1、2019-2020学年广西南宁三中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给的四个选项中，只有一项符合）1（5分）“若b24ac0，则ax2+bx+c0没有实根”，其否命题是（）A若b24ac0，则ax2+bx+c0没有实根B若b24ac0，则ax2+bx+c0有实根C若b24ac0，则ax2+bx+c0有实根D若b24ac0，则ax2+bx+c0没有实根2（5分）把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（）A对立事件B互斥但不对立事件C不可能事件D必然事件3（5分）命题“x0R，x02x00”的否定是（）Ax
2、R，x2x0BCxR，x2x0D4（5分）（理科）已知两点A（3，2）和B（1，4）到直线mx+y+30距离相等，则m值为（）ABCD5（5分）甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示，若甲、乙两人的平均成绩分别用表示，则下列结论正确的是（）A，且甲比乙成绩稳定B，且乙比甲成绩稳定C，且甲比乙成绩稳定D，且乙比甲成绩稳定6（5分）下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是（）Aab+1Bab1Ca2b2Da3b37（5分）如图所示，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（）ABCD8（5分）执行如图所示的程序
3、框图，若输出的S值为0，则开始输入的S值为（）ABCD9（5分）易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为（）ABCD10（5分）某几何体的三视图如图所示，这个几何体的体积为（）A1BCD11（5分）与圆（x2）2+y21外切，且与y轴相切的动圆圆心P的轨迹方程为（）Ay26x3By22x3Cx26y3Dx24x2y+3012（5分）设函数f（x）ax2+bx+c（a，b，cR且a0），则“f（f（）0”是
4、“f（x）与f（f（x）都恰有两个零点”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13（5分）某地甲乙丙三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为200、300、400现为了调查联考数学学科的成绩，采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取一个样本，已知甲学校中抽取了40名学生的数学成绩，那么在丙学校中需要抽取 名学生的数学成绩14（5分）不论m取什么实数，直线（2m1）x+（m+3）y（m11）0都经过一个定点，则这个定点为 15（5分）在区间（0，2）上随机地取出两个数x，y，满足ykx的概率为，则实数k
5、16（5分）若在北纬45的纬度圈上有A、B两地，经度差为90，则A、B两地的球面距离与地球半径的比值为 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期12月2日12月3日12月4日温差x（）111312发芽数y（颗）253026（1）请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程；（2）该农科所确定的研究方案是：先用上面的3组数据求线性回归方程，再选取2组数据进行检验
6、若12月5日温差为8，发芽数16颗，12月6日温差为10，发芽数23颗由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？注：18（12分）如图，在三角形ABC中，C，ABC的角平分线BD交AC于D，设CBD，且sin（1）求sinABC和sinA的值；（2）若28，求AB的长19（12分）在一次抽奖活动中，有a，b，c，d，e，f共6人获得抽奖机会，抽奖规则如下：若获一等奖后不再参加抽奖，获得二等奖的仍参加三等奖抽奖现在主办方先从6人中随机抽取2人均获一等奖，再从余下的4人中随机抽取1人获二等奖，最后还从
7、这4人中随机抽取1人获三等奖（1）求a能获一等奖的概率；（2）若a，b已获一等奖，求c能获奖的概率20（12分）如图，三棱锥ABPC中，APPC，ACBC，M为AB中点，D为PB中点，且PMB为正三角形（）求证：DM平面APC；（）求证：BC平面APC；（）若BC4，AB10，求三棱锥DBCM的体积21（12分）已知数列an为等差数列，且满足a20，a612，数列bn的前n项和为Sn，且b11，bn+12Sn+1（）求数列an，bn的通项公式；（）若对任意的nN*，不等式恒成立，求实数k的取值范围22（12分）圆O：x2+y24与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），l1、l2是分别过A、B
8、点的圆O的切线，过此圆上的另一个点P（P点是圆上任一不与A、B重合的动点）作此圆的切线，分别交l1、l2于C、D两点，且AD、BC两直线交于点M（1）设切点P坐标为（x0，y0），求证：切线CD的方程为x0x+y0y4（2）设点M坐标为（m，n），试写出m2与n2的关系表达式（写出详细推理与计算过程）2019-2020学年广西南宁三中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给的四个选项中，只有一项符合）1（5分）“若b24ac0，则ax2+bx+c0没有实根”，其否命题是（）A若b24ac0，则ax2+bx+c0没有实根B若b24
