1、 第 1 页 / 共 17 页 第第 10 讲：函数的图像讲：函数的图像 一、课程标准 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析式法表示函数. 2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解集的问题. 二、基础知识回顾 1.利用描点法作函数的图象 步骤： (1)确定函数的定义域； (2)化简函数解析式； (3)讨论函数的性质(奇偶性、 单调性、 周期性、 对称性等)； (4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 yf(x)的图象 关于x轴对称 yf(
2、x)的图象； yf(x)的图象 关于y轴对称 yf(x)的图象； yf(x)的图象 关于原点对称 yf(x)的图象； yax(a0，且 a1)的图象 关于直线yx对称 ylogax(a0，且 a1)的图象. (3)伸缩变换 yf(x) 纵坐标不变 各点横坐标变为原来的 1 a（a0）倍 yf(ax). yf(x) 横坐标不变 各点纵坐标变为原来的A(A0)倍 yAf(x). (4)翻折变换 yf(x)的图象 x轴下方部分翻折到上方 x轴及上方部分不变 y|f(x)|的图象； 第 2 页 / 共 17 页 yf(x)的图象 y轴右侧部分翻折到左侧 原y轴左侧部分去掉，右侧不变 yf(|x|)的图
3、象. 常用结论与微点提醒 1.记住几个重要结论 (1)函数 yf(x)与 yf(2ax)的图象关于直线 xa 对称. (2)函数 yf(x)与 y2bf(2ax)的图象关于点(a，b)中心对称. (3)若函数 yf(x)对定义域内任意自变量 x 满足：f(ax)f(ax)，则函数 yf(x)的图象关于直线 xa 对称. 2.图象的左右平移仅仅是相对于 x 而言，如果 x 的系数不是 1，常需把系数提出来，再进行变换. 3.图象的上下平移仅仅是相对于 y 而言的，利用“上减下加”进行. 三、自主热身、归纳总结 1、函数的部分图像大致为（ ） A B C D 【答案】A 【解析】， 当时，则 B，
4、C 不正确； 当时，则 D 不正确； 综上可得选项为 A. 2、.(2020 深圳调研)已知函数 f(x)(xa)(xb)(其中 ab)的图象如图所示，则函数 g(x)axb 的图象是 ( ) 第 3 页 / 共 17 页 【答案】 C 【解析】 由函数 f(x)的图象知 a1，1b0. 因此选项 C 满足要求. 3、已知函数 f(x)logax(0a1)，则函数 yf(|x|1)的图像大致为(A ) A BC D 【答案】A 【解析】 先作出函数 f(x)logax(0a1)的图像，当 x0 时，yf(|x|1)f(x1)，其图像由函数 f(x) 的图像向左平移 1 个单位得到，又函数 yf
5、(|x|1)为偶函数，再将函数 yf(x1)(x0)的图像关于 y 轴 对称翻折到 y 轴左边，得到 x0 时的图像故选 A. 4、定义：在平面直角坐标系xOy中，若存在常数 (0) ，使得函数 ( )yf x 的图象向右平移个单位长 度后，恰与函数 ( )yg x 的图象重合，则称函数 ( )yf x 是函数 ( )yg x 的“原形函数”下列四个选项中， 函数 ( )yf x 是函数 ( )yg x 的“原形函数”的是( ) Af 2 ( ) xx， 2 ( )21g xxx Bf ( ) sinx x，( )cosg x x Cf ( ) xln x，( )g xln 2 x Df 1
6、( )( ) 3 x x ， 1 ( )2( ) 3 x g x 【答案】ABD 【解析】由 2 ( )f xx， 2 ( )(1)g xx知， ( )f x向右移动一个单位可得到( )g x，故选项A正确； 由 3 ( )sin , ( )cossin() 2 f xx g xxx 知，( )f x向右移动 3 2 个单位可得到 ( )g x，故选项B正确； 第 4 页 / 共 17 页 由 1 ( ), ( )()2 2 f xlnx g xlnxlnxln知，( )f x项下移动2ln个单位可得到( )g x，故选项C不正确； 由 3 1 3 2 1 2 11 ( )( ) 111 33
7、 ( )( ) , ( )2( )( ) 1 333 1 ( ) 2 3 xx x logxx log f xg x 知，( ) f x向右移动 3 log 2个单位可得到( )g x， 故选项D 正确； 故选：ABD 5、.已知函数 f(x)|log3x|，实数 m，n 满足 0mn，且 f(m)f(n)，若 f(x)在m2，n上的最大值为 2，则 n m _. 【答案】9 【解析】如图，作出函数 f(x)|log3x|的图象，观察可知 0m10 部分 关于 y 轴的对称部分，即得 y的图像，如图实线部分 (2)将函数 ylog2x 的图像向左平移 1 个单位，再将 x 轴下方的部分沿 x
