1、2017-2018学年广西南宁三中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知全集U1，2，3，4，5，6，7，A2，4，6，B1，3，5，7，则A（UB）等于（）A2，4，6B1，3，5C2，4，5D2，52（5分）函数的定义域为（）A（，1）B（0，1C（0，1）D（0，+）3（5分）三个数a0.42，blog20.4，c20.4之间的大小关系是（）AacbBbacCabcDbca4（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足：f（x）+g（x）ex，则（）Af（x）（ex+ex）Bf
2、（x）（exex）Cg（x）（exex）Dg（x）（exex）5（5分）函数f（x）lgx+x2的零点所在的区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，10）6（5分）已知函数f（x）x2+2mx+2m+3（mR），若关于x的方程f（x）0有实数根，且两根分别为x1，x2，则（x1+x2）x1x2，的最大值为（）AB2C3D7（5分）已知直线（2+m）x+（12m）y+43m0恒经过定点P，则点P到直线l：3x+4y40的距离是（）A6B3C4D78（5分）如图，正四棱锥PABCD底面的四个顶点A、B、C、D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果，则求O的表面积为（）A4B8C12
3、D169（5分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A4B8CD10（5分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1（即A1A面ABC）中，ACABAA1，BC2AE2，则异面直线AE与A1C所成的角是（）A30B45C60D11（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为1，E、F分别为C1D1与AB的中点，B1到平面A1FCE的距离为（）ABCD12（5分）如图，设圆C1：（x5）2+（y+2）24，圆C2：（x7）2+（y+1）225，点A、B分别是圆C1，C2上的动点，P为直线yx上的动点，则|PA|+|PB|的最小值为（）A54B54C37D37二、填空题（共4小
4、题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡上的相应位置）13（5分）已知圆C的方程为（x2）2+（y+1）29，直线l的方程为x3y+20，则圆C上到直线l距离为的点的个数为 14（5分）函数的单调递减区间是 15（5分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，BCCC13，则平面BDC1与平面A1B1C1D1所成的锐二面角的正切值为 16（5分）设长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），（如上右图）一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）若P4与P0重合，则tan
5、 三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，必须写出详细的解题过程）17（10分）已知直线l经过直线3x+4y20与直线2x+y+20的交点P（）若直线l平行于直线3x2y90，求直线l的方程（）若直线l垂直于直线3x2y980，求直线l的方程18（12分）已知M为圆C：x2+y24x14y+450上任一点，且点Q（2，3）（）若P（a，a+1）在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；（）求|MQ|的最大值和最小值；（）若M（m，n），求的最大值和最小值19（12分）已知四边形ABCD为矩形，BCBE2，AB，且BC平面ABE，点F为CE上的点，且BF平面ACE，点M为AB中点（1）求证：M
6、F平面DAE；（2）求直线AB与平面ACF所成的角的正弦值20（12分）已知定义域为R的函数f（x）是奇函数（1）求a的值；（2）证明：f（x）为R上的增函数；（3）若对任意的xR，不等式f（mx2+1）+f（1mx）0恒成立，求实数m的取值范围21（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADC90，平面PAD底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PAPDAD2，BC1，（1）求证：平面PQB平面PAD；（2）若PM3MC，求二面角MBQC的大小22（12分）已知函数（kR），且满足f（1）f（1）（1）求k的值；（2）若函数yf（x）的图象与直线没有
7、交点，求a的取值范围；（3）若函数，x0，log23，是否存在实数m使得h（x）最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由2017-2018学年广西南宁三中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知全集U1，2，3，4，5，6，7，A2，4，6，B1，3，5，7，则A（UB）等于（）A2，4，6B1，3，5C2，4，5D2，5【分析】根据全集U及B求出B的补集，找出A与B补集的交集即可【解答】解：全集U1，2，3，4，5，6，7，B1，3，5，7，UB2，4，6，A2，4，
