1、6.2垂直关系的性质一、选择题1.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A.相交 B.平行C.异面 D.相交或平行考点直线与平面垂直的性质题点应用线面垂直的性质定理判定线线平行答案B解析由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行.2.在长方体ABCDA1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EFA1B1于点F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是()A.平行 B.EF平面A1B1C1D1C.相交但不垂直 D.相交且垂直考点平面与平面垂直的性质题点应用面面垂直的性质定理判定线面垂直答案D解析在长方体ABCD
2、A1B1C1D1中，平面A1ABB1平面A1B1C1D1且平面A1ABB1平面A1B1C1D1A1B1，又EF平面A1ABB1，EFA1B1，EF平面A1B1C1D1.3.如图所示，在三棱锥PABC中，平面ABC平面PAB，PAPB，ADDB，则()A.PD平面ABCB.PD平面ABCC.PD与平面ABC相交但不垂直D.PD平面ABC考点平面与平面垂直的性质题点应用面面垂直的性质定理判定线面垂直答案B解析PAPB，ADDB，PDAB.又平面ABC平面PAB，平面ABC平面PABAB，PD平面PAB，PD平面ABC.4.在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知平面AA1C1C平面ABCD，且AB
3、BC，ADCD，则BD与CC1的位置关系为()A.平行 B.共面C.垂直 D.不垂直考点平面与平面垂直的性质题点应用面面垂直的性质定理判定线线垂直答案C解析如图所示，在四边形ABCD中，ABBC，ADCD，BDAC.平面AA1C1C平面ABCD，平面AA1C1C平面ABCDAC，BD平面ABCD，BD平面AA1C1C.又CC1平面AA1C1C，BDCC1，故选C.5.下列说法中错误的是()A.如果平面平面，那么平面所有直线都垂直于平面B.如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面C.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D.如果平面平面，平面平面，l，那么l平面考点平面与
4、平面垂直的性质题点面面垂直性质的综合应用答案A解析显然A不正确，若两个平面垂直，一个平面内只有和交线垂直的直线才和另一个平面垂直.6.设l是直线，是两个不同的平面，下列结论正确的是()A.若l，l，则 B.若l，l，则C.若，l，则l D.若，l，则l考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案B解析设a，若直线la，且l，l，则l，l，因此不一定平行于，故A错误；由于l，故在内存在直线ll，又因为l，所以l，故，所以B正确；若，在内作交线的垂线l，则l，此时l在平面内，因此C错误；已知，若a，la，且l不在平面，内，则l且l，因此D错误.7.如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分
5、别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：SG平面EFG；SE平面EFG；GFSE；EF平面SEG.其中成立的有()A.与 B.与C.与 D.与考点垂直问题的综合应用题点线线、线面、面面垂直的相互转化答案B解析由SGGE，SGGF，得SG平面EFG，排除C、D；若SE平面EFG，则SGSE，这与SGSES矛盾，排除A，故选B.二、填空题8.设两个平面，直线l，下列三个条件：l；l；.若以其中两个作为前提条件，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中，正确命题的个数为_.考点线、面平行、垂直的综合
6、应用题点平行与垂直的判定答案1解析作为前提条件，作为结论构成的命题正确，过l作一平面与交于l，则ll，所以l，故；作为前提条件，作为结论构成的命题错误，这时可能有l；作为前提条件，作为结论构成的命题错误，这时l与的各种位置关系都可能存在.9.如图，直二面角l，点A，ACl，C为垂足，B，BDl，D为垂足，若AB2，ACBD1，则CD的长为_.考点平面与平面垂直的性质题点有关面面垂直性质的计算答案解析如图，连接BC，二面角l为直二面角，AC，且ACl，AC.又BC，ACBC，BC2AB2AC23.又BDCD，CD.10.如图，四面体PABC中，PAPB，平面PAB平面ABC，ABC90，AC8，
7、BC6，则PC_.考点平面与平面垂直的性质题点有关面面垂直性质的计算答案7解析如图，取AB的中点D，连接PD，DC，PAPB，PDAB，平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，PD平面PAB，PD平面ABC，PDCD.则PDC为直角三角形，在RtABC中，AB2，在RtDBC中，DC，PD.在RtPCD中，PC7.11.如图，在平行四边形ABCD中，ABBD，沿BD将ABD折起，使平面ABD平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为_.考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案3解析因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，ABBD，所以A
8、B平面BCD，所以平面ABC平面BCD.在折起前，因为ABBD，ABCD，所以CDBD.又因为平面ABD平面BCD，所以CD平面ABD，所以平面ACD平面ABD，共3对.三、解答题12.如图，三棱锥PABC中，已知ABC是等腰直角三角形，ABC90，PAC是直角三角形，PAC90，ACP30，平面PAC平面ABC，求证：平面PAB平面PBC.考点平面与平面垂直的性质题点面面垂直性质的综合应用证明平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，PAAC，PA平面PAC，PA平面ABC.又BC平面ABC，PABC.又ABBC，ABPAA，AB平面PAB，PA平面PAB，BC平面PAB.又BC平面P
9、BC，平面PAB平面PBC.13.如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.考点空间中的垂直问题题点空间中的垂直问题证明(1)因为平面PAD底面ABCD，平面PAD底面ABCDAD，PA平面PAD，PAAD，所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以四边形ABED为平行四边形，所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，而且四边形
10、ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，所以APCD.又因为APADA，AP，AD平面PAD，所以CD平面PAD，所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF，所以CDEF.又因为CDBE，EFBEE，EF，BE平面BEF，所以CD平面BEF.又CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.14.在三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，PCA90，ABC是边长为4的正三角形，PC4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为()A.2 B.2C.4 D.4考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的计算与探索性问题答案B解析如图，连接CM，则由题意
11、可得PC平面ABC，所以PCCM，所以PM，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可.在ABC中，当CMAB时，CM有最小值，此时有CM42，所以PM的最小值为2.15.如图所示，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图所示.(1)求证：DE平面A1CB；(2)求证：A1FBE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由.考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的计算与探索性问题(1)证明因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DEBC.又DE平面A1CB，BC平面A1CB，所以DE
12、平面A1CB.(2)证明由已知得DCBC且DEBC，所以DEDC.又DEA1D，A1DCDD，A1D，CD平面A1DC，所以DE平面A1DC，而A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因为A1FCD，CDDED，CD，DE平面BCDE，所以A1F平面BCDE，又BE平面BCDE，所以A1FBE.(3)解线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如图所示，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接DP，PQ，QE，则PQBC.又因为DEBC，所以DEPQ，所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE平面A1DC，A1C平面A1DC，所以DEA1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1CDP，又DEDPD，DE，DP平面DEP，所以A1C平面DEP，从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，且Q为A1B的中点时，A1C平面DEQ.