8、轴翻折上去，即得函数 y|log2(x 1)|的图像，如图. 1 2 x 1 2 x 1 2 x 第 7 页 / 共 17 页 (3)y 2x1 x12 1 x1，故函数图像可由 y 1 x的图像向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位而得，如图 . (4)y 2 2 x21,0 21,0 xx xxx ， ， 且函数为偶函数，先用描点法作出0，)上的图像，再根据对称性作出(， 0)上的图像，如图. 方法总结：1.作函数图象的一般步骤为： (1)确定函数的定义域 (2)化简函数解析式 (3)讨论函数的性质(如函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、极限等)以及图象上的特殊点(如极值点、与 坐标
9、轴的交点、间断点等)、线(如对称轴、渐近线等) (4)选择描点法或图象变换法作出相应的函数图象 2 采用图象变换法时， 变换后的函数图象要标出特殊的线(如渐近线)和特殊的点， 以显示图象的主要特征， 处理这类问题的关键是找出基本函数，将函数的解析式分解为只有单一变换的函数链，然后依次进行单一 变换，最终得到所要的函数图象 考点二 图像的辨识 例 2、函数 y2xx2的图像大致是_ (2)已知函数 yf(1x)的图像如图所示，则 y|f(x2)|的图像是( ) 第 8 页 / 共 17 页 第(2)题图 A B C D 【答案】(1) (2)A 【解析】 (1)当 x0 时，函数 f(x)2xx
10、2单调递增，故排除，又 f(2)f(4)0，结合个选项中的图像， 知应填. (2)把函数 yf(1x)的图像向左平移 1 个单位得 yf(x)的图像；作出 f(x)关于 y 轴对称的函数图像得 y f(x)的图像；将 f(x)向左平移 2 个单位得 yf(x2)的图像；将 yf(x2)的图像在 x 轴下方的部分关于 x 轴对称翻折到 x 轴上方得到 y|f(x2)|的图像故选 A. 变式 1、关于函数 ( ) |2|f xlnx 下列描述正确的有( ) A函数 ( )f x在区间(1,2)上单调递增 B函数 ( )yf x 的图象关于直线2x 对称 C若 12 xx，但 12 ()()f xf
11、 x，则 12 4xx D函数 ( )f x有且仅有两个零点 【答案】 【解析】函数 ( ) |2|f xlnx 的图象如下图所示： 由图可得： 函数 ( )f x在区间(1,2)上单调递增，A正确； 函数 ( )yf x 的图象关于直线2x 对称，B正确； 若 12 xx ，但 12 ()()f xf x ，则 12 4xx ，C错误； 函数 ( )f x有且仅有两个零点，D正确 第 9 页 / 共 17 页 故选：ABD 变式 2、函数的大致图象是（ ） A B C D 【答案】A 【解析】f（x）f（x） ，即函数是奇函数，图象关于原点对称，排除 B， 当 x0 时，f（x）0，排除 D
12、， 当 x+，f（x）+0，排除 C， 故选：A 变式 3、(2020 深圳模拟)函数 f(x) 1x2 lg|x| 的图象大致为( ) 【答案】B 【解析】(1)由 1x20， |x|0且|x|1，得1x0 或 0x1， 所以 f(x)的定义域为(1，0)(0，1)，关于原点对称. 第 10 页 / 共 17 页 又 f(x)f(x)，所以函数 f(x)是偶函数，图象关于 y 轴对称，排除 A； 当 0x1 时，lg |x|0，f(x)0 且 x0 时，f(x)0，排除 D，只有 B 项符合. 变式 4、(2020 武汉调研)函数 f(x) 3x3x x4 的大致图象为( ) (2)(201
13、9 成都诊断)函数 f(x)|x|sin x 的图象大致是( ) 【答案】(1)B (2)A 【解析】(1)易知定义域为(，0)(0，)，关于原点对称.f(x) 3x3x （x）4 3x3x x4 f(x)，则 f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除 A，f(1)3 1 3 8 30，排除 D，当 x 时，3x，则 f(x)，排除 C，选项 B 符合. (2)函数 f(x)|x|sin x 为奇函数，图象关于原点对称，排除 B，C.又 f()|sin 0，排除 D， 只有选项 A 适合. 考点三 函数图像的应用 第 11 页 / 共 17 页 例 3、已知函数 2 2 2 ,0 ( ) |