8、6，A（UB）2，4，6故选：A【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键2（5分）函数的定义域为（）A（，1）B（0，1C（0，1）D（0，+）【分析】函数的定义域为x|，由此能够求出结果【解答】解：函数的定义域为：x|，解得x|0x1，故选：C【点评】本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的灵活运用3（5分）三个数a0.42，blog20.4，c20.4之间的大小关系是（）AacbBbacCabcDbca【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【解答】解：a0.42（0，1），blog20.40，c20.41，ba
9、c故选：B【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足：f（x）+g（x）ex，则（）Af（x）（ex+ex）Bf（x）（exex）Cg（x）（exex）Dg（x）（exex）【分析】由已知结合f（x）为奇函数，g（x）为偶函数可得f（x）+g（x）ex，联立方程组即可求解f（x）【解答】解：由f（x）+g（x）ex，又f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，f（x）+g（x）ex，即f（x）+g（x）ex，联立得：f（x），g（x）故选：B【点评】本题考查函数奇偶性的应用，是基础的计算题5（5分）函
10、数f（x）lgx+x2的零点所在的区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，10）【分析】函数零点左右两边函数值的符号相反，根据函数在一个区间上两个端点的函数值的符号确定是否存在零点【解答】解：f（2）lg2+22lg20，f（1）lg1+1210，零点定理知，f（x）的零点在区间（1，2）上故选：B【点评】本题考查函数的零点的判定定理，本题解题的关键是求出区间的两个端点的函数值，进行比较，本题是一个基础题6（5分）已知函数f（x）x2+2mx+2m+3（mR），若关于x的方程f（x）0有实数根，且两根分别为x1，x2，则（x1+x2）x1x2，的最大值为（）AB2C3D【分析】运
11、用韦达定理和判别式大于等于0，以及二次函数的单调性，可得最大值【解答】解：函数f（x）x2+2mx+2m+3（mR），若关于x的方程f（x）0有实数根，且两根分别为x1，x2，x1+x22m，x1x22m+3，（x1+x2）x1x22m（2m+3）4（m+）2+，又4m24（2m+3）0，m1或m3，t4（m+）2+在m（，1上单调递增，m1时最大值为2；t4（m+）2+在m3，+）上单调递减，m3时最大值为54，（x1+x2）x1x2的最大值为2，故选：B【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用韦达定理和判别式，以及二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题7（5分）已知直线（2+m）x
12、+（12m）y+43m0恒经过定点P，则点P到直线l：3x+4y40的距离是（）A6B3C4D7【分析】把直线的方程变形，令m的系数等于零，求得x、y的值，可得定点P的坐标，再利用点到直线的距离公式求得点P到直线l：3x+4y40的距离【解答】解：由直线方程（2+m）x+（12m）y+43m0变形为：m（x2y3）+（2x+y+4）0，令 x2y30，可得2x+y+40，求得x1，y2，可得直线（2+m）x+（12m）y+43m0恒经过定点P（1，2），故点P到直线l：3x+4y40的距离是d3，故选：B【点评】本题主要考查直线经过定点问题，点到直线的距离公式的应用，属于中档题8（5分）如图，
13、正四棱锥PABCD底面的四个顶点A、B、C、D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果，则求O的表面积为（）A4B8C12D16【分析】由题意可知，PO平面ABCD，并且是半径，由体积求出半径，然后求出球的表面积【解答】解：如图，正四棱锥PABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，PO底面ABCD，POR，SABCD2R2，所以，R2，球O的表面积是16，故选：D【点评】本题考查球的内接体问题，球的表面积、体积，考查学生空间想象能力，是基础题9（5分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A4B8CD【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个四棱锥和
