1、2017-2018学年广西南宁三中高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合Ax|3xx20，则AB为（）A0，3）B（1，3）C（0，1D2（5分）函数f（x）sin（2x+）的最小正周期为（）A4B2CD3（5分）将函数f（x）sin2x的图象向右平移个单位，得到函数yg（x）的图象，则它的一个对称中心是（）ABCD4（5分）已知平面向量，满足（1，），|3，（2），则|（）A2B3C4D65（5分）已知向量，|3，则（）A9B8C7D106（5分）若8x+4y4，则3x+2y的
2、最大值（）A2B4C4D27（5分）若（0，），且sin+2cos2，则tan（）ABCD8（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（）ABCD9（5分）设acos6sin6，b，c，则有（）AabcBabcCbcaDacb10（5分）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）ABCD11（5分）若x，y满足约束条件，则zx+2y的最大值为（）A3B4C5D612（5分）设x，y，zR，且x+y+z2，则x2+y2+z2的最小值（）A1BCD二、填空题（每题5分，满分20分，将答案
3、填在答题纸上）13（5分）已知数列an满足a11，anan+12anan+1，且nN*，则a8 14（5分）在ABC中，a：b：c4：5：6，则tanA 15（5分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为，点M是棱BC的中点，点P在底面ABCD内，点Q在线段A1C1上，若PM1，则PQ长度的最小值为 16（5分）2018世界杯的足球场是如图所示的矩形OEFM，其中AB为球门，OAa，OBb（ba0），如果巴西队员加布里埃尔耶稣在边界oe上的点c处射门，为使射门角度ACB最大，则点C应距离点O多远的地方 三、解答题（本大题共6小题，共7
4、0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知函数（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数f（x）在区间上的最值及相应的x值18（12分）（1）关于x的不等式x2axa3的解集非空，求实数a的取值范围；（2）已知，求函数的最大值19（12分）已知圆C的方程：x2+y22x4y+m0（1）求m的取值范围；（2）圆C与直线x+2y40相交于M，N两点，且OMON（O为坐标原点），求m的值20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，侧棱PD底面ABCD，底面ABCD为长方形，且PDCD1，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F（1）证明：PB平面DEF；（2）若三棱锥ABD
5、P的体积为，求二面角FDEB的正弦值21（12分）已知数列an的前n项和为Sn，满足a11，Sn+1Sn+2an+5（1）证明：an+5是等比数列；（2）若Sn+5n128，求n的最小值22（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，并且a22，S515，数列bn满足：b1，bn+1bn（nN+），记数列bn的前n项和为Tn（1）求数列an的通项公式an及前n项和公式Sn；（2）求数列bn的通项公式bn及前n项和公式Tn；（3）记集合Mn|，nN+，若M的子集个数为16，求实数的取值范围2017-2018学年广西南宁三中高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个
6、小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合Ax|3xx20，则AB为（）A0，3）B（1，3）C（0，1D【分析】先求出集合A，B，由此能求出AB【解答】解：集合Ax|3xx20x|0x3，x|x1，ABx|0x1（0，1故选：C【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题2（5分）函数f（x）sin（2x+）的最小正周期为（）A4B2CD【分析】利用三角函数周期公式，直接求解即可【解答】解：函数f（x）sin（2x+）的最小正周期为：故选：C【点评】本题考查三角函数的周期
7、的求法，是基础题3（5分）将函数f（x）sin2x的图象向右平移个单位，得到函数yg（x）的图象，则它的一个对称中心是（）ABCD【分析】由题意根据平移变换求出函数的解析式，然后通过选项，判断函数的一个对称中心即可【解答】解：函数ysin2x的图象向右平移个单位，则函数变为ysin2（x）sin（2x）；考察选项不难发现：当x时，sin（2）0；（，0）就是函数的一个对称中心坐标故选：D【点评】本题是基础题，考查三角函数图象的平移变换，函数的对称中心坐标问题，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题型4（5分）已知平面向量，满足（1，），|3，（2），则|（）A2B3C4D6【分析】由题意易得|2，
