1、1.3两条直线的位置关系学习目标1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.2.能根据已知条件判断两直线的平行与垂直.3.能利用两条直线平行或垂直进行实际应用.知识点一两条直线平行类型斜率存在斜率不存在前提条件12901290对应关系l1l2k1k2且b1b2l1l2两直线斜率都不存在图示知识点二两条直线垂直类型斜率存在其中一条斜率不存在前提条件|21|9010，290对应关系l1l2k1k21l1斜率为0，l2斜率不存在图示1.若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行.()2.若l1l2，则k1k2.()3.若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直.
2、()4.若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行.()题型一两条直线平行、垂直的判定例1判断下列各对直线平行还是垂直，并说明理由.(1)l1：3x5y60，l2：6x10y30；(2)l1：3x6y140，l2：2xy20；(3)l1：x2，l2：x4；(4)l1：y3，l2：x1.解(1)l1：yx，l2：yx.则k1，b1，k2，b2.k1k2，b1b2，l1l2.(2)l1：yx，l2：y2x2.则k1，k22，k1k21，l1l2.(3)直线l1，l2的斜率均不存在，且24，l1l2.(4)直线l1的斜率k10，直线l2的斜率不存在，l1l2.反思感悟(1)已知直线方程
3、判断两条直线平行或垂直的方法(2)当直线是一般式方程时，也可利用以下结论研究两直线的平行和垂直关系：直线l1：A1xB1yC10，直线l2：A2xB2yC20.l1l2A1B2A2B10且B1C2B2C10(或A1C2A2C10)；l1l2A1A2B1B20.跟踪训练1判断下列各小题中的直线l1与l2的位置关系.(1)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；(2)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(1,3)，N(2,0)；(3)l1的斜率为10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(4)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(10,40)，N
4、(10,40).解(1)k11，k21，k1k2，l1l2或l1与l2重合.(2)k11，k21，k1k2，数形结合知，l1l2.(3)k110，k2，k1k21，l1l2.(4)l1的倾斜角为90，则l1x轴；k20，则l2x轴.l1l2.题型二利用两直线平行、垂直求直线方程例2求直线l的方程.(1)过点P(2，1)且与直线l1：3x2y60平行；(2)过点P(1，1)且与直线l2：2x3y10垂直.解(1)方法一由已知直线l1：3x2y60，得斜率k1，直线l1与l平行，直线l的斜率kk1.由点斜式得直线l的方程为y1(x2)，即3x2y80.方法二由直线l与直线3x2y60平行，可设直线
5、l的方程为3x2yC0(C6)，又点P(2，1)在直线上，322(1)C0，C8.故直线l的方程为3x2y80.(2)方法一由直线l2：2x3y10，得斜率k2，直线l垂直于l2，直线l的斜率k，直线l的点斜式方程为y1(x1)，故l的方程为3x2y50.方法二设与直线l2：2x3y10垂直的直线的方程为3x2yC0.将点P(1，1)代入直线方程，即32(1)C0，得C5.所求直线的方程为3x2y50.反思感悟(1)直线过定点P(x0，y0)，可设点斜式yy0k(xx0).(2)知斜率k，设斜截式ykxb.(3)与直线AxByC0平行，设为AxBym0(mC).(4)与直线AxByC0垂直，设
6、为BxAyn0.跟踪训练2若直线l与直线2x3y50平行，且在两坐标轴上的截距之和为，求直线l的方程.解设直线的方程为2x3y0(5)，令x0，则直线在y轴上的截距为b；令y0，则直线在x轴上的截距为a，由ab，得1，所以所求直线l的方程为2x3y10.题型三利用平行、垂直关系求参数例3已知直线l1：(k3)x(4k)y10与l2：2(k3)x2y30.(1)若这两条直线垂直，求k的值；(2)若这两条直线平行，求k的值.解(1)根据题意，得(k3)2(k3)(4k)(2)0，解得k.若这两条直线垂直，则k.(2)根据题意，得(k3)(2)2(k3)(4k)0，解得k3或k5.经检验，均符合题意
7、.若这两条直线平行，则k3或k5.反思感悟在利用两条直线平行或垂直求直线方程中的参数时，若能直观判断两条直线的斜率存在，则可直接利用平行或垂直时斜率满足的条件列式求参数；若不能直观判断两条直线的斜率是否存在，运用斜率解题时要分情况讨论，若用一般式的系数解题则无需讨论.跟踪训练3若直线l1：ax4y20，l2：xay10，求a取何值时，l1l2，l1l2.解将直线l1化成斜截式方程yx，当a0时，l2的方程为x1，l1的方程为y，此时l1l2；当a0时，l2的斜截式方程为yx.若即a2时，l1l2；若1，即1，矛盾，故l1与l2在a0时不垂直.综上，当a2时，l1l2；当a0时，l1l2.垂直与
8、平行的综合应用典例已知四边形ABCD的顶点B(6，1)，C(5,2)，D(1,2).若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标.(A，B，C，D按逆时针方向排列)考点两条直线平行和垂直的综合应用题点已知四边形的形状求点的坐标解若AD90，如图(1)，由已知ABDC，ADAB，而kCD0，故A(1，1).若AB90，如图(2).设A(a，b)，则kBC3，kAD，kAB.由ADBC，得kADkBC，即3；由ABBC，得kABkBC1，即(3)1.由得故A.综上所述，A点坐标为(1，1)或.素养评析(1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系
9、进行判定.(2)由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形.(3)明确运算对象，探究运算思路，是对数学运算的数学核心素养的考查.1.若直线axy10与直线y3x2平行，则实数a等于()A.3 B. C.3 D.答案A2.若直线l1的倾斜角为30，直线l1l2，则直线l2的斜率为()A. B. C. D.答案B解析tan 30.l1l2，1，得.3.在y轴上的截距为2，且与直线y3x4平行的直线的斜截式方程为_.答案y3x2解析在y轴上的截距为2，设所求直线方程为ykx2，又直线与y3x4平行，所求直线方
10、程为y3x2.4.经过点B(3,0)且与直线2xy50垂直的直线方程为_.答案x2y30解析设与直线2xy50垂直的直线方程为x2yC0，将点B(3,0)代入直线方程，得3C0，即C3.所求直线方程为x2y30.5.已知A(4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(3,0)四点，若顺次连接ABCD四点，试判定图形ABCD的形状.解由题意知，A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图，由斜率公式可得kAB，kCD，kAD3，kBC.所以kABkCD，由图可知，AB与CD不重合，所以ABCD，又kADkBC，所以AD与BC不平行.又因为kABkAD(3)1，所以ABAD，故四边形ABCD为直角梯形.1.两直线平行或垂直的判定方法.斜率直线斜率均不存在平行或重合一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在垂直斜率均存在相等平行或重合积为1垂直2.与直线ykxb平行的直线可设为ykxc(cb)；与直线AxByC0平行的直线可设为AxByD0(DC).3.设直线l1：yk1xb1，直线l2：yk2xb2.若l1l2，则k1k21；反之，若k1k21，则l1l2；已知两直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1A2B1B20.
