1、2018-2019学年广西南宁三中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分）1（5分）设集合Ay|y2x，xR，Bx|x210，则AB（）A（1，1）B（0，1）C（1，+）D（0，+）2（5分）若a，b都是实数，则“”是“a2b20”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3（5分）若ab，则下列不等式正确的是（）ABa3b3Ca2b2Da|b|4（5分）若实数a，b满足+，则ab的最小值为（）AB2C2D45（5分）下列函数中，最小值为4的是（）Ayx+Bysinx+（0x）Cyex+4exDy+6（5分）一个频率分布表（样本容量为
2、30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在20，60）上的频率为0.8，则估计样本在40，60）内的数据个数为（）A14B15C16D177（5分）已知f（n）+则（）Af（n）中共有n项，当n2时，f（2）+Bf（n）中共有n+1项，当n2时，f（2）+Cf（n）中共有n2n项，当n2时，f（2）+Df（n）中共有n2n+1项，当n2时，f（2）+8（5分）设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A15x4B15x4C20ix4D20ix49（5分）设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线方程的回归系数是，回归截距是，那么必有（）A与r
3、的符号相同B与r的符号相反C与r的符号相反D与r的符号相同10（5分）如图，5个（x，y）数据，去掉D（3，10）后，下列说法错误的是（）A相关系数r变大B残差平方和变大C相关指数R2变大D解释变量x与预报变量y的相关性变强11（5分）从1，2，3，4，5中选3个数，用表示这3个数中最大的一个，则E（）（）A3BC5D612（5分）设函数f（x）在R上存在导函数f（x），对xR，f（x）+f（x）x2，且在（0，+）上，f（x）x若有f（2a）f（a）22a，则实数a的取值范围为（）A（，1B1，+）C（，2D2，+）二、填空题（每题5分，共20分）13（5分）不等式1|x+1|3的解集为 1
4、4（5分）已知a1a2，b1b2，则a1b1+a2b2与a1b2+a2b1的大小关系是 15（5分）已知函数f（x）|x+1|+|xa|（a0），若不等式f（x）6的解集为（，24，+），则a的值为 16（5分）已知直线l过点P（2，1），与x，y轴的正半轴相交于A，B两点，三角形AOB（O为坐标原点）的内切圆半径的取值范围为 三、解答题（6小题，共70分）17（12分）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c向量（a，b）与（cosA，sinB）平行（）求A；（）若a，b2，求ABC的面积18（12分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，对人体健康
5、和大气环境质量的影响很大我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标某市环保局从360天的市区PM2.5监测数据中，随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（1）以这15天的PM2.5日均值来估计这360天的空气质量情况，则其中大约有多少天的空气质量达到一级（2）从这15天的数据中任取3天的数据，记X表示空气质量达到一级的天数，求X的分布列；19（12分）如图，已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADA1AAB2，
6、点E是棱AB上一点，且（1）证明：D1EA1D；（2）若二面角D1ECD的余弦值为，求CE与平面D1ED所成的角20（12分）已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，A为椭圆短轴上端点（1）若ABC的重心是右焦点，试求直线BC的方程；（2）若，D为BC的中点，试求点D的轨迹方程21（12分）已知f（x）xlnx，（1）设g（x）f（x）x，求g（x）的增区间，并证明：当1x1x2时，（2）如果对任意的0x1x2，均存在正数x0使得成立，求证：x0x122（10分）已知：x，y，z是正实数，且x+2y+3z1（1）求+的最小值；（2）求证：x2+y2+z22018-2019学年广西南宁三中高二（下
7、）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1（5分）设集合Ay|y2x，xR，Bx|x210，则AB（）A（1，1）B（0，1）C（1，+）D（0，+）【分析】求解指数函数的值域化简A，求解一元二次不等式化简B，再由并集运算得答案【解答】解：Ay|y2x，xR（0，+），Bx|x210（1，1），AB（0，+）（1，1）（1，+）故选：C【点评】本题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法，是基础题2（5分）若a，b都是实数，则“”是“a2b20”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】由“”可
