1、二次函数能力提升1、已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）（1）若点（2，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1x20时，（x1x2）（y1y2）0；当0x1x2时，（x1x2）（y1y2）0以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且ABC有一个内角为60求抛物线的解析式；若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分MPN2、如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）点P是直线BC上方的抛物线上一动点（1）求二次函
2、数y=ax2+2x+c的表达式；（2）连接PO，PC，并把POC沿y轴翻折，得到四边形POPC若四边形POPC为菱形，请求出此时点P的坐标；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积3、已知抛物线y=x2+mx2m4（m0）（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在P上试判断：不论m取任何正数，P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；若点C关于直线x=m2的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE
3、，BDE的周长记为l，P的半径记为r，求lr的值4、如图，已知顶点为C（0，3）的抛物线y=ax2+b（a0）与x轴交于A，B两点，直线y=x+m过顶点C和点B（1）求m的值；（2）求函数y=ax2+b（a0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M，使得MCB=15？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由5、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PHx轴于点H，与BC交于点M，连接PC求线段PM的最大值；当PCM是以PM为一腰的等腰三
4、角形时，求点P的坐标6、1、在平面直角坐标系中，已知抛物线C：yax2+2x1（a0）和直线l：ykx+b，点A（3，3），B（1，1）均在直线l上（1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；（2）当a1，二次函数yax2+2x1的自变量x满足mxm+2时，函数y的最大值为4，求m的值；（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围7、如图，已知抛物线y=ax2+bx+C（a0）的对称轴为直线x=1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），C（0，3）（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物成的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=1
5、上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标8、如图，已知抛物线经过点A（1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线于点M（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）已知点F（0，12），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若
6、不存在，请说明理由9、在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+53x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，2）点E是直线y=13x+2与二次函数图象在第一象限内的交点（1）求二次函数的解析式及点E的坐标（2）如图，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标（3）如图，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标10、如图，已知抛物线yx2+bx+c经过点A（1，0）、B（5，0）（1）求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标；（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积；（3）定点D（0，m）在y轴上
7、，若将抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点P在新的抛物线上运动，求定点D与动点P之间距离的最小值d（用含m的代数式表示）11、如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，4）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点当BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标；若BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围12、如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点坐
8、标为（1，0），OC=2，OB=3，点D为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标；（3）若抛物线上有且仅有三个点M1、M2、M3使得M1BC、M2BC、M3BC的面积均为定值S，求出定值S及M1、M2、M3这三个点的坐标13、已知抛物线y=a（x1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，14），且BDC=90，求点C的坐标；（3）如图，直线y=kx+4k与抛物线交于P、Q两点求证：PDQ=90；求PDQ面积的最小值14、如图，已知抛物线y=-x2+bx+