9、ac0，则ax2+bx+c0有实根C若b24ac0，则ax2+bx+c0有实根D若b24ac0，则ax2+bx+c0没有实根【分析】本题考查的知识点是：四种命题和命题的否定，根据四种命题、充要条件及命题否定的概念，不难得到正确的结论【解答】解：若p，则q的否命题为：若非p，则非q若b24ac0，则ax2+bx+c0没有实根的否命题为：若b24ac0，则ax2+bx+c0有实根故选：C【点评】本题考查了四种命题间的逆否关系，及命题的否定，是基础题2（5分）把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（）A对立事件B互斥但不对立事件C不可能事件D必然事件【分析】根
10、据题意，分析可得“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，但除了这2个事件外，还有事件“丙分得红牌”，由对立事件与互斥事件的概念，可得答案【解答】解：根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，则两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，则两者不是对立事件，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件；故选：B【点评】本题考查对立事件与互斥事件的概念，要注意对立一定互斥，但互斥不一定对立3（5分）命题“x0R，x02x00”的否定是（）AxR，x2x0BCxR，x2x0D【分析】利用特称命题的
11、否定是全称命题，写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“x0R，x02x00”的否定是xR，x2x0故选：C【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题4（5分）（理科）已知两点A（3，2）和B（1，4）到直线mx+y+30距离相等，则m值为（）ABCD【分析】由两点A（3，2）和B（1，4）到直线mx+y+30距离相等，知，由此能求出m【解答】解：两点A（3，2）和B（1，4）到直线mx+y+30距离相等，解得m，或m6故选：B【点评】本题考查点到直线的距离公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答5（5分）甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计
12、用茎叶图表示，若甲、乙两人的平均成绩分别用表示，则下列结论正确的是（）A，且甲比乙成绩稳定B，且乙比甲成绩稳定C，且甲比乙成绩稳定D，且乙比甲成绩稳定【分析】根据茎叶图得到平均值，根据取值的分布取得甲乙的稳定性大小【解答】解：由茎叶图可知，甲的数据为88，89，90，91，92，所以甲的平均值为乙的数据为83，88，89，89，91，所以乙的平均值为，所以由茎叶图可知，甲的数据主要集中在90附近，所以甲比乙稳定故选：A【点评】本题主要考查茎叶图的应用，要求掌握平均值的计算公式，比较基础6（5分）下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是（）Aab+1Bab1Ca2b2Da3b3【分析】利
13、用不等式的性质得到ab+1ab；反之，通过举反例判断出ab推不出ab+1；利用条件的定义判断出选项【解答】解：ab+1ab；反之，例如a2，b1满足ab，但ab+1即ab推不出ab+1，故ab+1是ab成立的充分而不必要的条件故选：A【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法7（5分）如图所示，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（）ABCD【分析】以D1为原点，D1A1为x轴，D1C1为y轴，D1D为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BE与CD1所成角的余弦值【解答】解：以D1为
14、原点，D1A1为x轴，D1C1为y轴，D1D为z轴，建立空间直角坐标系，令AB1，则B（1，1，2），E（1，0，1），C（0，1，2），D1（0，0，0），（0，1，1），（0，1，2），|cos，|异面直线BE与CD1所成角的余弦值为故选：C【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题8（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S值为0，则开始输入的S值为（）ABCD【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，
15、可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得，当i1时，S2S1，i1，满足条件i3，执行循环体；当i2时，S2（2S1）1，i2，满足条件i3，执行循环体；当i3时，S22（2S1）11，i3，不满足条件i3，退出循环体，输出S0，所以22（2S1）110，解得故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答9（5分）易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为
16、（）ABCD【分析】阴数有2，4，6，8，10，阳数有1，3，5，7，9，从阴数和阳数中各取一数，基本事件总数n25，利用列举法求出其差的绝对值为5包含的基本事件个数，由此能求出其差的绝对值为5的概率【解答】解：阴数有2，4，6，8，10，阳数有1，3，5，7，9，从阴数和阳数中各取一数，基本事件总数n25，其差的绝对值为5包含的基本事件有：（2，7），（4，9），（6，1），（8，3），（10，5），共5个，其差的绝对值为5的概率为P故选：A【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题10（5分）某几何体的三视图如图所示，这个几何体的体积为（）A1B