8、推出“a2b20”成立，而由“a2b20”成立不能推出“”成立，从而得出结论【解答】解：由“”可得 ab0，故有“a2b20”成立，故充分性成立由“a2b20”可得|a|b|，不能推出，故必要性不成立故“”是“a2b20”的充分而不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，不等式的基本性质的应用，属于基础题3（5分）若ab，则下列不等式正确的是（）ABa3b3Ca2b2Da|b|【分析】用特殊值法，令a1，b2，代入各个选项检验可得即可得答案【解答】解：ab，令 a1，b2，代入各个选项检验可得：1，显然A不正确a31，b36，显然 B正确 a2 1，b24，显
9、然C不正确a1，|b|2，显然D 不正确故选：B【点评】通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法4（5分）若实数a，b满足+，则ab的最小值为（）AB2C2D4【分析】由+，可判断a0，b0，然后利用基础不等式即可求解ab的最小值【解答】解：+，a0，b0，（当且仅当b2a时取等号），解可得，ab，即ab的最小值为2，故选：C【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题5（5分）下列函数中，最小值为4的是（）Ayx+Bysinx+（0x）Cyex+4exDy+【分析】利用基本不等式的性质即可判断出【解答】解：A可取x0，最小值不可能为4；B0
10、x，0sinx1，4，其最小值大于4；Cex0，yex+4ex4，当且仅当ex2，即xln2时取等号，其最小值为4，正确；D，2，当且仅当x1时取等号，其最小值为综上可知：只有C符合故选：C【点评】本题考查了基本不等式的性质，注意“一正二定三相等”的使用法则，属于基础题6（5分）一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在20，60）上的频率为0.8，则估计样本在40，60）内的数据个数为（）A14B15C16D17【分析】由样本中数据在20，60）上的频率为0.8，求出样本中数据在20，60）上的频数为24，由此能估计样本在40，60）内的数据个数【解答】解：一个
11、频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在20，60）上的频率为0.8，样本中数据在20，60）上的频数为：300.824，估计样本在40，60）内的数据个数为：244515故选：B【点评】本题考查频数的求法，涉及到频率分布表等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题7（5分）已知f（n）+则（）Af（n）中共有n项，当n2时，f（2）+Bf（n）中共有n+1项，当n2时，f（2）+Cf（n）中共有n2n项，当n2时，f（2）+Df（n）中共有n2n+1项，当n2时，f（2）+【分析】利用已知条件，通过表达式写出结果即可【
12、解答】解：f（n）+表达式中共有n2n+1项，当n2时，f（2）+故选：D【点评】本题考查归纳推理的简单应用，是基础题8（5分）设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A15x4B15x4C20ix4D20ix4【分析】利用二项展开式的通项公式即可得到答案【解答】解：（x+i）6的展开式中含x4的项为x4i215x4，故选：A【点评】本题考查二项式定理，深刻理解二项展开式的通项公式是迅速作答的关键，属于中档题9（5分）设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线方程的回归系数是，回归截距是，那么必有（）A与r的符号相同B与r的符号相反C与r的符号
13、相反D与r的符号相同【分析】根据相关系数知相关系数的性质：|r|1，且|r|越接近1，相关程度越大；且|r|越接近0，相关程度越小r为正，表示正相关，回归直线方程上升【解答】解：相关系数r为正，表示正相关，回归直线方程上升，r为负，表示负相关，回归直线方程下降，与r的符号相同故选：A【点评】本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系的方法，当相关系数为正时，表示两个变量正相关10（5分）如图，5个（x，y）数据，去掉D（3，10）后，下列说法错误的是（）A相关系数r变大B残差平方和变大C相关指数R2变大D解释变量x与预报变量y的相关性变强【分析】由散点图知，去掉D（3，10）后，y与x的线性
14、相关加强，由相关系数r，相关指数R2及残差平方和与相关性的关系得出选项【解答】解：由散点图知，去掉D（3，10）后，y与x的线性相关加强，且为正相关，所以r变大，R2变大，残差平方和变小故选：B【点评】本题考查刻画两个变量相关性强弱的量：相关系数r，相关指数R2及残差平方和，属于一道基础题11（5分）从1，2，3，4，5中选3个数，用表示这3个数中最大的一个，则E（）（）A3BC5D6【分析】的取值为3，4，5根据计数原理计算出每个随机变量对应的概率，求出期望即可【解答】解：根据题意的取值分别为3，4，5P（3）0.1，P（4）0.3，P（5）0.6所以随机变量的分布列为：345p 0.1 0
15、.3 0.6故E（）30.1+40.3+50.64.5故选：B【点评】本题考查了离散型随机变量的概率分布，属于基础题12（5分）设函数f（x）在R上存在导函数f（x），对xR，f（x）+f（x）x2，且在（0，+）上，f（x）x若有f（2a）f（a）22a，则实数a的取值范围为（）A（，1B1，+）C（，2D2，+）【分析】可构造函数g（x）f（x）x2，由g（x）+g（x）0，可得函数g（x）为奇函数利用导数可得函数g（x）在R上是增函数，f（2a）f（a）22a，即g（2a）g（a），可得 2aa，由此解得a的范围【解答】解：f（x）+f（x）x2，f（x）x2+f（x）x20，令g（x）