9、c与x轴交于A、B两点，AB4，交y轴于点C，对称轴是直线x=1.（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x=1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标；（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q.设运动时间为t(t0)秒.若AOC与BMN相似，请直接写出t的值；BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由. (备用图1）（备用图2）15、在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上（1）求点B的坐标（用含的式子表示）；（2）
10、求抛物线的对称轴；（3）已知点，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围16、已知抛物yax2+bx+c（b0）与x轴只有一个公共点（1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式；（2）设A为抛物线上的一定点，直线l：ykx+1k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y1，垂足为点D当k0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且ABC为等腰直角三角形求点A的坐标和抛物线的解析式；证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线17、已知抛物线ymx2和直线yx+b都经过点M（2，4），点O为坐标原点，点P为抛物线上的动点，直线yx+b与x轴、y轴分别
11、交于A、B两点（1）求m、b的值；（2）当PAM是以AM为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）满足（2）的条件时，求sinBOP的值18、 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A（4，3），与y轴相交于点B（0，-5），对称轴为直线l，点M是线段AB的中点（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标19、如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（1，0），且OAOC4OB，抛物线yax2+bx+c（a0）图象经过A，B，C三点（1）求A，C两点的坐标
12、；（2）求抛物线的解析式；（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PDAC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值20、在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D，已知A（1，4），B（3，0）（1）求抛物线对应的二次函数表达式；（2）探究：如图1，连接OA，作DEOA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由；（3）应用：如图2，P（m，n）是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n1，连接PA、PC，在线段PC上确定一点M，使AN平分四边形ADCP的面积，
13、求点N的坐标提示：若点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则线段AB的中点坐标为（，）21、已知抛物线y2x2+（b2）x+（c2020）（b，c为常数）（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围；（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（mn），当mxn时，恰好，求m，n的值22、已知抛物线yax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点（1）抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ；（2）如图1，连接OP交BC于点D，当SCPD：SBPD1：2时，请求
14、出点D的坐标；（3）如图2，点E的坐标为（0，1），点G为x轴负半轴上的一点，OGE15，连接PE，若PEG2OGE，请求出点P的坐标；（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由二次函数能力提升答案1、已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）（1）若点（2，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1x20时，（x1x2）（y1y2）0；当0x1x2时，（x1x2）（y1y2）0以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且ABC有一个内角
15、为60求抛物线的解析式；若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分MPN【解答】解：（1）抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2），c=2又点（2，0）也在该抛物线上，a（2）2+b（2）+c=0，2a2b+2=0（a0）（2）当x1x20时，（x1x2）（y1y2）0，x1x20，y1y20，当x0时，y随x的增大而增大；同理：当x0时，y随x的增大而减小，抛物线的对称轴为y轴，开口向下，b=0OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B、C，ABC为等腰三角形，又ABC有一个内角为60，ABC为等边三角形设线段BC与y轴交于点D，则BD=CD，且OCD=30，又OB=OC=
16、OA=2，CD=OCcos30=3，OD=OCsin30=1不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为（3，1）点C在抛物线上，且c=2，b=0， 3a+2=1，a=1，抛物线的解析式为y=x2+2证明：由可知，点M的坐标为（x1，x12+2），点N的坐标为（x2，x22+2）直线OM的解析式为y=k1x（k10）O、M、N三点共线， x10，x20，且-x12+2x1=-x22+2x2，x1+2x1=x2+2x2，x1x2=2(x1-x2)x1x2，x1x2=2，即x2=2x1，点N的坐标为（2x1，4x12+2）设点N关于y轴的对称点为点N，则点N的坐标为（2x1，4x12+2）点P是点O关于点
