1、 第 1 页 / 共 13 页 第第 7 讲：函数的定义域与值域讲：函数的定义域与值域 一、课程标准 1、会求一些简单函数的定义域 2、会求一些简单函数的值域. 二、基础知识回顾 1、常见函数的定义域： (1)分式函数中分母不等于零. (2)偶次根式函数被开方式大于或等于 0. (3)一次函数、二次函数的定义域为 R. (4)yax (a0 且 a1)，ysin x，ycos x，定义域均为 R. (5)ytan x 的定义域为 x|xR且xk 2，kZ . (6)函数 f(x)x的定义域为x|xR 且 x0. 2、求值域常用的方法：图像法；配方法；换元法；分离变量法；反解法；单调性法；基本不
2、等式法，求导； 三、自主热身、归纳总结 1、函数 f(x) ln（2xx2） x1 的定义域为( ) A. (0，1) B. (1，2) C. (0，1)(1，2) D. (2，0)(1，2) 【答案】C. 【解析】 为使函数有意义，必须且只须 2 20 1 0. xx x ， 解得 0x1 或 1x2，故所求函数的定义域为(0，1) (1，2)故选 C. 2、函数的 y x26x5值域为( ) A. 0，) B. 0，2 C. 2，) D. (2，) 【答案】B 第 2 页 / 共 13 页 【解析】 设 x26x5( )0 ，则原函数可化为：y . 又x26x5( )x3244，04，故
3、0，2 ， 函数 y x26x5的值域为 0，2 .故选 B. 3、函数 yf(x)的图象是如图所示的折线段 OAB，其中 A(1，2)，B(3，0)，函数 g(x)x f(x)，那么函数 g(x) 的值域为( ) A0，2 B. 0， 9 4 C. 0， 3 2 D0，4 【答案】B 【解析】 由题图可知，直线 OA 的方程是 y2x；因为 kAB 02 311，所以直线 AB 的方程为 y(x 3)x3. 所以 f(x) 2x，0 x1， x3，1x3， 所以 g(x)x f(x) 2x2，0 x1， x23x，1x3. 当 0 x1 时，g(x)2x2，此时函数 g(x)的值域为0，2；
4、 当 1x3 时，g(x)x23x x 3 2 2 9 4，显然，当 x 3 2时，函数 g(x)取得最大值 9 4；当 x3 时，函数 g(x)取得最小值 0.此时函数 g(x)的值域为 0， 9 4. 综上可知，函数 g(x)的值域为 0， 9 4.故选 B. 4、下列函数中定义域是R的有( ) A2xy By lgx C 3 yx D tanyx 【答案】AC 【解析】对于A，函数2xy ，定义域为R，满足题意； 对于B，函数y lgx ，定义域为(0, )，不满足题意； 第 3 页 / 共 13 页 对于C，函数 3 yx，定义域为R，满足题意； 对于D，函数 tanyx ，定义域为(
5、 2 k ，) 2 k ，kZ，不满足题意 故选：AC 5、(2019 泰州期末）函数 y 1x2的定义域是_ 【答案】. 1，1 【解析】要使函数式有意义，则有 1x20，即 x210，解得1x1，所以函数的定义域为1，1 6、(2019 苏州三市、苏北四市二调） （D28,6. 函数 y 4x16的定义域为_ 【答案】 2，) 【解析】由 4x160，得 4x1642，解得 x2，所以函数的定义域为2，) 7 【2020 江苏扬州中学月考】函数 42xy 的定义域为_ 【答案】(,2 【解析】由二次根式有意义，得：420 x ，即 2 242 x ，因为2xy 在 R 上是增函数，所以，x
6、2， 即定义域为：(,2 8 【2020 江苏南京学期初联考】函数 2 1 logyx的定义域为_ 【答案】 1 ,) 2 【解析】由 2 0 1 log0 x x ，得 1 2 x ，函数 2 1 logyx的定义域为 1 , 2 ，故答案为 1 , 2 四、例题选讲 考点一、求函数的定义域 例 1、1 【2020 江苏“丹靖沭”10 月联考】函数 2 ( )log ( 31)f xx 的定义域为_ 【答案】 1 3 ， 【解析】由310 x ，解得 1 3 x ，所以定义域为 1 ( ,) 3 变式 1、 【2020 江苏镇江上学期期中考试】函数( )lg(3)2f xxx=-+的定义域是
