1、第第 1010 讲讲 反比例函数与几何综合题反比例函数与几何综合题 【思路方法】 一.总体解题思路 二.具体思路方法 1.走“点的坐标”求或设点的坐标；辅助线：作 x 或 y 轴垂线； 2.走“k 值与几何基础面积图形”构造出基础图形，寻找题目条件图形与基础图形间的转化关系； 【强化巩固练习】 1. 如图， 反比例函数y1= k1 x 与一次函数y2= k2x + b的交点横坐标为 1， 4，则不等式k1 x k2x + b的解集为（ ） A. x4 B. x0 或 1x4 C. x 0)上一点 A 作 y 轴的平行线交反比例函数y = k x (x 0)于点 B，连接 OA,OB，若 SAO
2、B= 3，则 k 的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 4 D. -4 9.如图， 菱形OABC的边OC在x轴上， 且周长为10， 已知cosCOA=3 5,若反比例函数y = k x (k 0)经过点A， 则k=_ 10.如图，已知直线y = 1 2x + 1交 x 轴于点 A，交反比例函数y = k x (x 0)于点 B，过点 B 作 BCAB 交反比例函数于 点 C，若 BC=1 2AB，则 k 的值为_ 11如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的边 OA 在 x 轴上，OA5，tanCOA3 4若反比例函数 y k x (k0，x0)经过点 C，则 k 的值等于_ 12.如
3、图， 直线 y=1 2x+4 与坐标轴分别交于 A,B 两点,ACAB， 交双曲线y = k x （x0)图像上一点，AB/x 轴交另一个反比例函数y = k x(x0)的图像于点 B，C 为 x 轴上一点，若SABC= 2，则 k 的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 14.如图，矩形 ABCD 的顶点 A,D 分别在坐标轴上，对角线 BD/x 轴，反比例函数y = k x(x0，k0)的图像经过矩形对 角线的交点 E，若点 A(2,0),D(0,4),则反比例函数解析式为_ 15.如图，直线 y=x 与双曲线y = k x（x0）于点 A，点 B 为 y 轴负半轴上一点，S
4、AOB = 3 + 1，点 C 在 x 轴正半轴 上，且 OC=OB，连接 BC，BA=BC，则 k=_ y x o C B A 16. 如图，直角坐标系原点 O 为 RtABC 斜边 AB 的中点，ACB=90,A(-5,0)，且 tanA=1 2，反比例函数y = k x经过 点 C，则 k 的值是_ 17.如图，已知直线 y=kx 与双曲线 x k y 1 交于 A、B 两点，将线段 AB 绕点 A 沿顺时针方向旋转 60后，点 B 落 在点 C 处，双曲线 x k y 2 经过点 C，则 2 1 k k 的值是_. 18如图，点 A（1，3）为双曲线 yk x上的一点，连接 AO 并延
5、长与双曲线在第三象限交于点 B，M 为 y 轴正半轴上 一点，连接 MA 并延长于双曲线交于点 N，连接 BM、BN，已知MBN 的积为33 2 ，则点 N 的坐标为 19 如 图 , 将 反 比 例 函 数 y = 3 2x(x 0) 的 图 象 绕 坐 标 原 点 O 逆 时 针 旋 转 45 得 到 的 曲 线 l ， 过 点 A(2, 2),B(22,22)的直线与曲线l相交于点 C,D,则 sinCOD= _ 20点 A（3，1） ，B（2，2） ，反比例函数 yk x（k0，x0）的图象记为 L （1）若 L 经过点 A 图象 L 的解析式为 点 B 在图象 L 上，还是在图象 L
6、 的上方或下方？为什么？ （2）如图在（1）的条件下，L 上纵坐标为 3 的点 P 与点 C 关于原点 O 对称，PQx 轴于点 Q，CDx 轴于点 D求 QCD 的面积 （3）若 L 与线段 AB 有公共点，直接写出 k 的取值范围 21. 如图， 直线 AD:y=3x+3 与坐标轴交于 A,D 两点， 以 AD 为边在 AD 右侧作正方形 ABCD， 过 C 作 CGy 轴于 G 点 过 点 C 的反比例函数y = k x与直线 AD 交于 E,F 两点 （1）求证：AODDGC； （2）求 E、F 两点坐标； （3）填空：不等式 3x+3k x的取值范围是_ 22.如图 1，一次函数 y