8、|220，代入可得|2|22+|29，开平方可得【解答】解：（1，），|2，又|3，（2），（2）|220，|2|22+|20+99，|3故选：B【点评】本题考查平面向量的数量积和垂直关系，涉及向量的模长公式，属基础题5（5分）已知向量，|3，则（）A9B8C7D10【分析】直接利用向量的数量积的几何意义，转化求解即可【解答】解：向量，|3，则|cosAOB9故选：A【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力6（5分）若8x+4y4，则3x+2y的最大值（）A2B4C4D2【分析】推导出23x+22y4，从而23x22y23x+2y（23x+22y）24由此能求出3x+2y的最大值【解答
9、】解：8x+4y4，23x+22y4，23x22y23x+2y（23x+22y）24当且仅当23x22y，即3x2y1时，取等号，3x+2y的最大值为：2故选：A【点评】本题考查代数式的和的最大值的求法，考查基本环等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题7（5分）若（0，），且sin+2cos2，则tan（）ABCD【分析】利用二倍角公式展开，进一步可得tan的值【解答】解：由sin+2cos2，得，（0，），得tan故选：A【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题8（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异
10、面直线AE与CD所成角的正切值为（）ABCD【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE与CD所成角的正切值【解答】解以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1棱长为2，则A（2，0，0），E（0，2，1），D（0，0，0），C（0，2，0），（2，2，1），（0，2，0），设异面直线AE与CD所成角为，则cos，sin，tan异面直线AE与CD所成角的正切值为故选：C【点评】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间角等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，
11、是基础题9（5分）设acos6sin6，b，c，则有（）AabcBabcCbcaDacb【分析】由三角函数恒等变换化简可得asin24，bsin26，csin25根据角的范围和正弦函数的单调性即可比较大小【解答】解：acos6sin6sin30cos6cos30sin6sin24，bsin26，csin25024252690sin26sin25sin24，即有：acb，故选：D【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用，正弦函数的单调性，属于基本知识的考查10（5分）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）ABCD【分析】设AB1，则
12、AA12，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为，则sin|，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可【解答】解：设AB1，则AA12，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），（1，1，0），（1，0，2），（1，0，0），设（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，即，取（2，2，1），设CD与平面BDC1所成角为，则sin|，故选：A【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用
13、，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键11（5分）若x，y满足约束条件，则zx+2y的最大值为（）A3B4C5D6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由直线方程可知，要使z最大，则直线在y轴上的截距最大，结合可行域可知当直线zx+2y过点A时z最大，求出A的坐标，代入zx+2y得答案【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由zx+2y，得yx+要使z最大，则直线yx+的截距最大，由图可知，当直线yx+过点A时截距最大联立，解得A（2，1），zx+2y的最大值为2+214故选：B【点评】本题考查了简单的线性规划，解答的关键是正确作出可行