7、_ 第 4 页 / 共 13 页 【答案】2,3 【解析】由题意得 30 20 x x 解得：2 3x ，故答案为：2,3 变式 2、 【2020 江苏高邮开学考试】函数 4 1 ( )log (1) 2 f xx的定义域为_ 【答案】(1，3 【解析】要使函数 4 1 log1 2 f xx有意义，则 4 1 log10 2 10 x x ，解得13x，即函数 4 1 log1 2 f xx的定义域为 1,3，故答案为1,3 变式 3、 【2020 江苏常州高三上学期期中考试】已知 f x的定义域为 1,1 ，则 2 logfx的定义域为 _ 【答案】 1 ,2 2 【解析】因为函数 f x
8、的定义域为 1,1 ，所以-1log2x1， 所以 1 2 2 x 故 f(log2x)的定义域为 1 ,2 2 变式 4、已知函数 f(x)的定义域为(1，1)，则函数 g(x)f x 2f(x1)的定义域为( ) A(2，0) B(2，2) C(0，2) D. 1 2，0 【答案】C 【解析】由题意得 1x 21， 1x11， 2x2， 0x2， 0x2， 函数 g(x)f x 2f(x1)的定义域为(0，2) 求函数定义域的类型及求法 第 5 页 / 共 13 页 (1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(
9、组)求解. (3)若已知 f(x)的定义域为a，b，则 f(g(x)的定义域可由 ag(x)b 求出；若已知 f(g(x)的定义域为a，b， 则 f(x)的定义域为 g(x)在 xa，b时的值域. 考点二、函数定义域中的参数问题 例 2、若函数 y mx1 mx24mx3的定义域为 R，则实数 m 的取值范围是( ) A. 0， 3 4 B. 0， 3 4 C. 0， 3 4 D. 0， 3 4 【答案】 D 【解析】函数 y mx1 mx24mx3的定义域为 R， mx24mx30， m0 或 m0， 16m212m0， 即 m0 或 0m1) 【解析】(1)(方法 1)(单调性法)由 y
10、2x1 x12 3 x1，结合函数的图像可知，函数在3，5上是单调递增函 数，ymax 3 2，ymin 5 4，故所求函数的值域是 5 4， 3 2. (方法 2)(反表示法)由 y 2x1 x1，得 x 1y 2y.x3，5，3 1y 2y5，解得 5 4y 3 2，即所求函数的值域是 5 4， 3 2. (2)(基本不等式法)令 tx1，则 xt1(t0)， y （t1）24（t1）5 t t22t2 t t 2 t2(t0) t 2 t2 t 2 t2 2， 当且仅当 t 2， 即 x 2 1 时，等号成立，故所求函数的值域为2 22，) 第 7 页 / 共 13 页 变式 1、(20
11、19 深圳调研)函数 y|x1|x2|的值域为_ (2)若函数 f(x) a xb(a0)在 1 2，2 上的值域为 1 2，2 ，则 a_，b_ (3)函数 f(x) 1 x，x1， x22，x1的最大值为_ 【答案】(1)3，) (2)1 5 2 (3)2 【解析】 (1)图象法 函数 y 2x1，x1， 3，1x0)在 1 2，2 上是增函数， f(x)minf 1 2 1 2，f(x)maxf(2)2. 即 2ab 1 2， a 2b2， 解得 a1，b 5 2. (3)当 x1 时，函数 f(x) 1 x为减函数，所以 f(x)在 x1 处取得最大值，为 f(1)1；当 x0 时，f
12、(x)x 4 x4， 当且仅当 x2 时取等号； 第 8 页 / 共 13 页 当 x 1 2， g(x)x22x2.若存在 aR，使得 f(a)g(b)0，则实数 b 的取值范围是_ 【答案】 (2，0) 【解析】 思路分析 根据条件可以将问题等价转化为关于函数 yf(a)的值域问题，然后利用分段函数的值 域求法和一元二次不等式的解法处理即可 由题意，存在 aR，使得 f(a)g(b)，令 h(b)g(b)b22b2. 当 a 1 2时，f(a) a22a1 a2 1 a2 2 a1 1 a1 22，因为 a1 2，所以2 1 a0，从而7f(a) 1 2时，f(a)log 1 2 1a 2