17、CD【分析】判断几何体的形状，画出专题，然后求解几何体的体积【解答】解：如图所示，可知AD，BC1，BD2，AB2，则CD，AC，所以故选：B【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是基本知识的考查11（5分）与圆（x2）2+y21外切，且与y轴相切的动圆圆心P的轨迹方程为（）Ay26x3By22x3Cx26y3Dx24x2y+30【分析】由题意，设P（x，y），则（x2）2+y2（x+1）2，化简可得结论【解答】解：由题意，设P（x，y），则（x2）2+y2（x+1）2，化简可得y26x3故选：A【点评】本题考查轨迹方程，考察圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力
18、，比较基础12（5分）设函数f（x）ax2+bx+c（a，b，cR且a0），则“f（f（）0”是“f（x）与f（f（x）都恰有两个零点”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合二次函数的性质进行判断即可【解答】解：由题意：f（）时f（x）的最小值，若f（x）由两个零点，x1x2，设f（x）x1或f（x）x2，由题意f（f（）0只有两个零点，因此，设f（x）x1无解，而f（x）x2有两个不等式实数根，即x1f（）x2；f（）0，同理：f（f（）0，由于a0，开口向上，f（x）有两个零点设两个零点，x1，x2，不妨设x1f
19、（）x2；由于f（）0，可得f（x）x1或f（x）x2有两个不等式实数根，显然f（x）x1无解，而f（x）x2有两个不等式实数根，即函数f（f（x）有两个零点故选：C【点评】本题主要考查复合函数的运用，充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键属于基础题二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13（5分）某地甲乙丙三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为200、300、400现为了调查联考数学学科的成绩，采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取一个样本，已知甲学校中抽取了40名学生的数学成绩，那么在丙学校中需要抽取80名学生的数学成绩【分析】用丙校的
20、总人数乘以抽样的比例，即为所求【解答】解：抽样的比例为 ，故应从丙学校中需要抽取的人数为 40080，故答案为：80【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题14（5分）不论m取什么实数，直线（2m1）x+（m+3）y（m11）0都经过一个定点，则这个定点为（2，3）【分析】把（2m1）x+（m+3）y（m11）0等价转化为（2x+y1）m+3yx+110，由已知条件推导出，由此能求出定点坐标【解答】解：（2m1）x+（m+3）y（m11）0，（2x+y1）m+3yx+110，不论m取什么实数，直线（2m1）x+（m+3）y（m11）0都经过一个定点，解得x2，y3，这个定点为（2，
21、3）故答案为：（2，3）【点评】本题考查直线经过的定点坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用15（5分）在区间（0，2）上随机地取出两个数x，y，满足ykx的概率为，则实数k【分析】求出点（x，y）对应的区域是边长为2的正方形区域面积，计算满足ykx所表示的平面区域面积，利用几何概型的概率公式计算即可【解答】解：在区间（0，2）上随机地取出两个数x，y，则（x，y）对应的区域是边长为2的正方形区域，其面积为S正方形4；在正方形区域内，作出ykx所表示的图象如下：则阴影部分所表示区域为所表示区域；由得，因此阴影部分面积为，因为在区间（0，2）上随机地取出两个数x，y，
22、满足ykx的概率为，所以，解得故答案为：【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题16（5分）若在北纬45的纬度圈上有A、B两地，经度差为90，则A、B两地的球面距离与地球半径的比值为【分析】求出球心角，然后A、B两点的距离，求出两点间的球面距离，即可求出A、B两地的球面距离与地球半径的比值【解答】解：地球的半径为R，在北纬45，而ABR，所以A、B的球心角为：，所以两点间的球面距离是：R，所以A、B两地的球面距离与地球半径的比值为；故答案为：【点评】本小题主要考查球面距离及相关计算、经纬度等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力，属于基础题三、解答题（共70分，解答应写出文字说
23、明、证明过程或演算步骤）17（10分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期12月2日12月3日12月4日温差x（）111312发芽数y（颗）253026（1）请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程；（2）该农科所确定的研究方案是：先用上面的3组数据求线性回归方程，再选取2组数据进行检验若12月5日温差为8，发芽数16颗，12月6日温差为10，发芽数23颗由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为
24、得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？注：【分析】（1）由数据求得、，求出回归系数，写出y关于x的线性回归方程；（2）利用回归方程计算x10和x8时对应的函数值，验证所得的线性回归方程是否可靠【解答】解：（1）由数据求得（11+13+12）12，（25+30+26）27，且331227972，又，112+132+122434，计算33122432，由公式得，所以y关于x的线性回归方程是（2）当x10时，同样地，当x8时，所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了运算与求解能力，是基础题18（12分）如图，在三角
