1、第2课时函数的定义域与值域题型一函数的定义域命题点1求函数的定义域例1(1)(2018江苏)函数f(x)的定义域为_答案x|x2解析由log2x10，即log2xlog22，解得x2，满足x0，所以函数f(x)的定义域为x|x2(2)函数f(x)ln的定义域为_答案4,0)(0,1)解析由解得4x0或0x1，故函数f(x)的定义域为4,0)(0,1)(3)若函数yf(x)的定义域是0,2 020，则函数g(x)的定义域是_答案1,1)(1,2 019解析使函数f(x1)有意义，则0x12020，解得1x2019，故函数f(x1)的定义域为1，2 019所以函数g(x)有意义的条件是解得1x1或
2、1x2019.故函数g(x)的定义域为1,1)(1,2 019引申探究本例(3)中，若将“函数yf(x)的定义域为0,2 020”，改为“函数f(x1)的定义域为0,2 020”，则函数g(x)的定义域为_答案2,1)(1,2 018解析由函数f(x1)的定义域为0,2 020，得函数yf(x)的定义域为1,2 019，令则2x2018且x1.所以函数g(x)的定义域为2,1)(1,2 018命题点2已知定义域求参数范围例2(1)若函数f(x)的定义域为x|1x2，则ab的值为_答案解析函数f(x)的定义域是不等式ax2abxb0的解集不等式ax2abxb0的解集为x|1x2，所以解得所以ab
3、3.(2)设f(x)的定义域为0,1，要使函数f(xa)f(xa)有定义，则a的取值范围为_答案解析函数f(xa)f(xa)的定义域为a,1aa,1a，当a0时，应有a1a，即0a；当a0时，应有a1a，即a0.所以a的取值范围是.思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍(2)求抽象函数的定义域：若yf(x)的定义域为(a，b)，则解不等式ag(x)b即可求出yf(g(x)的定义域；若yf(g(x)的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域(3)已知函数定义域求参数的值或范围，可将问题转化成含参数的不等式
4、，然后求解跟踪训练1(1)函数yln的定义域为_答案(0,1解析函数的定义域满足解得0x1.(2)若函数yf(x)的定义域为0,2，则函数g(x)的定义域是_答案0,1)解析函数yf(x)的定义域是0,2，要使函数g(x)有意义，可得解得0x1.(3)记函数f(x)的定义域为A，g(x)lg(xa1)(2ax)(a1)的定义域为B.若BA，则实数a的取值范围为_答案(，2解析由已知得Ax|x1或x1，Bx|(xa1)(x2a)0，由a2a，Bx|2axa1BA，a11或2a1，a2或a1.a的取值范围为a2或a，所以x0，所以x2，当且仅当x，即x时取等号所以y，即原函数的值域为.思维升华配方
5、法、分离常数法和换元法是求函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解二次分式型函数求值域，多采用分离出整式再利用基本不等式求解跟踪训练2(1)函数y2x的值域是_答案解析令t，则t0且xt211，于是y2x2t2t222.又因为t0，所以y.因此值域为.(2)函数f(x)的值域是_答案(1,1)解析由y，得e2x0，解得1y0时，当且仅当x1时取等号00且a1)的值域是4，)，则实数a的取值范围是_答案(1,2解析当x2时，x64，要使得函数f(x)的值域为4，)，只需当x2时，f(x)3l
6、ogax的值域在区间4，)内即可，故a1，所以3loga24，解得10且a1)的定义域和值域都是1,0，则ab_.答案解析当a1时，该方程组无解；当0a1时，解得则ab2.1下列各组函数中，表示相同函数的是_(填序号)yx与y；yx与y；yx与yt；y与y.答案解析函数yx的定义域为R，值域为R，而函数y的定义域为R，值域为0，)，故不是相同函数；函数yx的定义域为R，值域为R，函数y的定义域为x|x0，值域为y|y0，故不是相同函数；两个函数的定义域为R，值域为R，对应法则也相同，故是相同函数；函数y定义域为1，)，值域为0，)，而函数y的定义域为x|x1或x1，值域为0，)，故不是相同函数
7、综上所述，故答案为.2函数y的定义域为_答案(1,1)解析由得1x1.3已知函数f(x)的定义域是0,2，则函数g(x)ff的定义域是_答案解析因为函数f(x)的定义域是0,2，所以函数g(x)ff中的自变量x需满足：解得所以x，所以函数g(x)的定义域是.4函数yx的值域为_答案解析令a，则a0，xa22，ya22a2，a0，当a时，ymin，函数yx的值域为.5函数yxx1在区间3,2上的值域是_答案解析因为x3,2，所以令tx，则t，故yt2t12.当t时，ymin；当t8时，ymax57.故所求函数的值域为.6若函数f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围为_答案1,5解析由已知得(a
8、1)x2(a1)x10对xR恒成立，当a1时，显然适合，当a1时，由得10，由f(x)的图象可知，当x(2,8时，f(x)0.10设函数f(x)若a0，则f(x)的最大值为_；若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是_答案1(，1)解析函数yx22x与函数yx的图象相交于点(0,0)，(1,1)，结合分段函数f(x)的图象知(图略)，当a1)解(1)方法一(换元法)令t，则t0且x，于是f(t)t(t1)21.由于t0，所以f(t)，故函数的值域是.方法二(单调性法)容易判断f(x)为增函数，而其定义域应满足12x0，即x，所以f(x)f，即函数的值域是.(2)y1.因为1x21，所以02.所
9、以10)，所以yt2(t0)因为t22，当且仅当t，即x1时，等号成立，故所求函数的值域为22，)12已知函数f(x)12axa2x(a1)(1)求函数f(x)的值域；(2)若x2,1时，函数f(x)的最小值为7，求a的值及函数f(x)的最大值解(1)f(x)(ax1)22.因为ax0，所以f(x)1，所以当x2,1时，a2axa，于是(a1)22f(x)(a21)22，因此(a1)227，得a2(a4舍去)，此时f(x)的最大值为(221)22.13定义新运算“”：当mn时，mnm；当m1，函数f(x)x33axa2，g(x)10x1.(1)求函数f(x)在x0,1上的值域M；(2)若对x1
10、0,1，x20,1，使得g(x2)f(x1)成立，求a的取值范围解(1)f(x)3x23a3(x2a)因为x0,1且a1，所以f(x)0，函数f(x)为0,1上的减函数，于是f(x)minf(1)a23a1，f(x)maxf(0)a2，从而Ma23a1，a2(2)g(x)10x1在x0,1上的值域N1,9由题意知，MN，即解得2a3，故a的取值范围为2,315.如图为一木制框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为4m2，设用x表示y的表达式为f(x)，则f(x)_.答案(0x4)解析由已知xyx4，y，即f(x).又得0x4.16函数y的值域为_答案10，)解析函数yf(x)的几何意义是平面内一点P(x,0)到两点A(3,4)和B(5,2)的距离之和由平面几何知识，找出点B关于x轴的对称点B(5，2)连结AB，交x轴于一点P，点P即为所求的最小值点，yminAB10.所以函数的值域为10，)12
