1、11.6离散型随机变量的均值与方差考情考向分析以理解均值与方差的概念为主，考查二项分布的均值与方差掌握均值与方差的求法是解题关键高考中常以解答题的形式考查，难度为中档1均值(1)若离散型随机变量X的概率分布为Xx1x2xnPp1p2pn则称E(X)x1p1x2p2xnpn为X的均值或数学期望(2)离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平(3)均值的性质E(c)c，E(aXb)aE(X)b(a，b，c为常数)2方差(1)若离散型随机变量X所有可能的取值是x1，x2，xn，且这些值的概率分别是p1，p2，pn，则称：V(X)(x1)2p1(x2)2p2(xn)2pn为X的方差(2)，
2、叫标准差(3)方差的性质a，b为常数，则V(aXb)a2V(X)若XB(n，p)，则E(X)np，V(X)np(1p)概念方法微思考随机变量的均值和方差有什么关系？提示均值(数学期望)反映了随机变量取值的平均水平，而方差则表现了随机变量所取的值对于它的均值(数学期望)的集中与离散的程度，因此二者的关系是十分密切的题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定()(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小()(3)若随机变量X的取值中的某个值对应的概率增
3、大时，均值也增大()(4)均值是算术平均数概念的推广，和概率无关()题组二教材改编2P74习题T6在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是_答案0.7解析E(X)10.700.30.7.3P69例2有10件产品，其中3件是次品，从这10件产品中任取2件，用X表示取到次品的件数，则E(X)_.答案解析X服从超几何分布，P(Xx)(x0,1,2)，P(X0)，P(X1)，P(X2).E(X)012.4P74习题T1随机变量X的概率分布为X101Pabc其中a，b，c成等差数列若E(X)，则方差V(X)的值是_答案解析a，b，c成
4、等差数列，2bac.又abc1，E(X)1a1cca，得a，b，c，V(X)222.题组三易错自纠5下列说法中正确的是_(填序号)离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的概率的平均值；离散型随机变量X的方差V(X)反映了X取值相对于均值的离散程度；离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的大小规律；离散型随机变量X的方差V(X)反映了X取值的概率的平均值答案解析根据均值与方差的概念知正确6设样本数据x1，x2，x10的均值和方差分别为1和4.若yixia(a为非零常数，i1,2，10)，则y1，y2，y10的均值和标准差分别为_，_.答案1a2解析将每个数据都加上a后均值也增加a，方差与
5、标准差都不变7一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则V(X)_.答案1.96解析由题意得XB(100,0.02)，V(X)1000.02(10.02)1.96.题型一离散型随机变量的均值、方差命题点1求离散型随机变量的均值、方差例1(2018无锡模拟)某小区停车场的收费标准为：每车每次停车的时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元(不足1小时的部分按1小时计算)现有甲、乙两人独立来该停车场停车(各停车一次)，且两人停车时间均不超过5小时设甲、乙两人停车时间(小时)与取车概率如下表所示.停车时间取车概率停车人员(0,
6、2(2,3(3,4(4,5甲xxx乙y0(1)求甲、乙两人所付停车费相同的概率；(2)设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量，求的概率分布与均值E()解(1)由题意，得3x1，所以x.y1，所以y.记甲、乙两人所付停车费相同为事件A，则P(A).所以甲、乙两人所付停车费相同的概率为.(2)可能取的值为0,1,2,3,4,5，P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，P(4)，P(5).所以的概率分布为012345P所以E()012345.命题点2已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值例2设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分(
7、1)当a3，b2，c1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的概率分布；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量为取出此球所得分数若E()，V()，求abc.解(1)由题意得2,3,4,5,6，故P(2)，P(3)，P(4)，P(5)，P(6).所以的概率分布为23456P(2)由题意知的概率分布为123P所以E()，V()222，化简得解得a3c，b2c，故abc321.思维升华离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略(1)求离散型随机变量的均值与方差可依题设条件求出离散型随机变量的概率分布，然后利用均值、方
8、差公式直接求解(2)由已知均值或方差求参数值可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值(3)由已知条件，作出对两种方案的判断可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断跟踪训练1为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲
9、、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的概率分布与均值E()，方差V()解(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为，.两人都付0元的概率为P1，两人都付40元的概率为P2，两人都付80元的概率为P3，则两人所付费用相同的概率为PP1P2P3.(2)设甲、乙所付费用之和为，的可能取值为0,40,80,120,160，则P(0)，P(40)，P(80)，P(120)，P(160).所以的概率分布为04080120160PE()0408012016080.V()(080)2(4080)2(8080)2(12080)2(16080)
10、2.题型二均值与方差在决策中的应用例3计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和单位：亿立方米)都在40以上其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40X120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台发电机年利润为50