17、A的对称点， OP=2OA=4，点P的坐标为（0，4）设直线PM的解析式为y=k2x+4，点M的坐标为（x，x12+2），x12+2=k2x1+4， k2=x12+2x1，直线PM的解析式为y=x12+2x1+4x12+2x12x1+4=-2(x12+2)+4x12x12=4x12+2，点N在直线PM上， PA平分MPN2、如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）点P是直线BC上方的抛物线上一动点（1）求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；（2）连接PO，PC，并把POC沿y轴翻折，得到四边形POPC若四边形POPC为菱形，请求出此时
18、点P的坐标；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积【解答】解：（1）将点B和点C的坐标代入函数解析式，得&9a+6+c=0&c=3，解得&a=-1&c=3，二次函数的解析是为y=x2+2x+3；（2）若四边形POPC为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，如图1，连接PP，则PECO，垂足为E，C（0，3）， E（0，32），点P的纵坐标32，当y=32时，即x2+2x+3=32，解得x1=2+102，x2=2-102（不合题意，舍），点P的坐标为（2+102，32）；（3）如图2，P在抛物线上，设P（m，m2+2m+3），设直线B
19、C的解析式为y=kx+b，将点B和点C的坐标代入函数解析式，得&3k+3=0&b=3，解得&k=-1&b=3直线BC的解析为y=x+3，设点Q的坐标为（m，m+3），PQ=m2+2m+3（m+3）=m2+3m当y=0时，x2+2x+3=0，解得x1=1，x2=3，OA=1，AB=3（1）=4，S四边形ABPC=SABC+SPCQ+SPBQ=12ABOC+12PQOF+12PQFB=1243+12（m2+3m）3=32（m32）2+758，当m=32时，四边形ABPC的面积最大当m=32时，m2+2m+3=154，即P点的坐标为（32，154）当点P的坐标为（32，154）时，四边形ACPB的最
20、大面积值为7583、已知抛物线y=x2+mx2m4（m0）（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在P上试判断：不论m取任何正数，P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；若点C关于直线x=m2的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，BDE的周长记为l，P的半径记为r，求lr的值【解答】解：（1）令y=0，x2+mx2m4=0，=m242m4=m2+8m+16，m0， 0，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）令y=0，x2+mx2m4=0，（x2）
21、x+（m+2）=0，x=2或x=（m+2），A（2，0），B（m+2），0），OA=2，OB=m+2，令x=0，y=2（m+2），C（0，2（m+2），OC=2（m+2），通过定点（0，1）理由：如图，点A，B，C在P上，OCB=OAF，在RtBOC中，tanOCB=OBOC=m+22(m+2)=12，在RtAOF中，tanOAF=OFOA=OF2=12，OF=1，点F的坐标为（0，1）；如图1，由知，点F（0，1），D（0，1）， 点D在P上，点E是点C关于抛物线的对称轴的对称点，DCE=90，DE是P的直径，DBE=90，BED=OCB，tanBED=12，设BD=n，在RtBDE中，ta
22、nBED=BDBE=nBE=12，BE=2n，根据勾股定理得，DE=BD2+BE2=5n，l=BD+BE+DE=（3+5）n，r=12DE=52n，lr=(3+5)n52n=10+6554、如图，已知顶点为C（0，3）的抛物线y=ax2+b（a0）与x轴交于A，B两点，直线y=x+m过顶点C和点B（1）求m的值；（2）求函数y=ax2+b（a0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M，使得MCB=15？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）将（0，3）代入y=x+m，可得m=3；（2）将y=0代入y=x3得：x=3，所以点B的坐标为（3，0），将（0，3）、（3，0）代入
23、y=ax2+b中，可得：&b=-3&9a+b=0，解得：&a=13&b=-3，所以二次函数的解析式为：y=13x23；（3）存在，分以下两种情况：若M在B上方，设MC交x轴于点D，则ODC=45+15=60，OD=OCtan30=3，设DC为y=kx3，代入（3，0），可得：k=3，联立两个方程可得：&y=3x-3&y=13x2-3，解得：&x1=0&y1=-3，&x2=33&y2=6，所以M1（33，6）；若M在B下方，设MC交x轴于点E，则OEC=4515=30，OE=OCtan60=33，设EC为y=kx3，代入（33，0）可得：k=33，联立两个方程可得：&y=33x-3&y=13x2
24、-3，解得：&x1=0&y1=-3，&x2=3&y2=-2，所以M2（3，2），综上所述M的坐标为（33，6）或（3，2）5、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PHx轴于点H，与BC交于点M，连接PC求线段PM的最大值；当PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式，得&a-b+c=0&9a+3b+c=0&c=-3，解得&a=1&b=-2&c=-3，这个二次函数的表达式y=x22x3；（
25、2）设BC的解析是为y=kx+b，将B，C的坐标代入函数解析式，得&3k+b=0&b=-3，解得&k=1&b=-3，BC的解析是为y=x3，设M（n，n3），P（n，n22n3），PM=（n3）（n22n3）=n2+3n=（n32）2+94，当n=32时，PM最大=94；当PM=PC时，（n2+3n）2=n2+（n22n3+3）2，解得n1=0（不符合题意，舍），n2=2（不符合题意，舍），n3=32，n22n3=242， P（32，242）当PM=MC时，（n2+3n）2=n2+（n3+3）2，解得n1=0（不符合题意，舍），n2=7（不符合题意，舍），n3=2，n22n3=443=3，P（
