题：(题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD，AB平行)(1)在图中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？(2)在图
7、中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？(3)在图中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？解：(1)由题意，BC的长为(4x)米，依题意得x(4x)3，即x24x30.解得x11，x23.即当AB的长度为1米或3米时，矩形框架ABCD的面积为3平方米(2)Sxx24x3.当x时，S有最大值3.即当x为时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积是3平方米(3)Sxx2x.0，当x时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积是平方米12. 如图，在平面直角坐标系中，ABC为等腰
8、直角三角形，ACB90，抛物线yx2bxc经过A，B两点，其中点A，C的坐标分别为(1，0)，(4，0)，抛物线的顶点为点D.(1)求抛物线的解析式；(2)点E是直角三角形ABC斜边AB上的一个动点(不与A，B重合)，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段FE的长度最大时，求点E的坐标；(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在一点P，使PEF是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)由已知，可得A(1，0)，B(4，5)二次函数yx2bxc的图象经过点A(1，0)，B(4，5)，有解得抛物线的解析式为yx22x3.(2)如图1，设直线AB解析式
9、为ykxb，直线AB经过点A(1，0)，B(4，5)，解得直线AB的解析式为yx1.设点E的坐标为(t，t1)，图1点F在抛物线上，且EFx轴，设点F的坐标为(t，t22t3)FEt22t3(t1)t23t4.当t时，FE取最大值，此时，点E的坐标为.(3)存在点P，能使PEF是以EF为直角边的直角三角形，理由如下：如图2，过点E作直线aEF交抛物线于点P.设点P(m，m22m3)，由(2)可知E，则有m22m3.解得m11，m21.P1，P2.如图2，过点F作直线bEF，交抛物线于点P3. 设P3(n，n22n3)，图2由(2)可知点F，则有n22n3.解得n1，n2.P3，P4(舍去)综上
10、所述，符合条件的点P的坐标有：P1，P2，P3，能使PEF是以EF为直角边的直角三角形13. 如图，已知抛物线经过A(2，0)，B(3，3)及原点O，顶点为C.(1)求抛物线的解析式；(2)若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A，O，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；(3)P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)抛物线过原点O，可设抛物线的解析式为yax2bx.将A(2，0)，B(3，3)代入，得解得抛物线的解析式为yx22x.(2)当AO为
11、边时，以A，O，D，E为顶点的四边形是平行四边形DEAO，且DEAO2.点E在对称轴x1上，点D的横坐标为1或3.即符合条件的点D有两个，分别记为D1，D2.而当x1时，y3；当x3时，y3.D1(1，3)，D2(3，3)当AO为对角线时，则DE与AO互相平分又点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为1，由对称性知，符合条件的点D只有一个，即顶点C(1，1)综上所述，符合条件的点D共有三个，分别为D1(1，3)，D2(3，3)，C(1，1)(3)存在B(3，3)，C(1，1)，根据勾股定理得BO218，CO22，BC220.BO2CO2BC2.BOC是直角三角形假设存在点P，使得以P，M，A为
12、顶点的三角形与RtBOC相似设P(x，y)，由题意知x0，y0，且yx22x.若AMPBOC，则.则，即x23(x22x)解得x1，x22(舍去)当x时，y，即P.若PMABOC，则.则，即x22x3(x2)，解得x13，x22(舍去)当x3时，y15，即P(3，15)综上所述，符合条件的点P有两个，分别是P1，P2(3，15)14. 已知一元二次方程x24x30的两根是m，n，且mn.如图，若抛物线yx2bxc的图象经过点A(m，0)，B(0，n)(1)求抛物线的解析式；(2)若(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C.根据图象回答，当x取何值时，抛物线的图象在直线BC的上方？(3)点P在线段
13、OC上，作PEx轴与抛物线交于点E，若直线BC将CPE的面积分成相等的两部分，求点P的坐标解：(1)x24x30的两个根为x11，x23.A点坐标为(1，0)，B点坐标为(0，3)又抛物线yx2bxc的图象经过点A(1，0)，B(0，3)，解得抛物线的解析式为yx22x3.(2)作直线BC，由得yx22x3.抛物线yx22x3与x轴的另一交点为C，令x22x30.解得：x11，x23.C点坐标为(3，0)由图可知：当3x0时，抛物线的图象在直线BC的上方(3)设直线BC交PE于F，P点坐标为(a，0)，则E点坐标为(a，a22a3)直线BC将CPE的面积分成相等的两部分，F是线段PE的中点即F点坐标是.直线BC过点B(0，3)和点C(3，0)，易得直线BC的解析式为yx3.点F在直线BC上，a3.解得a11，a23(此时点P与点C重合，舍去)，P点的坐标是(1，0)
