1、9三角函数的简单应用学习目标1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型知识点利用三角函数模型解释自然现象在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化(1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤：第一步：阅读理解，审清题意读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题第二步：收集、整理数据，建立数学模型根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际
2、问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答第四步：将所得结论转译成实际问题的答案(2)三角函数模型的建立程序如图所示：题型一三角函数模型在物理中的应用例1一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S6sin.(1)画出它的图像；(2)回答以下问题：小球开始摆动(即t0)，离开平衡位置是多少？小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？小球来回摆动一次需要多少时间？解(1)周期T1(s)列表：2t22t016sin36
3、0603描点画图：(2)小球开始摆动(即t0)，离开平衡位置为3 cm.小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm.小球来回摆动一次需要1 s(即周期)反思感悟此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径跟踪训练1如图是一个简谐运动的图像，则下列判断正确的是()A该质点的振动周期为0.7 sB该质点的振幅为5 cmC该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大D该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零考点三角函数模型的应用题点三角函数在天文、物理学方面的应用答案D解析由图像及简谐运动的有关知识知T0.8 s，A5 cm，当t0.1 s及t0.5
4、 s时，v0，故排除选项A，B，C.题型二三角函数模型在生活中的应用例2如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？解(1)由已知可设y40.540cos t，t0，由周期为12分钟可知，12，即，所以y40.540cos t(t0)(2)设转第1圈时，第t0分钟时距离地面60.5米由60.540.540cos t0，
5、得cos t0，所以t0或t0，解得t04或t08，所以t8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12820(分钟)反思感悟解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论；(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化；(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解；(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案跟踪训练2如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在距离地面2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每300 s转一圈，且当摩天轮上某人
6、经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.解(1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处这时此人所转过的角为 t t，故在t s时，此人相对于地面的高度为h10sin t12(t0)(2)由10sint1217，得sint，则25t125.故此人有100 s相对于地面的高度不小于17 m.三角函数模型的应用典例若近似认为月球绕地球公转与地球绕日公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为29.5天(如图是相继两次满月时，月、地、
7、日相对位置的示意图)，则月球绕地球一周所用的时间T为()A24.5天 B29.5天C28.5天 D24天考点三角函数模型的应用题点三角函数在天文、物理学方面的应用答案B解析月相变化周期即为月球绕地球一周所用的时间素养评析三角函数模型是描述周期变化的重要模型，本题即为数学核心素养数学建模的具体体现.1电流I(A)随时间t(s)变化的关系式为I2sin 100t，t(0，)，则电流I变化的周期是()A. B100 C. D50考点三角函数模型的应用题点三角函数在天文、物理学方面的应用答案C2如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sink，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的
8、最大值为()A5 B6 C8 D10考点三角函数模型的应用题点三角函数在日常生活中的应用答案C解析由图像知ymin2.因为ymin3k，所以3k2，解得k5，所以这段时间水深的最大值是ymax3k358，故选C.3某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数yaAcos(x1,2,3，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28，12月份的月平均气温最低，为18，则10月份的平均气温为 .答案20.5解析由题意可知A5，a23，从而y5cos23.故10月份的平均气温为y5cos2320.5.4下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天024时的变化情况，则水
9、面高度h关于时间t的函数解析式为 答案h6sin t，t0,24解析根据题图设hAsin(t)，则A6，T12，12，.点(6,0)为“五点”作图法中的第一点，60，h6sin6sin t，t0,245某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)102sin，t0,24)(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11，则在哪段时间实验室需要降温？解(1)因为f(t)102sin，又0t24，所以t11时实验室需要降温由(1)得f(t)102sin，故有102sin11，即sin.又0t24，因此t，即10t18.故在10时至18时实验室需要降温解三角函数应用问题的基本步骤
