1、7简单几何体的面积和体积7.1简单几何体的侧面积学习目标1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法.2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式；能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.3.培养空间想象能力和思维能力.知识点一圆柱、圆锥、圆台的表面积图形表面积公式旋转体圆柱一个底面积：S底r2侧面积：S侧2rl表面积：S2r(rl)圆锥底面积：S底r2侧面积：S侧rl表面积：Sr(rl)圆台上底面面积：S上底r2下底面面积：S下底r2侧面积：S侧(rlrl)表面积：S(r2r2rlrl)知识点二直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积几何体侧面展开图侧面积公式
2、直棱柱S直棱柱侧chc底面周长h高正棱锥S正棱锥侧chc底面周长h斜高正棱台S正棱台侧(cc)hc、c上、下底面周长h斜高1.斜三棱柱的侧面积也可以用cl来求解，其中l为侧棱长，c为底面周长.()2.多面体的表面积等于各个面的面积之和.()3.圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S.()4.圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的周长有关.()题型一旋转体的侧面积(表面积)例1(1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.3 B.4 C.24 D.34(2)圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为1
3、80，那么圆台的表面积是_cm2.(结果中保留)答案(1)D(2)1 100解析(1)由三视图可知，该几何体为：故表面积为r2ll22434.(2)如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180，故cSA210，所以SA20，同理可得SB40，所以ABSBSA20，所以S表面积S侧S上S下(r1r2)ABrr(1020)201022021 100(cm2).故圆台的表面积为1 100 cm2.反思感悟圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.跟踪训练1(1)圆柱的侧面展开图是两边长分别为6和4的矩形，则圆柱的表面积
4、为()A.6(43)B.8(31)C.6(43)或8(31)D.6(41)或8(32)答案C解析由题意，圆柱的侧面积S侧64242.当以边长为6的边为母线时，4为圆柱底面周长，则2r4，即r2，所以S底4，所以S表S侧2S底24288(31).当以边长为4的边为母线时，6为圆柱底面周长，则2r6，即r3，所以S底9，所以S表S侧2S底242186(43).(2)圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为()A.11 B.12 C.13 D.14答案C解析如图所示，PB为圆锥的母线，O1，O2分别为截面与底面的圆心.因为O1为PO2的中点，所以，所以PAAB，O2B2O1A.又因为
5、S圆锥侧O1APA，S圆台侧(O1AO2B)AB，则.题型二多面体的侧面积(表面积)及应用例2某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A.82 B.112C.142 D.15答案B解析该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱.S表2(12)12121222112，故选B.反思感悟多面体中的有关计算通常转化为平面图形(三角形或特殊的四边形)来计算，对于棱锥中的计算问题往往要构造直角三角形，即棱锥的高、斜高以及斜高在底面上的投影构成的直角三角形，或者由棱锥的高、侧棱以及侧棱在底面上的投影构成的直角三角形.跟踪训练2 已知正四棱台上底面边长为4 cm，侧棱和下底面边长都是8 cm，求它的侧面积
6、.解方法一如图，作B1FBC，垂足为F，设棱台的斜高为h.在RtB1FB中，B1Fh，BF(84)2(cm)，B1B8 cm，B1F2(cm)，hB1F2 cm.S正棱台侧4(48)248(cm2).方法二延长正四棱台的侧棱交于点P，如图，设PB1x cm，则，得x8 cm.PB1B1B8 cm，E1为PE的中点.PE12(cm).PE2PE14 cm.S正棱台侧S大正棱锥侧S小正棱锥侧48PE44PE148444248(cm2).题型三组合体的侧面积(表面积)命题角度1由三视图求组合体的表面积例3某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是_cm2.答案138解析将三视图还原
7、为长方体与直三棱柱的组合体，再利用表面积公式求解.该几何体如图所示，长方体的长，宽，高分别为6 cm，4 cm,3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3 cm，4 cm,5 cm，高为3 cm，所以表面积S2(4643)36339939138(cm2).反思感悟对于此类题目：(1)将三视图还原为几何体；(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理.跟踪训练3一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的表面积为_m2.答案124解析由三视图可以得到原几何体是一个圆柱与圆锥的组合体，其表面积为21412222212(124)(m2).命题角度2由旋转形成的组合体的表面积例4已知在梯形
8、ABCD中，ADBC，ABC90，ADa，BC2a，DCB60，在平面ABCD内，过C作lCB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求此旋转体的表面积.解如图所示，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的.在直角梯形ABCD中，ADa，BC2a，AB(2aa)tan 60a，DC2a，又DDDC2a，则S表S圆柱表S圆锥侧S圆锥底22aa2(2a)2a2aa2(94)a2.反思感悟(1)对于由基本几何体拼接成的组合体，要注意拼接面重合对组合体表面积的影响.(2)对于从基本几何体中切掉或挖掉的部分构成的组合体，要注意新产生的截面和原几何体表面的变化.跟踪训练4已知ABC的三边长分别是AC3，BC4，A
9、B5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积.解如图，在ABC中，过C作CDAB，垂足为点D.由AC3，BC4，AB5，知AC2BC2AB2，则ACBC.所以BCACABCD，所以CD，记为r，那么ABC以AB为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径r，母线长分别是AC3，BC4，所以S表面积r(ACBC)(34).1.一个圆锥的表面积为a m2，且它的侧面展开图是一个半圆面，则圆锥的底面半径为()A. m B. mC. m D. m答案B解析设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则解得r.2.一个正三棱台的上、下底面边长分别为3 cm和6 cm，高是 cm.则三棱台的
10、侧面积为()A.27 cm2 B. cm2C. cm2 D. cm2答案B解析如图，O1，O分别是上、下底面中心，则O1O cm，连接A1O1并延长交B1C1于点D1，连接AO并延长交BC于点D，连接DD1，过D1作D1EAD于点E.在RtD1ED中，D1EO1O cm，DEDOOEDOD1O1(63) (cm)，DD1 (cm)，所以S正三棱台侧(cc)DD1 (cm2).3.一个几何体的三视图(单位长度：cm)如图所示，则此几何体的表面积是()A.(8016)cm2 B.84 cm2C.(9616)cm2 D.96 cm2答案A解析该几何体是四棱锥与正方体的组合体，S表面积42548016
11、(cm2).4.若圆台的高是12，母线长为13，两底面半径之比为83，则该圆台的表面积为_.考点柱体、锥体、台体的表面积题点台体的表面积答案216解析设圆台上底面与下底面的半径分别为r，R，由勾股定理可得Rr5.rR38，r3，R8.S侧(Rr)l(38)13143，则表面积为1433282216.5.正三棱锥SABC的侧面积是底面积的2倍，它的高SO3，求此正三棱锥的侧面积.解设正三棱锥底面边长为a，斜高为h，如图所示，过O作OEAB，垂足为E，连接SE，则SEAB，且SEh.因为S侧2S底，所以3aha22.所以ah.因为SOOE，所以SO2OE2SE2.所以322h2.所以h2，所以ah6.所以S底a2629.所以S侧2S底18.1.多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和.2.有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解.而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解.3.S圆柱表2r(rl)；S圆锥表r(rl)；S圆台表(r2rlRlR2).