16、f（x）x2，g（x）+g（x）f（x）x2+f（x）x20，函数g（x）为奇函数x（0，+）时，f（x）xx（0，+）时，g（x）f（x）x0，故函数g（x）在（0，+）上是增函数，故函数g（x）在（，0）上也是增函数，由f（0）0，可得g（x）在R上是增函数f（2a）f（a）22a，等价于f（2a）f（a），即g（2a）g（a），2aa，解得a1故选：A【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，然后构造出关于a的不等式求解的思路，本题的关键是由已知条件构造出关于函数g（x）f（x），然后结合其奇偶性解题是本题的关键二、填空题（每题5分，共20分）13（5分）不等式1|x+1|3的解集为（
17、4，2）（0，2）【分析】去掉绝对值号得到关于x的不等式组，解出即可【解答】解：1|x+1|3，解得：4x2或0x2，故答案为：（4，2）（0，2）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道基础题14（5分）已知a1a2，b1b2，则a1b1+a2b2与a1b2+a2b1的大小关系是a1b1+a2b2a1b2+a2b1【分析】根据已知条件，作差比较a1b1+a2b2与a1b2+a2b1大小即可【解答】解：a1b1+a2b2a1b2a2b1a1（b1b2）+a2（b2b1）（a1a2）（b1b2）；a1a2，b1b2；a1a20，b1b20；（a1a2）（b1b2）0；a1b
18、1+a2b2a1b2+a2b1故答案为：a1b1+a2b2a1b2+a2b1【点评】考查比较两个式子大小的方法：作差比较15（5分）已知函数f（x）|x+1|+|xa|（a0），若不等式f（x）6的解集为（，24，+），则a的值为3【分析】依题意，f（x）|x+1|+|xa|，利用f（x）6的解集为（，24，+），即可求得a的值【解答】解：a0，故f（x）|x+1|+|xa|，当x1时，解2x+a16得：x；当1xa时，f（x）1+a；当xa时，解2x+1a6得：x；又f（x）6的解集为（，24，+），2且4且1+a4，+），解得a3故答案为：3【点评】本题考查绝对值不等式的解法，通过对x范围
19、的分类讨论，去掉f（x）|x+1|+|xa|（a0）中的绝对值符号是关键，考查运算能力，属于难题16（5分）已知直线l过点P（2，1），与x，y轴的正半轴相交于A，B两点，三角形AOB（O为坐标原点）的内切圆半径的取值范围为（，1）【分析】设出斜边方程的截距式，利用极限思想结合等积法得到半径的表达式，再结合斜边的旋转方向，得到r的范围【解答】解：根据题意，设直线l与x轴、y轴的正半轴分别相交于A（a，0），B（0，b），则直线l的方程为+1，又由直线l过点P（2，1），则有当a+时，直线AB几乎与x轴平行，此时三角形AOB的内切圆近似于夹在直线y1与x轴之间，由等积法，r，因为a+，所以0，0
20、，所以r，根据斜边的旋转方向，r，同理b+时，直线AB几乎与y轴平行，此时三角形AOB的内切圆近似于夹在直线x2与y轴之间，由等积法，r，因为b+，所以0，0，r1，根据斜边的旋转方向r1综上：，故填：（，1）【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（6小题，共70分）17（12分）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c向量（a，b）与（cosA，sinB）平行（）求A；（）若a，b2，求ABC的面积【分析】（）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A；（）利用A，以及a，b2，通过余弦定理求出c，然后求解
21、ABC的面积【解答】解：（）因为向量（a，b）与（cosA，sinB）平行，所以asinB0，由正弦定理可知：sinAsinBsinBcosA0，因为sinB0，所以tanA，可得A；（）a，b2，由余弦定理可得：a2b2+c22bccosA，可得74+c22c，解得c3，ABC的面积为：【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力18（12分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，对人体健康和大气环境质量的影响很大我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克
22、/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标某市环保局从360天的市区PM2.5监测数据中，随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（1）以这15天的PM2.5日均值来估计这360天的空气质量情况，则其中大约有多少天的空气质量达到一级（2）从这15天的数据中任取3天的数据，记X表示空气质量达到一级的天数，求X的分布列；【分析】（1）依题意知，一年中每天空气质量达到一级的概率为，一年中空气质量达到一级的天数为Y，则YB（360，），由此能求出这360天的空气质量达到一级的天数（2）由题意知N15，M6，n3，X的可能取值为0，1，