26、2，3）；综上所述：P（2，3）或（32，242）6、1、在平面直角坐标系中，已知抛物线C：yax2+2x1（a0）和直线l：ykx+b，点A（3，3），B（1，1）均在直线l上（1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；（2）当a1，二次函数yax2+2x1的自变量x满足mxm+2时，函数y的最大值为4，求m的值；（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围解：（1）点A（3，3），B（1，1）代入ykx+b， yx；联立yax2+2x1与yx，则有2ax2+3x+10，抛物线C与直线l有交点， 98a0，a且a0；（2）根据题意可得，yx2+2x1，a0， 抛物线
27、开口向下，对称轴x1，mxm+2时，y有最大值4，当y4时，有x2+2x14， x1或x3，在x1左侧，y随x的增大而增大，xm+21时，y有最大值4， m3；在对称轴x1右侧，y随x最大而减小， xm3时，y有最大值4；综上所述：m3或m3；（3）a0时，x1时，y1，即a2；a0时，x3时，y3，即a，直线AB的解析式为yx， 抛物线与直线联立：ax2+2x1x，ax2+x+0，2a0， a，a的取值范围为a或a2；7、如图，已知抛物线y=ax2+bx+C（a0）的对称轴为直线x=1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），C（0，3）（1）若直线y=mx+n经过B
28、、C两点，求直线BC和抛物成的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标【解答】解：（1）依题意得：&-b2a=-1&a+b+c=0&c=3，解之得&a=-1&b=-2&c=3，抛物线解析式为y=x22x+3对称轴为x=1，且抛物线经过A（1，0），把B（3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得&-3m+n=0&n=3，解之得&m=1&n=3，直线y=mx+n的解析式为y=x+3；（2）设直线BC与对称轴x=1的交点为M，则此时MA+MC的
29、值最小把x=1代入直线y=x+3得，y=2，M（1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（1，2）；（3）设P（1，t），又B（3，0），C（0，3），BC2=18，PB2=（1+3）2+t2=4+t2，PC2=（1）2+（t3）2=t26t+10，若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t26t+10解之得：t=2；若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t26t+10=4+t2解之得：t=4，若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t26t+10=18解之得：t1=3-172，t2=3-172；综上所述P的坐标为（1
30、，2）或（1，4）或（1，3+172） 或（1，3-172）8、如图，已知抛物线经过点A（1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线于点M（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）已知点F（0，12），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由抛物线过点A（1，0）、B（4，0）可设解析式为y=a
31、（x+1）（x4），将点C（0，2）代入，得4a=2，解得：a=12，则抛物线解析式为y=12（x+1）（x4）=12x2+32x+2；（2）由题意知点D坐标为（0，2），设直线BD解析式为y=kx+b，将B（4，0）、D（0，2）代入，得&4k+b=0&b=-2，解得&k=12&b=-2，直线BD解析式为y=12x2，QMx轴，P（m，0），Q（m，12m2+32m+2）、M（m，12m2），则QM=12m2+32m+2（12m2）=12m2+m+4，F（0，12）、D（0，2）， DF=52，QMDF， 当12m2+m+4=52时，四边形DMQF是平行四边形，解得：m=1（舍）或m=3，即
32、m=3时，四边形DMQF是平行四边形；（3）如图所示：QMDF， ODB=QMB，分以下两种情况：当DOB=MBQ=90时，DOBMBQ，则DOOB=MBBQ=24=12，MBQ=90， MBP+PBQ=90，MPB=BPQ=90， MBP+BMP=90，BMP=PBQ， MBQBPQ，BMBQ=BPPQ，即12=4-m-12m2+32m+2， 解得：m1=3、m2=4，当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，m=3，点Q的坐标为（3，2）；当BQM=90时，此时点Q与点A重合，BODBQM，此时m=1，点Q的坐标为（1，0）；综上，点Q的坐标为（3，2）或（1，0）时，以
33、点B、Q、M为顶点的三角形与BOD相似9、在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+53x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，2）点E是直线y=13x+2与二次函数图象在第一象限内的交点（1）求二次函数的解析式及点E的坐标（2）如图，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标（3）如图，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标【解答】解：（1）把C（0，2），D（4，2）代入二次函数解析式得：&16a+203+c=-2&c=2，解得：&a=-23&c=2，即二次函数解析式为y=23x2+53x+2，联立一次函数解析
34、式得：&y=-13x+2&y=-23x2+53x+2，消去y得：13x+2=23x2+53x+2，解得：x=0或x=3，则E（3，1）；（2）如图，过M作MHy轴，交CE于点H，设M（m，23m2+53m+2），则H（m，13m+2），MH=（23m2+53m+2）（13m+2）=23m2+2m，S四边形COEM=SOCE+SCME=1223+12MH3=m2+3m+3，当m=ba=32时，S最大=214，此时M坐标为（32，3）；（3）连接BF，如图所示，当23x2+53x+20=0时，x1=5+734，x2=5-734， OA=73-54，OB=73+54，ACO=ABF，AOC=FOB，