14、一个三棱锥组成的组合体，画出几何体的直观图，求出两个棱锥的体积，相加可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体的直观图如下图所示：该几何体是一个四棱锥ACDEF和一个三棱锥组FABC成的组合体，四棱锥ACDEF的底面面积为4，高为4，故体积为：，三棱锥组FABC的底面面积为2，高为2，故体积为：，故这个几何体的体积V，故选：C【点评】根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何的表（侧/底）面积或体积，是高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状10（5分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1（即A1A面ABC）中，ACABAA1，BC2AE2，则异面直线AE与A1C所成的角是（）A
15、30B45C60D【分析】取B1C1的中点E1，连结A1E1，E1C，由AEA1E1，得E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角，由此能求出异面直线AE与A1C所成的角【解答】解：取B1C1的中点E1，连结A1E1，E1C，AEA1E1，E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角，ACABAA1，RtA1B1C1中，A1E11，正方形AA1C1C中，A1C2，RtA1E1C中，cosE1A1C，异面直线AE与A1C所成的角是60故选：C【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是基础题
16、11（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为1，E、F分别为C1D1与AB的中点，B1到平面A1FCE的距离为（）ABCD【分析】点B1到平面A1FCE的距离即点B1到平面A1FC的距离，设B1到平面A1FC的距离d，由三棱锥B1A1FC的体积可得，由此能求出B1到平面A1FCE的距离【解答】解：点B1到平面A1FCE的距离即点B1到平面A1FC的距离，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为1，E、F分别为C1D1与AB的中点，设B1到平面A1FC的距离d，由三棱锥B1A1FC的体积可得，即，解得dB1到平面A1FCE的距离为故选：B【点评】本题考查点到平面的距离的求法，考
17、查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题12（5分）如图，设圆C1：（x5）2+（y+2）24，圆C2：（x7）2+（y+1）225，点A、B分别是圆C1，C2上的动点，P为直线yx上的动点，则|PA|+|PB|的最小值为（）A54B54C37D37【分析】利用对称的性质，结合两点之间的距离最短，即可求解【解答】解：依题意可知圆C1的圆心（5，2），r2，圆C2的圆心（7，1），R5，如图所示：对于直线yx上的任一点P，由图象可知，要使|PA|+|PB|的得最小值，则问题可转化为求|
18、PC1|+|PC2|Rr|PC1|+|PC2|7的最小值，即可看作直线yx上一点到两定点距离之和的最小值减去7，由平面几何的知识易知当C1关于直线yx对称的点为 C1（2，5），与P、C2共线时，|PC1|+|PC2|的最小值，取得最小值，即直线yx上一点到两定点距离之和取得最小值为|CC2|PA|+|PB|的最小值为|PC1|+|PC2|7 故选：C【点评】本题考查了圆关于直线的对称的圆的求法，动点的最值问题，考查了点与点的距离公式的运用，是中档题题二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡上的相应位置）13（5分）已知圆C的方程为（x2）2+（y+1）29，直线l的方程为x
19、3y+20，则圆C上到直线l距离为的点的个数为2【分析】由已知圆的方程求出圆心坐标，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，则答案可求【解答】解：圆C（x2）2+（y+1）29的圆心C（2，1），圆心C到直线l的距离d，而圆的半径为3，3，圆C上到直线l距离为的点有2个故答案为：2【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，是基础的计算题14（5分）函数的单调递减区间是（1，1【分析】确定函数的定义域，设t（x）x2+2x+3，对称轴x1，根据复合函数的单调性判断即可【解答】解：，x2+2x+30，1x3，设t（x）x2+2x+3，对称轴x1，1根据复合函数的单调性判断：函数的调增区间为（1，
20、1故答案为（1，1【点评】本题考查了函数的性质，复合函数的单调性的求解，属于中档题，关键利用好定义域15（5分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，BCCC13，则平面BDC1与平面A1B1C1D1所成的锐二面角的正切值为【分析】由平面ABCD平面A1B1C1D1，得平面BDC1与平面A1B1C1D1所成的锐二面角与二面角C1DBC的大小相等，点C作CEDB于E，连结C1E，则CEDB于E，连结C1E，则C1EBD，从而C1EC是二面角C1BDC 的平面角，由此能求出平面BDC1与平面A1B1C1D1所成的锐二面角的正切值【解答】解：长方体ABCDA1B1C1D1中，平面ABCD平