13、 ，因为 a 1 2，所以 1a 2 1 4，从而 f(a)2. 综上，函数 f(a)的值域是(，2) 第 9 页 / 共 13 页 令 h(b)2，即 b22b22，解得2b0， log 1 2x0， 得 x0， x1，所以 00 ，所以 yex 1 exa2 ex 1 exa2a，当且仅当 e x1，即 x0 时取等号故所求 函数的值域 A2a，)又 A0，)，所以 2a0，即 a2. 6、 （2016 苏州期末）函数 f(x) 2x， x0， x21， x0 的值域为_ 【答案】 (，1 【解析】思路分析 先画出图像看看 分段画出 f(x)的图像即可看出函数的值域为(，1 7、2018
14、江苏高考函数 f(x) log2x1的定义域为 【答案】2，) 【解析】 (1)为使函数有意义，必须且只须自变量 x 满足 log2x10， 解得 x2.故原函数的定义域为2，) 8、 已知函数 yf(x2)的定义域为1，2，求函数 yf(2x1)的定义域 【答案】 1， 3 2. 【解析】函数 yf(x2)的定义域为1，2，1x2，得 3x24，即函数 yf(x)的定义域为3，4 为使函数 yf(2x2)有意义，必须且只须自变量 x 满足 32x14，解得 1x 3 2. 函数 yf(2x1)的定义域为 1， 3 2. 第 11 页 / 共 13 页 9已知函数 f(x) 2-1 (1 2
15、)3 ,1 21 a xa x x ， ， 的值域为 R，则实数 a 的取值范围是 【答案】0a 1 2. 【解析】 当 x1 时，f(x)2x11，函数 f(x) 2-1 (1 2 )3 ,1 21 a xa x x ， ， 的值域为 R， 当 x1 时，(12a)x3a 必须取遍(，1)内的所有实数，则 1 20 -a 1 a ， 1 2a+3 解得 0a 1 2. 10、(一题两空)设函数 f(x) mx2，|x|1， x，|x|1 的图象过点(1，1)，则 f(x)的值域为_；若函数 g(x)是二 次函数，且函数 f(g(x)的值域是0，)，则函数 g(x)的值域是_ 【答案】(1，)
16、 0，) 【解析】 因为函数 f(x) mx2，|x|1， x，|x|1 的图象过点(1， 1)， 所以 m11， 解得 m0， 所以 f(x) x2，|x|1， x，|x|1. 画出函数 yf(x)的大致图象如图所示，观察图象可知， 当纵坐标在0，)上时，横坐标在(，10，)上变化 而 f(x)的值域为(1，)， f(g(x)的值域为0，)， 因为 g(x)是二次函数，所以 g(x)的值域是0，) 11、求函数 yx 2x1的值域 【解析】 (方法 1)令 2x1t，则 t0，且 x t21 2 . y t21 2 t 1 2(t 22t1)1 2(t1) 21，t0，)， 由二次函数的图像
17、知， 当 t0，)时， y 1 2(t1) 21 是单调递增函数， 第 12 页 / 共 13 页 故当 t0 时，ymin 1 2. 函数 yx 2x1的值域为 1 , 2 (方法 2)由 2x10 得 x 1 2， 即函数 yx 2x1的定义域为 易得函数 yx 2x1在上单调递增， yminy|x1 2 1 2，不存在最大值 函数 yx 2x1的值域为. 12、 已知函数 f(x)x24ax2a6. (1)若 f(x)的值域是0，)，求 a 的值； (2)若函数 f(x)0 恒成立，求 g(a)2a|a1|的值域 【解析】(1)f(x)的值域是0，)，即 fmin(x)0， 4（2a6）（4a）2 4 0，a1 或 3 2. (2)若函数 f(x)0 恒成立，则 (4a)24(2a6)0， 即 2a2a30，1a3 2， g(a)2a|a1| 2 2 2, 11. 3 2,1. 2 aaa aaa 当1a1，g(a)a2a2 a 1 2 27 4， g(a) 7 4，4 ； 当 1a 3 2，g(a)a 2a2 a 1 2 29 4，g(a) 5 4，2 . 函数 g(a)2a|a1|的值域是 5 4，4 . 1 , 2 1 , 2 1 , 2 第 13 页 / 共 13 页
