1、6.3 实数,第一课时,第二课时,人教版 数学 七年级 下册,1,实数的概念、分类、与数轴的关系,第一课时,返回,2,毕达哥拉斯有一句名言，叫做“万物皆数”，他把数的概念神秘化了，错误地认为：宇宙间的一切现象，都可以归结为整数或者整数的比；除此之外，就不再有别的什么东西了 有一天，毕达哥拉斯的一个学生找到了一种既不是整数，又不是整数之比的怪东西这个学生叫希伯斯，他研究了一个边长为1的正方形，发现这个正方形对角线的长度是 ,既不是整数，也不是整数的比他很惶惑：根据老师的看法，这应该是世界上根本不存在的东西呀！希伯斯把这件事告诉了老师,毕达哥拉斯无法解释这种怪现象，又不敢承认它是一种新的数，因为他
2、的全部“宇宙”理论，都奠基在整数的基础上他下令封锁消息，不准希伯斯再谈论，并且警告说，不要忘记了入学时立下的誓言,希伯斯很不服气他想，不承 认这是数，岂不等于是说正方形的对 角线没有长度吗？为了坚持真理， 捍卫真理，希伯斯将自己的发现传扬 了开去直到最近几百年，数学家们 才弄清楚，它确实不是整数，也不是 分数，而是一种新的数，那是什么呢？,1. 了解实数的意义，并能将实数按要求进行准确的分类.,2. 熟练掌握实数大小的比较方法.,素养目标,3. 了解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示无理数.,（1）请把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？任何有理数都能写成有限小数和无限循环小数吗
3、？ （2）请用计算器把 和 写成小数的形式，你有什么发现？像这样的数我们把它叫什么数？你还能说出一些这样的数吗？,7,事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数.,反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.,无限不循环的小数 - 叫做无理数.,你能举出一些无理数吗？,0.1010010001两个1之间依次多1个0,168.3232232223两个3之间依次多1个2,=1.41421356237309504880168,=1.70997594667669698935310,【思考】我们将有理数和无理数统称为实数，仿照有理数的分类，据此你能给实数分类吗？,无理数： 无限不循环小数
4、,有理数： 有限小数或无限循环小数,实 数,（1）按定义分,分数,整数,女孩子,男孩子,妈妈,含开方开不尽的数,有规律但不循环的小数,含有的数,负实数,正实数,数实,正有理数,负有理数,（2）按性质分,0,正无理数,负无理数,（相邻两个3之间的7的个数逐次加1）,有理数集合,无理数集合,1.把下列各数分别填入相应的集合内：,有理数：,负实数：,正实数：,例1 将下列各数分别填入下列相应的括号内：,13,2. 把下列各数填入相应的集合内：,（1）有理数集合：,（2）无理数集合：,（3）整数集合：,（4）负数集合：,（5）分数集合：,（6）实数集合：,如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚
5、动一周，圆上一点从原点到达A点，则点A的坐标为多少？,无理数 可以用数轴上的点来表示.,A,问题1 无理数能在数轴上表示出来吗？,-,问题2（1）你能在数轴上表示出 吗？,（2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴能填满吗？,B,A,C,在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大.,数轴上的点有些 表示有理数，有 些表示无理数.,每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数.即实数和数轴上的点是一一对应的.,例2 如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为-1和 ，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数,解：数轴上A，B两点表示的数分别为-1和 ， 点
6、B到点A的距离为1 ，则点C到点A的距离为1+ ， 设点C表示的实数为x，则点A到点C的距离为-1-x， -1-x1 ， x-2-,3.如果以2为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示_，与负半轴的交点就表示_. 4.请将图中数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来： ，-1.5， ， ，3 解：点A、B、C、D、E分别对应_、 _、_、_、_.,19,4,3,-1.5,与有理数一样，实数也可以比较大小：,与有理数规定的大小一样，数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.,正数大于零，负数小于零，正数大于负数；,与有理数一样，在实数范围内：,，2可以
7、分别看作是面积为5，4的正方形的边长，容易说明：面积较大的正方形，它的边长也较大，因此,同样，因为59，所以,不用计算器， 与2比较哪个大？与3比较呢？,例3 在数轴上表示下列各点，比较它们的大小， 并用“”连接它们.,-2 -1 0 1 2 3,1,-2,解:,-2 1 ,5.试在数轴上标出, , 的大致位置,并借助数轴比较它们的大小.,解析：因为3.14, -2.24, 1.73,所以可以近似地标出它们在数轴上的位置,如图(其中点A表示,点B表示 ,点C表示 ).,因为数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数,所以可知 .,（2019宜昌）如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，其中最适