35、 AOCFOB，OAOF=OCOB，即73-54OF=273+54，解得：OF=32，则F坐标为（0，32）10、如图，已知抛物线yx2+bx+c经过点A（1，0）、B（5，0）（1）求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标；（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积；（3）定点D（0，m）在y轴上，若将抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点P在新的抛物线上运动，求定点D与动点P之间距离的最小值d（用含m的代数式表示）解：（1）函数的表达式为：y（x+1）（x5）（x24x5）x2x，点M坐标为（2，3）；（2）当x8时，y（x+1）（x5）
36、9，即点C（8，9），S四边形AMBCAB（yCyD）6（9+3）36；（3）y（x+1）（x5）（x24x5）（x2）23，抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，则新抛物线表达式为：yx2，则定点D与动点P之间距离PD，PD有最小值，当x23m时，PD最小值d11、如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，4）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点当BCD是以BC为直角边的直角三角形时
37、，直接写出点D的坐标；若BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围【解答】解：（1）把B（4，0），C（0，4）代入y=x2+bx+c，得&16+4b+c=0&c=4，解得 &b=-5&c=4，抛物线的解析式为y=x25x+4；（2）易得BC的解析式为y=x+4，直线y=x+m与直线y=x平行， 直线y=x+4与直线y=x+m垂直，CEF=90， ECF为等腰直角三角形，作PHy轴于H，PGy轴交BC于G，如图1，EPG为等腰直角三角形，PE=22PG，设P（t，t25t+4）（1t4），则G（t，t+4），PF=2PH=2t，PG=t+4（t25t+4）=t2+4t，PE=22PG
38、=22t2+22t，PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=2t2+42t+2t=2t2+52t=2（t52）2+2524，当t=52时，PE+EF的最大值为2524；（3）如图2，抛物线的对称轴为直线x=52，设D（52，y），则BC2=42+42=32，DC2=（52）2+（y4）2，BD2=（452）2+y2=94+y2，当BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，BC2+DC2=BD2，即32+（52）2+（y4）2=94+y2，解得y=5，此时D点坐标为（52，132）；当BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，BC2+DB2=DC2，即32+94+y2=（52
39、）2+（y4）2，解得y=1，此时D点坐标为（52，32）；综上所述，符合条件的点D的坐标是（52，132）或（52，32）；当BCD是以BC为斜边的直角三角形时，DC2+DB2=BC2，即（52）2+（y4）2+94+y2=32，解得y1=4+312，y2=4-312，此时D点坐标为（52，4+312）或（52，4-312），所以BCD是锐角三角形，点D的纵坐标的取值范围为4+312y132或32y4-31212、如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点坐标为（1，0），OC=2，OB=3，点D为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶
40、点的四边形是平行四边形，求P点坐标；（3）若抛物线上有且仅有三个点M1、M2、M3使得M1BC、M2BC、M3BC的面积均为定值S，求出定值S及M1、M2、M3这三个点的坐标【解答】解：（1）由OC=2，OB=3，得到B（3，0），C（0，2），设抛物线解析式为y=a（x+1）（x3），把C（0，2）代入得：2=3a，即a=23，则抛物线解析式为y=23（x+1）（x3）=23x2+43x+2；（2）抛物线y=23（x+1）（x3）=23x2+43x+2=23（x1）2+83，D（1，83），当四边形CBPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（4，23）；当四边形CDBP是平
41、行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（2，23）；当四边形BCPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（2，143）；（3）设直线BC解析式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，2）代入得&3k+b=0&b=2，解得&k=-23&b=2， y=23x+2，设与直线BC平行的解析式为y=23x+b，联立得：&y=-23x+b&y=-23x2+43x+2，消去y得：2x26x+3b6=0，当直线与抛物线只有一个公共点时，=368（3b6）=0，解得：b=72，即y=23x+72，此时交点M1坐标为（32，52）；可得出两平行线间的距离为1313，同理可得另一条与BC平
42、行且平行线间的距离为1313的直线方程为y=23x+12，联立解得：M2（3-322，212），M3（3+322，212），此时S=113、已知抛物线y=a（x1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，14），且BDC=90，求点C的坐标；（3）如图，直线y=kx+4k与抛物线交于P、Q两点求证：PDQ=90；求PDQ面积的最小值【解答】解：（1）将点（3，1）代入解析式，得4a=1，解得a=14，所以抛物线解析式为y=14（x1）2；（2）由（1）知点D坐标为（1，0），设点C的坐标为（x0，y0），（x01、y00），则y0=14（x01）2，如图1，过点C作CFx轴，BOD=DFC=90、DCF+CDF=90，BDC=90， BDO+CDF=90，BDO=DCF，BDODCF，BODO=DFCF， 14=|x0-1|y0|=114(x0-1)，解得：x0=17，此时y0=64，点C的坐标为（17，64）（3）证明：设点P的坐标为（x1，y1），点Q为（x