21、面A1B1C1D1，平面BDC1与平面A1B1C1D1所成的锐二面角与二面角C1DBC的大小相等，过点C作CEDB于E，连结C1E，则CEDB于E，连结C1E，则C1EBD，C1EC是二面角C1BDC 的平面角，BDECBCCD，EC，tan，平面BDC1与平面A1B1C1D1所成的锐二面角的正切值为故答案为：【点评】本题考查二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题16（5分）设长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），（如上右图）一质点从AB的中点P0沿与A
22、B夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）若P4与P0重合，则tan【分析】由已知可得P2、P3和也都是所在边的中点，再由ABCD是长方形知P1也是BC的中点，利用对称性求解得答案【解答】解：由题意，若P4与P0重合，则P2、P3和也都是所在边的中点，ABCD是长方形（P1也是BC的中点），根据对称性可得，则tan故答案为：【点评】本题考查直线斜率的求法，考查点关于直线的对称点的求法，是基础题三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，必须写出详细的解题过程）17（10分）已知直线l经过直线3x+4y20与直线2x+y+20的交点P（
23、）若直线l平行于直线3x2y90，求直线l的方程（）若直线l垂直于直线3x2y980，求直线l的方程【分析】（1）联立方程组求出点P（2，2），由点P（2，2），且所求直线l与直线3x2y9平行，设所求直线l的方程为3x2y+m0，将点P坐标代入能求出直线l的方程（II）由于点P（2，2），且所求直线l与直线3x2y980垂直，设所求直线l的方程为2x+3y+n0将点P坐标代入能求出所求直线l的方程【解答】解：（1）由，解得，则点P（2，2）（2分）由于点P（2，2），且所求直线l与直线3x2y9平行，设所求直线l的方程为3x2y+m0，将点P坐标代入得3（2）22+m0，解得m10故所求直线
24、l的方程为3x2y+100（6分）（II）由于点P（2，2），且所求直线l与直线3x2y980垂直，可设所求直线l的方程为2x+3y+n0将点P坐标代入得2（2）+32+n0，解得n2故所求直线l的方程为2x+3y20（10分）【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线与直线平行、直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题18（12分）已知M为圆C：x2+y24x14y+450上任一点，且点Q（2，3）（）若P（a，a+1）在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；（）求|MQ|的最大值和最小值；（）若M（m，n），求的最大值和最小值【分析】（）由点P（a，a
25、+1）在圆C上，可得a4，即得到P（4，5），进而求出所以线段PQ的长及直线PQ的斜率（）由题意可得圆的圆心C坐标为（2，7），半径可得，根据圆的性质可得答案（）可知表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为：y3k（x+2），即kxy+2k+30，根据直线与圆的位置关系可得，即可得到答案【解答】解：（）由点P（a，a+1）在圆C上，可得a2+（a+1）24a14（a+1）+450，所以a4，P（4，5）所以，（）由C：x2+y24x14y+450可得（x2）2+（y7）28所以圆心C坐标为（2，7），半径可得，因此 ，（）可知表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为：y3k（x+2），即kxy+2
26、k+30，则由直线MQ与圆C有交点，所以 可得，所以的最大值为，最小值为【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握圆的坐标方程及其一个的性质，并且熟练掌握直线与圆的位置关系的判定19（12分）已知四边形ABCD为矩形，BCBE2，AB，且BC平面ABE，点F为CE上的点，且BF平面ACE，点M为AB中点（1）求证：MF平面DAE；（2）求直线AB与平面ACF所成的角的正弦值【分析】（1）取DE中的Q，连接QF、QA，推导出四边形AMFQ为平行四边形，从而AQMF，由此能证明MF平面DAE（2）由BF平面CAE，得F为中点，BFAF，AF是AB平面AEC上的射影，从而BAF为直线AB与平面AEC所成的
27、角，由此能求出直线AB与平面ACF所成的角的正弦值【解答】证明：（1）取DE中的Q，连接QF、QA，如图，因为BF平面CAE，所以F为中点，因边点M为AB中点，所以QFAM，QFAM，所以四边形AMFQ为平行四边形，所以AQMF，AQ平面DAE，又MF平面DAE，所以MF平面DAE（6分）解：（2）如图，因为BF平面CAE，所以F为中点，BFAF，AF是AB平面AEC上的射影，所以BAF为直线AB与平面AEC所成的角，（9分）所以直线AB与平面ACF所成的角的正弦值：sinBAF（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识