14、域，是中档题12（5分）设x，y，zR，且x+y+z2，则x2+y2+z2的最小值（）A1BCD【分析】由（x+y+z）2x2+y2+z2+2（xy+yz+zx ）x2+y2+z2+（y2+x2）+（y2+z2）+（x2+z2）3（x2+y2+z2）即可求解【解答】解：（x+y+z）2x2+y2+z2+2（xy+yz+zx ）x2+y2+z2+（y2+x2）+（y2+z2）+（x2+z2）3（x2+y2+z2）x2+y2+z2当且仅当xyz时取等号故选：B【点评】本题考查平均值不等式的性质，属于中档题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）已知数列an满足a11，an
15、an+12anan+1，且nN*，则a8【分析】直接利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步根据通项公式求出结果【解答】解：数列an满足a11，anan+12anan+1，则：（常数），数列是以为首项，2为公差的等差数列则：，所以：，当n1时，首项a11，故：所以：故答案为：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用14（5分）在ABC中，a：b：c4：5：6，则tanA【分析】根据题意，利用余弦定理求得cosA的值，再利用同角的三角函数公式求得sinA、tanA的值【解答】解：ABC中，a：b：c4：5：6，设a4k，b5k，c6k，k0，则cosA，sinA；tanA故答案为：
16、【点评】本题考查了余弦定理和同角的三角函数关系应用问题，是基础题15（5分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为，点M是棱BC的中点，点P在底面ABCD内，点Q在线段A1C1上，若PM1，则PQ长度的最小值为【分析】点P在以M为圆心，1以半径的位于平面ABCD内的半圆上，连结A1C1、B1D1，交于点O，取B1C1中点N，OC1中点Q，连结QN，取QN中点E，连结PE，PQ，此时PQ长度取最小值【解答】解：如图，点P在以M为圆心，1以半径的位于平面ABCD内的半圆上，连结A1C1、B1D1，交于点O，取B1C1中点N，OC1中点Q，连结QN，取QN中点E，连结PE，PQ，此时PQ长度取最
17、小值，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为，点M是棱BC的中点，点P在底面ABCD内，点Q在线段A1C1上，PM1，PMEN1，ONOB1B1D12，QE211，又PECC14，PQ长度的最小值为：故答案为：【点评】本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题16（5分）2018世界杯的足球场是如图所示的矩形OEFM，其中AB为球门，OAa，OBb（ba0），如果巴西队员加布里埃尔耶稣在边界oe上的点c处射门，为使射门角度ACB最大，则点C应距离点O多远的地方【分析】设
18、OCx，表示出tanACO和tanBCO，再求出tanACB的最大值即可【解答】解：设OCx，则x0，tanACO，tanBCO，tanACBtan（BCOACO），当且仅当x，即x时取“”；此时射门角度ACB最大，对应点C距离点O为故答案为：【点评】本题考查了直角三角形的边角关系应用问题，是中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知函数（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数f（x）在区间上的最值及相应的x值【分析】（I）直接利用二倍角公式变形，再由辅助角公式化积即可求函数f（x）的最小正周期；（II）结合已知条件求出，进
19、而可求出函数f（x）在区间上的最值及相应的x值【解答】解：（），f（x）的最小正周期是；（），02x，当时，f（x）max2当时，f（x）min1【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查yAsin（x+）型函数的图象和性质，是基础题18（12分）（1）关于x的不等式x2axa3的解集非空，求实数a的取值范围；（2）已知，求函数的最大值【分析】（1）设f（x）x2axa由题意可得3不小于f（x）的最小值，由二次函数的性质可得最小值，解不等式即可得到所求范围；（2）由题意可得54x0，即有y（54x+）+3，运用基本不等式可得函数y的最大值【解答】解：（1）设f（x）x2axa，则关于x
20、的不等式x2axa3的解集不是空集f（x）3在R上能成立3f（x）min，即f（x）的最小值为，由3，解得a2或a6；（2）x，即54x0，y4x2+（54x+）+32+31，当且仅当54x，解得x1或x（舍去）即x1时，上式等号成立，故当x1时，函数y的最大值为1【点评】本题考查不等式的解法和函数的最值求法，注意运用转化思想，以及基本不等式，考查运算能力，属于中档题19（12分）已知圆C的方程：x2+y22x4y+m0（1）求m的取值范围；（2）圆C与直线x+2y40相交于M，N两点，且OMON（O为坐标原点），求m的值【分析】（1）由方程x2+y22x4y+m0配方为（x1）2+（y2）2