8、合表示无理数的点是（ ） A点A B点B C点C D点D,巩固练习,D,1.判断对错,（1）实数不是有理数就是无理数. （ ）,（2）无理数都是无限不循环小数. （ ）,（4）无理数都是无限小数. （ ）,（3）带根号的数都是无理数. （ ）,（5）无理数一定都带根号. （ ）,2.下列说法正确的是（ ） A.a一定是正实数 B. 是有理数 C. 是有理数 D.数轴上任一点都对应一个有理数,B,3.有一个数值转换器，原理如下，当输x=81时，输出 的y是（ ）,是有理数,A.9 B.3 C. D.3,C,4.你能分辩下列各数是哪个家庭的成员吗?试试看？,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,
9、，,.,正数,负数,比较下列各组数的大小：,解 ：（1）因为 12 42， 所以 4， 所以 1 3；,（2）因为 10 32 ， 所以 所以,如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为 和5.1，点A关于原点的对称点是C,则B，C两点之间表示整数的点共有( ) A7个 B6个 C5个 D4个,解析： -1.414， 和5.1之间的整数有-1,0,1,2，3，4，5， B，C两点之间表示整数的点共有7个,A,实数,无理数的概念,实数的概念,实数的分类,实数的数轴表示,实数的大小比较,实数的性质和运算,第二课时,返回,只有符号不同的两个数,其中一个是另一个的相反数.,相反数,绝对值,数轴上表示数a
10、的点到原点的距离叫做数a的绝对值, 用a表示.,倒数,如果两个数的积是1,则这两个数互为倒数 .,【讨论】无理数也有相反数吗？怎么表示？有绝对值吗？怎么表示？有倒数吗？怎么表示？,2. 知道有理数的运算律和运算性质同样适合于实数的运算.,1. 理解在实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义 .,素养目标,3. 掌握实数的运算法则，熟练地利用计算器去解决有关实数的运算问题.,你能解答下列问题吗？,（1） 的相反数是 ， 的相反数是 ， 0 的相反数是 ； （2） ， ， ,0,0,结合有理数相反数和绝对值的意义，你能说说实数关于相反数和绝对值的意义吗？,数 a 的相反数是-a .,一个正实数的绝对
11、 值是它本身； 一个负实数的绝对 值是它的相反数； 0的绝对值是0,例1（1）分别写出 的相反数； （2）指出 分别是什么数的相反数； （3）求 的绝对值； （4）已知一个数的绝对值是 ，求这个数,（1） 的相反数是 ； 的相反数是 （2） 的相反数是 ； 的相反数是 （3） 的绝对值是4 （4） 绝对值是 的数是 或 ,解:,3.14-,37,1.分别求下列各数的相反数和绝对值,解：(1) -3， 的相反数是3，绝对值是3. (2) =15， 的相反数是-15，绝对值是15. (3) 的相反数是 ，绝对值是 .,（2）,（3）,（1）,填空：设a，b，c是任意实数，则,（1）a+b = （加
12、法交换律）；,（2）(a+b)+c = （加法结合律）；,（3）a+0 = 0+a = ；,（4）a+(-a) = (-a)+a = ；,（5）ab = （乘法交换律）；,（6）(ab)c = （乘法结合律）；,b+a,a+(b+c),a,0,ba,a(bc),（7） 1 a = a 1 = ；,a,（8）a(b+c) = （乘法对于加法的分配律）， (b+c)a = （乘法对于加法的分配律）；,（9）实数的减法运算规定为a-b = a+ ；,（10）对于每一个非零实数a，存在一个实数b， 满足ab = ba =1，我们把b叫作a的；,（11）实数的除法运算（除数b0），规定为 ab = a
13、；,（12）实数有一条重要性质：如果a 0，b 0， 那么ab0.,ab+ac,ba+ca,(-b),倒数,归纳总结,实数的平方根与立方根的性质：,此外，前面所学的有关数、式、方程的性质、法则和解法，对于实数仍然成立.,1.每个正实数有且只有两个平方根，它们互为相反数. 0的平方根是0.,2.在实数范围内，负实数没有平方根.,3.在实数范围内，每个实数有且只有一个立方根， 而且与它本身的符号相同.,例2 计算下列各式的值：,实数的运算,解:,（2）,（2）,（1）,（1）,2.计算下列各式的值：,（1）,（2）,解:,（1）,（2）,43,（3）,（4）,解:,（3）,（4）,44,例3 计算
14、（结果保留小数点后两位）：,总结：在实数运算中，如果遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可按要求的精确度用相应的近似有限小数代替无理数，再进行计算.,取实数运算的近似值,(1),(2),解:,（1）,（2）,（2） （结果保留3位小数）,（1） （精确到0.001）；,3.计算：,（2）,2.8284 2.1544,0.6740,15 2（52.236）,15 27.236,15 14.472,0.528,46,1.（2019湘西州）下面是一个简单的数值运算程序，当输入x的 值为16时，输出的数值为_（用科学计算器计算或笔算）,巩固练习,2.（2019宁夏）下列各式中正确的是（ ） A B
15、 C D,3,D,1.下列各数中，互为相反数的是( ) A.3 与 B. 2与 C. 与 D. 5与,C,2. 的值是( ) A.5 B.-1 C. D.,C,4. 是 的相反数;2-6.28的相反数是 .,6.28-2,3.比较大小：（1） ; （2） 4.,5计算：,（1）,（2）,4,0,1515,(3),(4),15144,5,8294,21,的整数部分与小数部分的差是多少？ （结果保留3位小数）,整数部分：,1,小数部分：,解：,整数部分与小数部分的差是：,51,解：,解：,a b c c+ b,a 2 c,(a + b) + ( c) (c b),实数,在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样.,实数的运算,实数的运算律,用计算器计算,课后作业,作业 内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,