11、00万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解(1)由题意，得p1P(40X120)0.1.由二项分布可知，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为pC(1p3)4C(1p3)3p34430.9477.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)安装1台发电机的情形由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y5000，E(Y)500015000.安装2台发电机的情形依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y50008004200，因此P(Y4200)P(40X80)p10.2；当X80时，
12、两台发电机运行，此时Y5000210000，因此P(Y10000)P(X80)p2p30.8.由此得Y的概率分布为Y420010000P0.20.8所以，E(Y)42000.2100000.88840.安装3台发电机的情形依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y500016003400，因此P(Y3400)P(40X120时，三台发电机运行，此时Y5000315000，因此P(Y15000)P(X120)p30.1，由此得Y的概率分布为Y3400920015000P0.20.70.1所以，E(Y)34000.292000.7150000.18620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大
13、，应安装发电机2台思维升华随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定跟踪训练2某投资公司在2018年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.针对以上两个投资项目，请你为投资公
14、司选择一个合理的项目，并说明理由解若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的概率分布为X1300150PE(X1)300(150)200.若按“项目二”投资，设获利为X2万元，则X2的概率分布为X25003000PE(X2)500(300)0200.V(X1)(300200)2(150200)235000，V(X2)(500200)2(300200)2(0200)2140000.E(X1)E(X2)，V(X1)V(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥综上所述，建议该投资公司选择项目一投资离散型随机变量的均值与方差问题例(10分)为回馈顾客，某商场拟通过模拟兑奖的方式对1
15、000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：顾客所获的奖励额为60元的概率；顾客所获的奖励额的概率分布及均值；(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由规范解答解(1)设顾客所获的奖励额为X.由题意，得P(X60)，
16、即顾客所获的奖励额为60元的概率为.由题意，得X的所有可能取值为20,60.P(X60)，P(X20)，故X的概率分布为X2060P2分所以顾客所获的奖励额的均值为E(X)206040.3分(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以，先寻找均值为60的可能方案对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以均值不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为60元；因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理
17、可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的概率分布为X12060100P6分X1的均值为E(X1)206010060，X1的方差为V(X1)(2060)2(6060)2(10060)2.对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的概率分布为X2406080P8分X2的均值为E(X2)40608060，X2的方差为V(X2)(4060)2(6060)2(8060)2.由于两种方案
18、的奖励额的均值都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.10分求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤第一步：确定随机变量的所有可能取值及每个值所对应的概率；第二步：列出离散型随机变量的概率分布；第三步：求均值和方差；第四步：根据均值、方差进行判断，并得出结论(适用于均值、方差的应用问题).1在数学趣味知识培训活动中，甲学生的6次培训成绩分别为102,105,112,113,117,123，从中随机抽2个，记被抽到的分数超过115的个数为X，则随机变量X的标准差为_答案解析由题意可知X的所有可能取值为0,1,2，且X服从超几何分布，P(X0)，P(X1)，P(X2)，
19、所以X的概率分布为X012PE(X)012，则X的标准差.2设随机变量的概率分布如下表所示，且E()1.6，则ab_.0123P0.1ab0.1答案0.2解析由0.1ab0.11，得ab0.8.又由E()00.11a2b30.11.6，得a2b1.3，解得a0.3，b0.5，ab0.2.3甲、乙等5名志愿者被随机地分到A，B，C，D4个不同的岗位服务，每个岗位至少有1名志愿者设随机变量X为这5名志愿者中参加A岗位服务的人数，则X的均值为_答案解析根据题意，5名志愿者被随机分配到A，B，C，D4个不同的岗位，每个岗位至少1名，共有CA240(种)分法，分析知X1,2，且P(X1)，P(X2)，故
20、E(X)12.4若XB(n，p)，且E(X)6，V(X)3，则P(X1)的值为_答案3210解析由题意知解得P(X1)C113210.5一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的均值是_答案解析根据题意知X0,1,2，而P(X0)；P(X1)；P(X2).故E(X)012.6某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，
21、得分之和X(单位：分)的均值为_答案0.9解析由题意得X0,1,2，则P(X0)0.60.50.3，P(X1)0.40.50.60.50.5，P(X2)0.40.50.2，E(X)10.520.20.9.7某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192例8例则估计该公司一年后可获收益的均值是_元答案4760解析由题意知，一年后获利6000元的概率为0.96，获利25000元的概率为0.04，故一年后收益的均值是60000.96(25000)0.044760(元)8马老师从