28、，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题20（12分）已知定义域为R的函数f（x）是奇函数（1）求a的值；（2）证明：f（x）为R上的增函数；（3）若对任意的xR，不等式f（mx2+1）+f（1mx）0恒成立，求实数m的取值范围【分析】（1）根据奇函数的定义，取x1，得f（1）+f（1）0，解之得a2，再经过检验可得当a2时，f（x）+f（x）0对xR恒成立，所以f（x）是奇函数；（2）令t2x，得y（1），再用单调性的定义，证出当x1R，x2R且x1x2时，y1y2，讨论可得y1y2，所以f（x）在R上是增函数；（3）因为f（x）是奇函数，并且在R上是增函
29、数，所以原不等式对任意的xR恒成立，即mx2+1mx1对任意的xR恒成立，化简整理得关于x的一元二次不等式，最后经过分类讨论，可得实数m的取值范围为0m8【解答】解：（1）函数是奇函数，f（1）+f（1）0，可得+0，解之得a2，检验：a2时，f（x），f（x）f（x）+f（x）0对xR恒成立，即f（x）是奇函数（2）证明：令t2x，则y（1）设x1R，x2R且x1x2t2x在R上是增函数，0t1t2当0t1t2时，y1y2（1）（1）0t1t2，t1t20，t1+10，t2+10，y1y2，可得f（x）在R上是增函数，（3）f（x）是奇函数，不等式f（mx2+1）+f（1mx）0等价于f（m
30、x2+1）f（mx1），f（x）在R上是增函数，对任意的xR，不原不等式恒成立，即mt2+1mt1对任意的xR恒成立，化简整理得：mx2mx+20对任意的xR恒成立1m0时，不等式即为20恒成立，符合题意；2m0时，有，即0m8，综上所述，可得实数m的取值范围为0m8【点评】本题以含有指数式的分式函数为例，考查了函数的单调性与奇偶性等简单性质和一元二次不等式恒成立等知识点，属于中档题21（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADC90，平面PAD底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PAPDAD2，BC1，（1）求证：平面PQB平面PAD；（2）若P
31、M3MC，求二面角MBQC的大小【分析】（1）推导出PQAD，四边形BCDQ是平行四边形，从而DCQB，推导出BQAD，从而AD平面PQB，由此能证明平面PQB平面PAD（2）推导出PQ底面ABCD，以Q为原点，QA所在直线为x轴，QB所在直线为y轴，QP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角MBQC的大小【解答】（本小题满分12分）证明：（1）Q为AD的中点，PAPDAD2，BC1，PQAD，四边形BCDQ是平行四边形，DCQB，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADC90，BQAD（4分）又BQPQQ，AD平面PQBAD平面PAD，平面PQB平面PAD（5分）解：（2）
32、PQAD，平面PAD底面ABCD，平面PAD底面ABCDAD，PQ底面ABCD，以Q为原点，QA所在直线为x轴，QB所在直线为y轴，QP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则Q（0，0，0），（6分）设M（a，b，c），则，即，（8分），设平面MQB的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，0，）平面BQC的一个法向量（0，0，1）（10分）设二面角MBQC的平面角为（为锐角），则cos，二面角MBQC的大小为（12分）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的益关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题22（12分）已知函数
33、（kR），且满足f（1）f（1）（1）求k的值；（2）若函数yf（x）的图象与直线没有交点，求a的取值范围；（3）若函数，x0，log23，是否存在实数m使得h（x）最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据f（1）f（1），求出k的值即可；（2）令，问题转化为函数yg（x）的图象与直线ya无交点，根据函数的单调性求出a的范围即可；（3）根据二次函数的性质通过讨论m的范围，结合函数的最小值，求出m的值即可【解答】解：（1）f（1）f（1），即5分（2）由题意知方程即方程无解，令，则函数yg（x）的图象与直线ya无交点任取x1、x2R，且x1x2，则，g（x）在（，+）上是单调减函数，a的取值范围是（，09分注意：如果从复合函数角度分析出单调性，给全分 9分（3）由题意h（x）4x+m2x，x0，log23，令t2x1，3，（t）t2+mt，t1，3，开口向上，对称轴当，m1当，即6m2，m0（舍去）当，即m6，（t）min（3）9+3m0，m3（舍去）存在m1得h（x）最小值为012分【点评】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查转化思想以及分类讨论思想，换元思想，是一道中档题