7、=kx-3 的图像与 y 轴交于点 B，与反比例函数y = m x（x0）交于 A(8,1) （1）k=_;m=_; （2）点 C 是线段 AB 上一点（不与 A,B 重合） ，过点 C 作 y 轴的平行线与该反比例函数的图像交于点 D，连接 OC， OD，AD，当四边形 OCAD 的面积等于 24 时，求点 C 的坐标； （3）在（2）的前提下，将OCD 沿射线 BA 方向平移一定的距离后，得到OCD，若点 O 对应点 O恰好落在该 反比例函数图像上，如图 2，请直接写出此时点 D 的对应点 D的坐标； 23.如图， 直线 y=3x+b 经过点 A(-1,0),与 y 轴正半轴交于点 B，
8、与反比例函数y = k x(x0)交于点 C， 且 BC=2AB， BD/x 轴交反比例函数于点 D，连接 AD. （1）b=_,k=_； （2）求ABD 的面积； （3）若 E 为射线 BC 上一点，设 E 的横坐标为 m，过点 E 作 EF/BD，交反比例函数的图像于点 F，且 EF=1 3BD.,求 m 的值。 【答案详解】【答案详解】 1. 如图， 反比例函数y1= k1 x 与一次函数y2= k2x + b的交点横坐标为 1， 4，则不等式k1 x k2x + b的解集为（ ） A. x4 B. x0 或 1x4 C. x0 或 x4 D. x1 或 x4 【解析】 不等式k1 x
9、0， 则当 a,b 均为正数时，二次函数开口向上， 一次函数经过一、二、三象限， 故选 C 4.反比例函数y = k x与一次函数 y=-kx+1 在同一坐标系的图像可能是（ ） 【解析】 若 k0，则反比例函数经过一、三象限， 则-k0， 则一次函数经过一、二、四象限， 故选 B 5.二次函数y = ax2+ bx + c的图像如右图所示，反比例函数y = ab x 与正比例函数 y=(2a+c)x 在同一坐标系内的大致 图像是（ ） 【解析】 由抛物线图像可得：a0,c0， 则 ab0,由对称轴可得 b=-a， 当 x=-1 时 a-b+c0， 则 2a+c 0)上一点 A 作 y 轴的平
10、行线交反比例函数y = k x (x 0)于点 B，连接 OA,OB，若 SAOB= 3，则 k 的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 4 D. -4 【解析】由图可知SAOB= 2 2 + ;k 2 = 3，解得 k=-4，故选 D 9.如图， 菱形OABC的边OC在x轴上， 且周长为10， 已知cosCOA=3 5,若反比例函数y = k x (k 0)经过点A， 则k=_ 【解析】 作 ADOC 于点 D，由周长可得 OA=2.5, 由 cosCOA=3 5可得 OD=1.5, 则 AD=2， 则 k=2SAOD=3 10.如图，已知直线y = 1 2x + 1交 x 轴于点 A，交
11、反比例函数y = k x (x 0)于点 B，过点 B 作 BCAB 交反比例函数于 点 C，若 BC=1 2AB，则 k 的值为_ 【解析】 由题可知 A(-2,0),OA=2, 如图构造“一线三垂直模型” ， 则BD AE = CD BE = BC AB = 1 2， 设 B(a, 1 2a + 1), OE=a,BE=1 2a + 1，AE=a+2，CD= 1 4a + 1 2,BD= 1 2a + 1, C（3 4a 1 2，a+2） ， B,C 均在反比例函数图像上， a( 1 2a + 1)=( 3 4a 1 2)(a+2), 解得 a=2, 则 k= a( 1 2a + 1)=4
12、 11如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的边 OA 在 x 轴上，OA5，tanCOA3 4若反比例函数 y k x (k0，x0)经过点 C，则 k 的值等于_ 【解析】 有三角函数，必构造 Rt, 故作 CDx 轴于点 D， 由 OC=OA=5, tanCOA3 4 易得 OD=4,CD=3， 则 C（4，3）,则 k=12 12.如图， 直线 y=1 2x+4 与坐标轴分别交于 A,B 两点,ACAB， 交双曲线y = k x （x0)图像上一点，AB/x 轴交另一个反比例函数y = k x(x0)的图像于点 B，C 为 x 轴上一点，若SABC= 2，则 k 的值为（ ） A.