14、,0 xx x f x log x x ，若 1234 xxxx，且 1234 ()()()()f xf xf xf x，则下列结论正 确的是( ) A 12 1xx B 34 1x x C 4 12x D 1234 01x x x x 【答案】BCD 【解析】由函数 2 2 2 ,0 ( ) |,0 xx x f x log x x ，作出其函数图象： 由图可知， 12 2xx ， 1 21x ； 当 1y 时， 2 |log| 1x ，有 1 ,2 2 x ； 所以 34 1 12 2 xx ； 由 34 ()()f xf x 有 2324 |log| |log|xx ，即 2324 lo
15、glog0 xx ； 所以 34 1x x ； 则 2 1 2341 2111 ( 2)(1)1 (0,1)x x x xx xxxx ； 故选：BCD 变式 1、(2018 南京、盐城一模）设函数 f(x)是偶函数，当 x0 时，f(x) x（3x），0 x3， 3 x1， x3， 若函数 yf(x)m 有四个不同的零点，则实数 m 的取值范围是_ 【答案】 1， 9 4 【解析】先画出 x0 时的函数图像，再利用偶函数的对称性得到 x0 时的图像令 y0 得 f(x)m.令 y f(x)，ym，由图像可得要有四个不同的零点，则 m 1， 9 4. 第 12 页 / 共 17 页 变式 2、
16、(1)(2020 哈尔滨模拟)已知函数 f(x)2|x|，若关于 x 的不等式 f(x)x2xm 的解集中有且仅有 1 个整数，则实数 m 的取值范围为( ) A.3，1) B.(3，1) C.2，1) D.(2，1) (2)函数 f(x)是定义在4，4上的偶函数，其在0，4上的图象如图所示，那么不等式 f（x） cos x0 的解集为 _. 【答案】 (1)C (2) 2，1 1， 2 【解析】 (1)在同一平面直角坐标系中作出函数 yf(x)，yx2xm 的图象如图所示. 由图可知，不等式 f(x)x2xm 的解集中的整数解为 x0， 故 f（0）00m， f（1）11m，解得2m0. 当
17、 x 2，4 时，ycos x0. 结合 yf(x)，x0，4上的图象知，当 1x 2时， f（x） cos x0.又函数 y f（x） cos x为偶函数， 所以在4，0上， f（x） cos x0 的解集为 2，1 ， 所以 f（x） cos x0 的解集为 2，1 1， 2. 第 13 页 / 共 17 页 变式 3、已知函数 f(x)x|mx|(xR)，且 f(4)0. (1)作出函数 f(x)的图像并判断其零点个数； (2)根据图像指出 f(x)的单调递减区间； (3)求集合 Mm|使方程 f(x)m 有三个不相等的实根 【解】 (1)f(4)0，4|m4|0，即 m4.于是 f(x
18、)x|mx|x|4x| (4),4 - (4),4. x xx x xx ， 函数 f(x)的图像如图，由图像知 f(x)有两个零点 (2)从图像上观察可知：f(x)的单调递减区间为2，4 (3)由图像可知若 yf(x)与 ym 的图像有三个不同的交点，则 0m4，集合 Mm|0m4 【点评】 函数的图像在解题中有着十分广泛的应用，常见的有：研究函数的性质，解不等式，求函数的 零点等 (1)利用函数的图像研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图像的函数， 其性质(单调性、 奇偶性、 周期性、最值(值域)、零点)常借助于图像研究，但一定要注意性质与图像特征的对应法则 (2)利用函数的图像可
19、解决某些方程和不等式的求解问题， 方程 f(x)g(x)的根就是函数 f(x)与 g(x)图像交点的 横坐标；不等式 f(x)0，排除 D 选项又 e2， 1 e 1 2， e 1 e1，排除 C 选项故选 B. 4、函数的图像大致为（ ） 第 15 页 / 共 17 页 A B C D 【答案】B 【解析】由于函数，可得为奇函数，故排除 C、D， 当 x1 时，f（1），排除 A， 故选：B 5、(多选)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f1(x)log2(x 1)，f2(x)log2(x2)，f3(x)log2x2，f4(x)log2(2x)，其中