25、形ABC中，C，ABC的角平分线BD交AC于D，设CBD，且sin（1）求sinABC和sinA的值；（2）若28，求AB的长【分析】（1）先根据已知条件求出的余弦值，再根据二倍角公式求出sinABC，再根据三角形三内角之间的关系以及两角和的正弦公式即可求出sinA的值；（2）先根据第一问的结论以及正弦定理求出两边之间的关系，代入已知求出边长，再结合正弦定理即可求AB的长【解答】解：（1）因为，（0，）且为三角形内角的一半，所以为锐角；cos，所以，cosABCcos22cos2121，所以 （+）（2）由正弦定理得，即，所以，又，所以，由得，又由，得，所以AB5【点评】本题主要考查正弦定理，
26、余弦定理以及同角三角函数的基本关系式，两角和正弦公式的应用，是对知识的综合考查，属于基础题19（12分）在一次抽奖活动中，有a，b，c，d，e，f共6人获得抽奖机会，抽奖规则如下：若获一等奖后不再参加抽奖，获得二等奖的仍参加三等奖抽奖现在主办方先从6人中随机抽取2人均获一等奖，再从余下的4人中随机抽取1人获二等奖，最后还从这4人中随机抽取1人获三等奖（1）求a能获一等奖的概率；（2）若a，b已获一等奖，求c能获奖的概率【分析】（1）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；（2）利用列举法找出基本事件数，再计算所求的概率值【解答】解：（1）设“a能获一等奖”为事件A，事件A等价于事件“从6人
27、中随机抽取两人，能抽到a”，从6人中随机抽取两人的基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15个，其中含有a的有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f）共5个，所以，即a能获一等奖的概率为（2）设“若a，b已获一等奖，c能获奖”为事件B，a，b已获一等奖，余下的4人中，获奖的基本事件有：（c，c），（c，d），（c，e），（c，f），（d，c），（d，d），（d，e），（d，f），（e，c），（e，d），（e，e），（e，f
28、），（f，c），（f，d），（f，e），（f，f）共16个；其中含有c的有（c，c），（c，d），（c，e），（c，f），（d，c），（e，c），（f，c）共7种，所以，即若a，b已获一等奖，c能获奖的概率为【点评】本题考查了古典概型的概率计算问题，是基础题20（12分）如图，三棱锥ABPC中，APPC，ACBC，M为AB中点，D为PB中点，且PMB为正三角形（）求证：DM平面APC；（）求证：BC平面APC；（）若BC4，AB10，求三棱锥DBCM的体积【分析】（I）根据中位线定理可得DMAP，故而结论得证；（II）证明AP平面PBC得出APBC，结合BCPC得出BC平面APC；（III）利
29、用等边三角形的性质得出DM，PC，代入棱锥的体积公式计算【解答】证明：（）M为AB，D为PB中点，DMAP，而DM平面APC，AP平面APCDM平面APC（）PMB为正三角形，且D为PB中点MDPB又由（）知MDAP，APPB，又APPC，PB平面PBC，PC平面PBC，PBPCP，AP平面PBC，APBC，又ACBC，AP，AC平面PBC，APACA，BC平面APC，解：（）AB10，MBPB5，又BC4，又MD，而DM平面BCD，VDBCMVMBCD【点评】本题考查了线面平行，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题21（12分）已知数列an为等差数列，且满足a20，a612，数列bn的
30、前n项和为Sn，且b11，bn+12Sn+1（）求数列an，bn的通项公式；（）若对任意的nN*，不等式恒成立，求实数k的取值范围【分析】（）直接利用数列的递推关系式的应用，求出数列的通项公式（2）利用（）的结论，进一步求出数列的和，再利用恒成立问题的应用求出参数的取值范围【解答】解：（）数列an为等差数列，设首项为a1，公差为d，由于a6a24d12，解得d3，ana2+（n2）d，即an3n6，bn+12Sn+1，bn2Sn1+1（n2），bn+1bn2（SnSn1），bn+13bn（n2），又b22S1+13，b23b1也成立，bn是以1为首项，3为公比的等比数列，（），对nN*恒成立，
31、即对nN*恒成立，令，当n3时，cncn1，当n4时，cncn1，故，即k的取值范围为【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和公式的应用，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型22（12分）圆O：x2+y24与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），l1、l2是分别过A、B点的圆O的切线，过此圆上的另一个点P（P点是圆上任一不与A、B重合的动点）作此圆的切线，分别交l1、l2于C、D两点，且AD、BC两直线交于点M（1）设切点P坐标为（x0，y0），求证：切线CD的方程为x0x+y0y4（2）设点M坐标为（m，n），试写出m2与n2的关系表达式（写出详细推理与计算过程）【分析】（1）设切点坐标可表示出切线斜率，进而表示出切线方程；（2）取x2与x2时，计算出y的表达式，即可表示C、D坐标，进而表示出AD、BC，联立之后可得M坐标，再结合圆的方程即可表示出m、n关系【解答】解：（1）圆心O（0，0），切点（x0，y0），圆心与切点所成直线斜率，切线斜率，又切线过（x0，y0），切线方程为，整理得，即切线方程为x0x+y0y4，（2）过P点的切线为x0x+y0y4，当x2时，当x2时，联立AD与BC，xx0m，所以，又，m2+4n24【点评】本题考查圆的切线方程以及直线与圆的位置关系，属于中档题