23、2，3，其分布列为P（Xk），（k0，1，2，3），由此能求出X的分布列【解答】解：（1）依题意知，一年中每天空气质量达到一级的概率为，一年中空气质量达到一级的天数为Y，则YB（360，），所以E（Y）360144，所以这360天的空气质量达到一级的天数大约有144天（2）由题意知N15，M6，n3，X的可能取值为0，1，2，3，其分布列为P（Xk），（k0，1，2，3），所以P（X0），P（X1），P（X2），P（X3），所以X的分布列是：X0123P【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查茎叶图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19（12分）如图，已知在长
24、方体ABCDA1B1C1D1中，ADA1AAB2，点E是棱AB上一点，且（1）证明：D1EA1D；（2）若二面角D1ECD的余弦值为，求CE与平面D1ED所成的角【分析】（1）建立空间坐标系，利用向量法即可证明：D1EA1D；（2）求出平面的法向量，利用向量法即可求出线面所成的角的大小【解答】（1）证明：建立如图所示的坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，4，0），A1（2，0，2），B1（2，4，2），C1（0，4，2），D1（0，0，2）因为，所以E（2，0），于是（2，2）（2，0，2），则（2，2）（2，0，2）0，即，则D1EA1D（2）解：因为D1D平面ABCD，所
25、以平面DEC的法向量为（0，0，2）又（2，2），（0，4，2），设平面D1CE的法向量为（x，y，z），则2x+y（4）0，4y+2z0，所以向量的一个解为（2，1，2）因为二面角D1ECD的大小为则，较大1，即E（2，2，0），故（0，0，2），（2，2，0），（2，2，0），则0，0，即CE平面D1ED，即CE与平面D1ED所成的角为【点评】本题考查线线垂直，考查二面角的平面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，建立坐标系是解决本题的关键20（12分）已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，A为椭圆短轴上端点（1）若ABC的重心是右焦点，试求直线BC的方程；（2）若，D为BC的中点，
26、试求点D的轨迹方程【分析】（1）根据题意，由椭圆的方程可得A、F的坐标，再设B（x1，y1），C（x2，y2），BC的中点D（x0，y0），则有，两式相减：，由三角形重心坐标可得2，0，解可得x0、y0的值，将其代入中可得k的值，即直线的点斜式方程可得答案（2）根据题意，设D（x，y）为BC的中点，由向量数量积的性质可得x1x2+y1y24（y1+y2）+160，设BC的方程为：ykx+b，与椭圆的方程联立可得（4+5k2）x2+10bkx+5b2800，由根与系数的关系分析可得可得，变形可得答案【解答】解：（1）根据题意，椭圆中，a，b4，则c2，则A（0，4），F（2，0），设B（x1，y
27、1），C（x2，y2），BC的中点D（x0，y0），则有，两式相减：又由F（2，0）为ABC的重心，2，0，解可得：x03，y02，代入得：k，则直线BC的方程为6x5y280，（2）根据题意，由（1）的结论，设BC的方程为：ykx+b代入4x2+5y280，可得（4+5k2）x2+10bkx+5b2800带入得直线BC过定点，设D（x，y）为BC的中点由于B，E，D，C四点共线，所以kBCkDE，即化简得36x2+45y2+20y0，即D的轨迹方程为：36x2+45y2+20y0【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，属于综合题21（12分）已知f（x）xlnx，（1）设g
28、（x）f（x）x，求g（x）的增区间，并证明：当1x1x2时，（2）如果对任意的0x1x2，均存在正数x0使得成立，求证：x0x1【分析】（1）对g（x）求导，判断g（x）在x1是的单调性，根据单调性即可证明不等式；（2）根据条件可得，令，然后构造函数h（t）lnt（t1），根据h（t）范围即可证明不等式【解答】证明：（1）由g（x）f（x）xxlnxx，（x1）得g（x）lnx0，g（x）在（1，+）上是增函数，故g（x2）g（x1），即f（x2）x2f（x1）x1f（x2）f（x1）x2x1即（2）f（x0）lnx0+1，lnx1+，令则，设h（t）lnt（t1），h（t）在（0，1）上是
29、增函数，h（t）h（1）0即，lnx0lnx1，故x0x1【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和不等式的证明，考查了转化思想和构造法，属中档题22（10分）已知：x，y，z是正实数，且x+2y+3z1（1）求+的最小值；（2）求证：x2+y2+z2【分析】（1）将与x+2y+3z相乘，利用柯西不等式可求出的最小值；（2）将x2+y2+z2与数12+22+32相乘，利用柯西不等式进行配凑可证明x2+y2+z2【解答】（1）解：，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为；（2）证：由柯西不等式可得（12+22+32）（x2+y2+z2）（x+2y+3z）21，即14（x2+y2+z2）1，则，当且仅当时，等号成立【点评】本题考查柯西不等式，解题的关键在于对代数式进行合理的配凑，属于中等题