20、“同形”函数是( ) Af2(x)与 f4(x) Bf1(x)与 f3(x) Cf1(x)与 f4(x) Df3(x)与 f4(x) 【答案】AC 【解析】f3(x)log2x2是偶函数，而其余函数无论怎样变换都不是偶函数，故其他函数图象经过平移后不可 能与 f3(x)的图象重合，故排除选项 B、D；f4(x)log2(2x)1log2x，将 f2(x)log2(x2)的图象沿着 x 轴先 向右平移两个单位得到 ylog2x 的图象， 再沿着 y 轴向上平移一个单位可得到 f4(x)log2(2x)1log2x 的图 象，可知选项 A 是“同形”函数；将 f1(x)log2(x1)的图象沿着
21、x 轴向右平移一个单位得到 ylog2x 的图象 再沿着 y 轴向上平移一个单位可得到 f4(x)log2(2x)1log2x 的图象， 可知选项 C 是“同形”函数， 故选 A、 C. 6、(多选)将函数 f(x)的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位长度，得到奇函数 g(x)的图象，则下列函数 f(x)不能满 足条件的是( ) Af(x) 1 x1 Bf(x)ex1e1x Cf(x)x 2 x Df(x)log2(x1)1 【答案】ACD 【解析】由题意知 f(x)必须满足两个条件：f(1)0，f(1x)f(1x)对于选项 A、C、D，f(1)均不 第 16 页 / 共 17 页 为 0，不
22、满足条件；对于选项 B，f(1)e0e00，f(1x)exex，f(1x)exexf(1x)故选 A、 C、D. 7、函数 f(x)2sin xsin x 2x2的零点个数为_. 【答案】2 【解析】f(x)2sin xcos xx2sin 2xx2，函数 f(x)的零点个数可转化为函数 y1 sin 2x 与 y2x2图象的交点个数，在同一坐标系中画出 y1sin 2x 与 y2x2的图象如图所示： 由图可知两函数图象有 2 个交点，则 f(x)的零点个数为 2. 8、(2018 镇江期末）已知 k 为常数，函数 f(x) x2 x1， x0， |lnx|，x0， 若关于 x 的方程 f(x
23、)kx2 有且只有四 个不同解，则实数 k 的取值构成的集合为_ 【答案】 1 e3(e，1) 【解析】思路分析 作函数 yf(x)和 ykx2 的图像，考察两函数图像的公共点，两函数图像的公共点的 个数等价于方程 f(x)kx2 解的个数 作函数 yf(x)和 ykx2 的图像，如图所示，两图像除了(0，2)还应有 3 个公共点，当 k0 时，直线应与 曲线 yf(x)(x1)相切，设切点(x0，lnx0)，则切线斜率为 k 1 x0，又 k lnx02 x0 ，则 1 x0 lnx02 x0 ，解得 x0 e3，此时 k 1 e3，当 k0 时，当 ykx2 与曲线 y x2 x1相切于点
24、(0，2)时，函数 yf(x)和 ykx2 的图 像只有三个公共点，不符合题意，此时 k1，当1k0 时，函数 yf(x)和 ykx2 的图像只有三个公 共点， 不符合题意， 当直线 ykx2 与 yf(x)(0x1)相切时， 两图像只有三个公共点， 设切点(x0， lnx0)， 则切线的斜率 k 1 x0，又 k lnx02 x0 ，则 1 x0 lnx02 x0 ，解得 x0e1，此时 ke 不符合题意，当 ke 时，两图像只有两个公共点，不合题意，而当ek0， x33mx2，x0 (其中 e 为自然对数的底数)有 3 个不同的零点，则实数 m 的取值范围是_ 【答案】. (1，) 【解析
25、】解法 1(直接法) 当 x0 时，令 f(x)ex 1 20，解得 xln20，此时函数 f(x)有 1 个零点，因为要 求函数 f(x)在 R 上有 3 个不同的零点，则当 x0 时，f(x)x33mx2 有 2 个不同的零点，因为 f(x)3x2 3m，令 f(x)0，则 x2m0，若 m0，则函数 f(x)为增函数，不合题意，故 m0，所以函数 f(x)在(， m)上为增函数，在( m，0上为减函数，即 f(x)maxf( m)m m3m m22m m2，f(0) 20，即 m1，故实数 m 的取值范围是(1，) 解法 2(分离参数) 当 x0 时，令 f(x)ex 1 20，解得 xln20，此时函数 f(x)有 1 个零点，因为要求函数 f(x)在 R 上有 3 个不同的零点，则当 x0 时，f(x)x33mx2 有 2 个不同的零点，即 x33mx20，显 然 x0 不是它的根，所以 3mx2 2 x，令 yx 22 x(x0)，则 y2x 2 x2 2（x31） x2 ，当 x(，1)时， y0，此时函数单调递增，故 ymin3，因此，要使 f(x)x3 3mx2 在(，0)上有两个不同的零点，则需 3m3，即 m1.
