8.1 正弦定理(一)学案(含答案)

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1、8.1正弦定理(一)学习目标1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.知识链接下列说法中,正确的有_.(1)在直角三角形中,若C为直角,则sinA;(2)在ABC中,若ab,则AB;(3)在ABC中,CAB;(4)利用AAS、SSA都可以证明三角形全等;(5)在ABC中,若sinB,则B.答案(1)(2)(3)解析根据三角函数的定义,(1)正确;在三角形中,大边对大角,大角对大边,(2)正确;三角形的内角和为,(3)正确;AAS可以证明三角形全等,SSA不能证明,(4)不正确;若sinB,则B或,(5)

2、不正确,故(1)(2)(3)正确.预习导引1.在RtABC中的有关定理在RtABC中,C90,则有:(1)AB90,0A90,0Ba,BA30,B60或120.当B60时,C180(AB)180(3060)90,c2;当B120时,C180(AB)180(30120)30,c1.(2)根据正弦定理,sinA1.因为sinA1.所以A不存在,即无解.规律方法已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中“大边对大角,大角对大边”的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一.(3)如果已知的角为小边所

3、对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论.跟踪演练2(1)在ABC中,已知a2,c,C,求A,B,b.(2)在ABC中,已知a2,c,A,求C,B,b.解(1),sinA.ca,CA.A.B,b1.(2),sinC.又ac,C或.当C时,B,b1.当C时,B,b1.题型三正弦定理与三角形面积公式的综合应用例3在ABC中,若A120,AB5,BC7,求ABC的面积.解如图,由正弦定理,得,sinC,且C为锐角(A120).cosC.sinBsin(180120C)sin(60C)cosCsinC.SABCABBCsinB57.规律方法在不同已知条件下求三角形的

4、面积的问题,与解三角形问题有密切的关系,我们可以应用解三角形面积的知识,观察已知什么,尚缺什么,求出需要的元素,就可以求出三角形的面积.跟踪演练3ABC中,AB,AC1,B30,求ABC的面积.解由正弦定理得,sinC.0C180,C60或120.(1)当C60时,A90,BC2,此时,SABC;(2)当C120时,A30,SABC1sin30.课堂达标1.已知ABC的面积为且b2,c2,则角A等于()A.30B.30或150C.60D.60或120答案D解析SbcsinA22sinA,sinA,A60或120.2.在ABC中,一定成立的等式是()A.asinAbsinBB.acosAbcos

5、BC.asinBbsinAD.acosBbcosA答案C解析由正弦定理,得asinBbsinA,故选C.3.在ABC中,sinAsinC,则ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形答案B解析由sinAsinC知ac,ABC为等腰三角形.4.已知锐角三角形ABC的面积为3,BC4,CA3,则角C的大小为()A.75B.60C.45D.30答案B解析由三角形面积公式,得SABCBCCAsinC43sinC3.所以sinC,则C60.5.在ABC中,B30,C120,则abc_.答案11解析根据三角形内角和定理,A1803012030,由正弦定理得:abcsinAsinBsinC11.课堂小结1.正弦定理的表示形式:2R,或a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC(R为三角形外接圆半径).2.正弦定理的应用范围:(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角.(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和两角.3.利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化:一方面可以化边为角,转化为三角函数问题来解决;另一方面,也可以化角为边,转化为代数问题来解决.

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