1、10.6几何概型考情考向分析以理解几何概型的概念、概率公式为主，会求一些简单的几何概型的概率，常与平面几何、线性规划、不等式的解集等知识交汇考查在高考中常以填空题的形式考查，难度为中档1几何概型设D是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d的形状和位置无关我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型2几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一
2、个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A).3要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性4随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法这个方法的基本步骤是用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；计算频率fn(A)作为所求概率的近似值概念方法微思考1古典概型与几何概型有什么区别？提示古典概型与几何概
3、型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个2几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？提示几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零()(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等()(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形()(4)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关()(5)从区间1,10内任取一个数，取到1的概率
4、是P.()题组二教材改编2P110习题T1在线段0,3上任投一点，则此点坐标小于1的概率为_答案解析坐标小于1的区间为0,1)，长度为1，0,3的区间长度为3，故所求概率为.3P116习题T6有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是_答案解析P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，P(A)P(C)P(D)P(B)4P120复习T10设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是_答案解析如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的平面区域D，且区域D的面积为4，而阴
5、影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域易知该阴影部分的面积为4.因此满足条件的概率是.题组三易错自纠5在区间2,4上随机地取一个数x，若x满足|x|m的概率为，则m_.答案3解析由|x|m，得mxm.当0m2时，由题意得，解得m2.5，矛盾，舍去当2mAC的概率为_答案解析设事件D为“作射线CM，使AMAC”在AB上取点C使ACAC，因为ACC是等腰三角形，所以ACC75，事件D发生的区域D907515，构成事件总的区域90，所以P(D).题型一与长度、角度有关的几何概型1(2018连云港模拟)记函数f(x)的值域为D.在区间1,2上随机取一个数x，则xD的概率是_答案解析2xx2
6、1(x1)21，01，即D为0,1，在1,2上随机取一个数x，则xD的概率是.2某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是_答案解析如图所示，画出时间轴小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，得所求概率P.3.如图，四边形ABCD为矩形，AB，BC1，在DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为_答案解析因为在DAB内任作射线AP，所以它的所有等可能事件所在的区域H是DAB
7、，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在CAB内，则区域H为CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为.4在区间0,5上随机地选择一个数p，则方程x22px3p20有两个负根的概率为_答案解析方程x22px3p20有两个负根，则有即解得p2或p1，又p0,5，则所求概率为P.思维升华求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解要特别注意“长度型”与“角度型”的不同解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)题型二与面积有关的几何概型例1(1)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆
8、中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是_答案解析不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑S白S圆，所以由几何概型知，所求概率P.(2)(2018江苏省无锡市玉祁中学模拟)一只蚂蚁在边长分别为6,8,10的ABC区域内随机爬行，则其恰在到顶点A或顶点B或顶点C的距离小于1的地方的概率为_答案解析蚂蚁活动的范围是在三角形的内部，三角形的边长为6,8,10，是直角三角形，面积为6824，而“恰在离三个顶点距离都小于1”正好是一个半径为1的半圆，面积为
9、12，根据几何概型的概率公式可知其到三角形顶点的距离小于1的地方的概率为.思维升华求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解跟踪训练1(1)设不等式组所表示的平面区域为M，x2y21所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为_(2)如图，在矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)的图象上若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为_答案(1)(2)解析(1)画出两不等式组表示
10、的平面区域，则图中阴影部分为两不等式组的公共部分，易知A(4,4)，B，OAOB，平面区域M的面积SAOB4，阴影部分的面积S12.由几何概型的概率计算公式，得P.(2)由图形知C(1,2)，D(2,2)，S四边形ABCD6，S阴31，P.题型三与体积有关的几何概型例2(1)已知正三棱锥SABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VPABC32，4xn.如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线mn恰好将矩形平分，所求的概率为P.11在区间，内随机取出两个数分别记为a，b，求函数f(x)x22axb22有零点的概率解由函
11、数f(x)x22axb22有零点，可得(2a)24(b22)0，整理得a2b22，如图所示，(a，b)可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为(a，b)|a，b，其面积S(2)242.事件A表示函数f(x)有零点，所构成的区域为M(a，b)|a2b22，即图中阴影部分，其面积为SM423，故P(A)1.12甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的如果甲船停泊时间为1h，乙船停泊时间为2h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率解设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，记事件A为“两船都不需要等待码头空出”，则0x24，0y24，要使两
12、船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1h以上或乙比甲早到达2h以上，即yx1或xy2.故所求事件构成集合A(x，y)|yx1或xy2，x0,24，y0,24A为图中阴影部分，全部结果构成的集合为边长是24的正方形及其内部所求概率为P(A).13在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于的概率为_答案解析设任取两点所表示的数分别为x，y，则0x1，且0y1，如图所示，则总事件所占的面积为1.记这两点之间的距离小于为事件A，则A，如图中阴影部分所示，空白部分所占的面积为2，所以所求两点之间的距离小于的概率P(A).14向圆C：(x2)2(y)24内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概
13、率为_答案解析如图所示，连结CA，CB，依题意，圆心C到x轴的距离为，所以弦AB的长为2.又圆的半径为2，所以ACB60，所以S圆C224，所以S弓形ADB2，所以向圆C内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率P.15如图，在面积为S的矩形ABCD内任取一点P，则PBC的面积小于的概率为_答案解析如图，设PBC的边BC上的高为PF，线段PF所在的直线交AD于点E，当PBC的面积等于时，BCPFBCEF，所以PFEF.过点P作GH平行于BC交AB于点G，交CD于点H，则满足条件“PBC的面积小于”的点P落在矩形GBCH边界(不包括BC，GH)及其内部设“PBC的面积小于”为事件A，则构成事件A的区域的面积为，而试验的全部结果所构成的区域面积为S，所以由几何概型的概率计算公式得P(A).所以PBC的面积小于的概率是.16.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆在扇形OAB内随机取一点，求此点取自空白部分的概率解设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连结OC，DC.不妨令OAOB2，则ODDADC1.在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1111，所以整个图形中空白部分面积S22.又因为S扇形OAB22，所以P.14