21、5m由于此方程表示圆，可得5m0，解出即可；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）与圆的方程联立可得0及根与系数关系，再利OMON得y1y2+x1x20，即可解出m【解答】解：（1）方程x2+y22x4y+m0，可化为（x1）2+（y2）25m，此方程表示圆，5m0，即m5（4分）（2）消去x得（42y）2+y22（42y）4y+m0，化简得5y216y+m+804（245m）0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，由OMON得y1y2+x1x20，即y1y2+（42y1）（42y2）0，168（y1+y2）+5y1y20将两式代入上式得168+50，解之得符合（12分）【点评】本题
22、考查了直线与圆相交问题转化为方程联立得到0及根与系数关系、向量垂直与数量积的关系等基础知识与基本技能方法，属于中档题20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，侧棱PD底面ABCD，底面ABCD为长方形，且PDCD1，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F（1）证明：PB平面DEF；（2）若三棱锥ABDP的体积为，求二面角FDEB的正弦值【分析】（1）由PD底面ABCD，得PDBC，由于底面ABCD为长方形，得CDBC，从而得到BC平面PCD，则DEBC，再由已知可得DEPC，由线面垂直的判定可得DE平面PBC，进一步得到DEPB，再由线面垂直的判定可得PB平面DEF；（2）由题意易知DA、DC
23、、DP两两垂直，以D为坐标原点，建立如图空间直角坐标系Dxyz，利用等积法求得BC，然后分别求出B，E的坐标，得到平面EBD的法向量，结合（1）可得为平面DEF的法向量，求出二面角FDEB的余弦值，进一步求得二面角FDEB的正弦值【解答】（1）证明：PD底面ABCD，BC平面ABC，PDBC，由于底面ABCD为长方形，CDBC，而PDCDD，BC平面PCD，DE平面PCD，DEBC，PDCD，E为PC中点，DEPC，PCBCC，DE平面PBC，DEPB，又EFPB，DEEFE，PB平面DEF；（2）解：由题意易知DA、DC、DP两两垂直，以D为坐标原点，建立如图空间直角坐标系Dxyz，可得D（
24、0，0，0），P（0，0，1），C（0，1，0）设BCt，则有VABDPVPADB，t2B（2，1，0），E（0，），设平面EBD的法向量，由，令x1，则由（1）PB平面DEF，为平面DEF的法向量，设二面角FDEB为，则cos故sin二面角FDEB的正弦值为【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查利用空间向量求解线面角，是中档题21（12分）已知数列an的前n项和为Sn，满足a11，Sn+1Sn+2an+5（1）证明：an+5是等比数列；（2）若Sn+5n128，求n的最小值【分析】（1）利用已知条件推出an+12an+5，然后证明an+5是等比数列（2）求出数列的通项公式求出数列的和，然
25、后化简不等式求解即可【解答】解：（1）因为Sn+1Sn+2an+5，所以an+12an+5，所以，而a1+56，所以an+5是以6为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）得，由，得，因为，所以Sn+5n128时，n的最小值为5【点评】本题考查数列的递推关系式以及数列求和，考查分析问题解决问题的能力22（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，并且a22，S515，数列bn满足：b1，bn+1bn（nN+），记数列bn的前n项和为Tn（1）求数列an的通项公式an及前n项和公式Sn；（2）求数列bn的通项公式bn及前n项和公式Tn；（3）记集合Mn|，nN+，若M的子集个数为16，求实数的取值
26、范围【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可得出；（2）先得到，再利用累乘法，得到数列bn的通项公式，再利用错位相减法求出前n项和公式Tn；（3）根据函数的的单调性，得到不等式，nN+继而求实数的取值范围【解答】解：（1）设数列an的公差为d，由题意得，解得，ann，（2）由题意得，累乘得由题意得得：（3）由上面可得，令，则f（1）1，下面研究数列的单调性，n3时，f（n+1）f（n）0，f（n+1）f（n），即f（n）单调递减集合M的子集个数为16，M中的元素个数为4，不等式，nN+解的个数为4，【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式、累乘法错位相减法求和，以及参数的取值范围，属于中档题