22、课本上抄录一个随机变量的概率分布如下表：x123P(x)？！？请小牛同学计算的均值尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同据此，小牛给出了正确答案E()_.答案2解析设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为12x，则E()1x2(12x)3xx24x3x2.9某保险公司新开设一项保险业务，规定该份保单在一年内如果事件E发生，则该公司要赔偿a元，在一年内如果事件E发生的概率为p，为使该公司收益均值等于，公司应要求该保单的顾客缴纳的保险金为_元答案解析设随机变量X表示该公司此项业务的收益额，x表示顾客交纳的保险金，则X的所有可能值为x，xa，且P(Xx)1
23、p，P(Xxa)p，所以E(X)x(1p)(xa)p，得x.10随机变量的取值为0,1,2.若P(0)，E()1，则V()_.答案解析设P(1)a，P(2)b，则解得所以V()01.11从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，.(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的概率分布和均值；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率解(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以随机变量X的概率分布为X0123PE(X)0123.(2)设Y表示第一辆车
24、遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(YZ1)P(Y0，Z1)P(Y1，Z0)P(Y0)P(Z1)P(Y1)P(Z0).所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.12汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：A型车出租天数1234567车辆数51030351532B型车出租天数1234567车辆数1420201615105(1)从出租天数为3天的汽车(仅限A，B两种车型)中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；(2)根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B
25、型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；(3)试写出A，B两种车型的出租天数的概率分布及均值；如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由解(1)这辆汽车是A型车的概率约为P0.6，故这辆汽车是A型车的概率为0.6.(2)设“事件Ai表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为i天”，“事件Bj表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为j天”，其中i，j1,2,3，7，则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为P(A1B3A2B2A3B1)P(A1B3)P(A2B2)P(A3B1)P(A
26、1)P(B3)P(A2)P(B2)P(A3)P(B1)，故该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为.(3)设X为A型车出租的天数，则X的概率分布为X1234567P0.050.100.300.350.150.030.02设Y为B型车出租的天数，则Y的概率分布为Y1234567P0.140.200.200.160.150.100.05E(X)10.0520.1030.3040.3550.1560.0370.023.62，E(Y)10.1420.2030.2040.1650.1560.1070.053.48.一辆A类车型的出租车一个星期出租天数的均值为3.62天，B类车型的
27、出租车一个星期出租天数的均值为3.48天，故选择A类型的出租车更加合理13某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须经过先后两次烧制，两次烧制过程相互独立根据该厂现有的技术水平，第一次烧制，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5,0.6,0.4；第二次烧制，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6,0.5,0.75.若经过两次烧制后，合格工艺品的件数是X，则随机变量X的均值为_答案0.9解析因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为0.3，所以XB(3,0.3)，故随机变量X的均值E(X)30.30.9.14(2018南京学情调研)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者
28、获胜，投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮互不影响现由甲先投(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投篮次数X的概率分布与均值解(1)设甲第i次投中获胜的事件为Ai(i1,2,3)，则A1，A2，A3彼此互斥甲获胜的事件为A1A2A3.P(A1)，P(A2)，P(A3)22.所以P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3).(2)X的所有可能取值为1,2,3.则P(X1)，P(X2)，P(X3)221.即X的概率分布为X123P所以E(X)123.15设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，
29、0；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，2，则随机变量的均值是_答案解析的可能取值为0，1,2，则P(0)，P()，P(1)，P(2).的概率分布为012PE()012.16某项乒乓球赛事，种子选手M与B1，B2，B3三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M获胜的概率分别为，且各场比赛互不影响求M获胜场数X的均值解设M与B1，B2，B3进行对抗赛获胜的事件为A，B，C，则P(A)，P(B)，P(C).M获胜场数X的可能取值为0,1,2,3，则P(X0)P()，P(X1)P(A)P(C)P(B)，P(X2)P(AB)P(AC)P(BC).P(X3)P(ABC).所以M获胜场数X的概率分布为X0123P所以E(X)0123.18