13、 4 B. 2 C. 3 D. 1 【解析】 延长 AB 交 y 轴于点 D， 由 AB/x 轴可得SABC= SAB0= 2， 由反比例函数y = 6 x可得SAD0 = 3， SDB0= 1， k=2， 故选 B 14.如图，矩形 ABCD 的顶点 A,D 分别在坐标轴上，对角线 BD/x 轴，反比例函数y = k x(x0，k0)的图像经过矩形对 角线的交点 E，若点 A(2,0),D(0,4),则反比例函数解析式为_ 【解析】 由 BD/x 轴可设 B(x，4), 由AD2+ AB2= BD2可列方程为22+ 42+ (x 2)2+ 42= x2， 解得 x=10， 则 B(10,4)
14、， 由中点坐标公式可得 E(5,4)， k=54=20, 反比例函数解析式为y = 20 x 15.如图，直线 y=x 与双曲线y = k x（x0）于点 A，点 B 为 y 轴负半轴上一点，SAOB = 3 + 1，点 C 在 x 轴正半轴 上，且 OC=OB，连接 BC，BA=BC，则 k=_ y x o C B A 【解析】 设 A(m,m)， 则 AD=OD=m， 由SAOB= 3 + 1可得 OB=23:2 m , 则 BD=23:2 m + m， BC=2 23:2 m = 26:22 m , 由 BA=BC 可得BA2= BC2, 则AD2+ BD2= BC2, 即(23:2 m
15、 + m)2+ m2= ( 26:22 m )2, 化简为m4+ (2 + 23)m2 (8 + 43) = 0, 十字相乘分解可得：(m2 2)(m2+ 4 + 23) = 0， 解得m2= 2 或m2= 4 23（舍去）, k = m2= 2 16. 如图，直角坐标系原点 O 为 RtABC 斜边 AB 的中点，ACB=90,A(-5,0)，且 tanA=1 2，反比例函数y = k x经过 点 C，则 k 的值是_ 【解析】作 CDAB 于点 D由 tanA=1 2可设 BC=x，AC=2x，根据勾股定理即可求出 BC 和 AC 的值，利用面积法求出 CD 的值，再利用勾股定理求出 BD
16、 的值，得到点 C 的坐标，然后可求出 k 的值 【详解】如图，作 CDAB 于点 D A(-5,0)，O 为 RtABC 斜边 AB 的中点， B(5,0)， OB=5，AB=10 tanA=1 2 = BC AC， 可设 BC=x，AC=2x， 由勾股定理得 x 2+(2x)2=102， x=25， BC=25，AC=45， 1 2AC BC = 1 2AB CD， 25 45 = 10CD， CD=4， BD=BC2 CD2=(25)2 42= 2， OD=5-2=3， C(3，4)反比例函数y = k x经过点 C， k=34=12 17.如图，已知直线 y=kx 与双曲线 x k y
17、 1 交于 A、B 两点，将线段 AB 绕点 A 沿顺时针方向旋转 60后，点 B 落 在点 C 处，双曲线 x k y 2 经过点 C，则 2 1 k k 的值是_. 【解析】 连接 BC、OC，过点 B 作 BDx 轴于 D，过点 C 作 CEx 轴于点 E， 易得OBDCOE，且相似比是 1：3， 即面积比为 1：3， k1 0， 2 1 k k =-1 3 18如图，点 A（1，3）为双曲线 yk x上的一点，连接 AO 并延长与双曲线在第三象限交于点 B，M 为 y 轴正半轴上 一点，连接 MA 并延长于双曲线交于点 N，连接 BM、BN，已知MBN 的积为33 2 ，则点 N 的坐
18、标为 【解析】反比例函数与正比例函数同时出现的反比例函数几何综合题，一定要紧抓住“O 是 A，B 的中点”解题， 连接 ON，则SAON= SBON，SAOM= SBOM， SMON= 1 2SMBN = 33 4 ， 由 A 点坐标可得反比例函数解析式为 y3 x, 设 M(0,m)， 则由SMON= 33 4 可得1 2m xN = 33 4 ， 可得xN= 33 2m， N 在反比例函数图像上，则 N 点坐标为（ 33 2m， 2m 11）, 由 M,A 两点坐标可得可得直线 MA 的解析式为 y=(3-m)x+m， 将 N 点坐标代入 y=(3-m)x+m， 可得33(3;m) 2m
19、+ m = 2m 11， 解得 m=11 3 或33 2 ， 33 2m = 9 2或 1（与 A 点重合故舍去） ， N 点坐标为（9 2， 2 3） 19 如 图 , 将 反 比 例 函 数 y = 3 2x(x 0) 的 图 象 绕 坐 标 原 点 O 逆 时 针 旋 转 45 得 到 的 曲 线 l ， 过 点 A(2, 2),B(22,22)的直线与曲线l相交于点 C,D,则 sinCOD= _ 【解析】 依旋转性质可知，将图形绕点 O 顺时针旋转 45后COD 的大小不会发生变化， 则点 A 的对应点 A(0,2),点 B 的对应点 B(4,0)， 则直线 AB的解析式为 y= 1
20、 2x + 2， 联立方程 y = 1 2x + 2 y = 3 2x ， 解得 C(1, 3 2),D(3, 1 2), 如图构造“一线三垂直模型” ， 易得直线 OC的解析式为y = 3 2x, 设 P 点坐标为（a，3 2a） ，PN=3-a,ND= 3 2a 1 2, 则由OMDDNP 可得OM ND = DM NP ， 即 3 3 2a; 1 2 = 1 2 3;a， 解得 a=37 15， P(37 15， 37 10)， 由两点间距离公式可得 PD=837 15 ,OP=3713 30 , sinCOD= 837 15 3713 30 = 16481 481 20点 A（3，1）
21、 ，B（2，2） ，反比例函数 yk x（k0，x0）的图象记为 L （1）若 L 经过点 A 图象 L 的解析式为 点 B 在图象 L 上，还是在图象 L 的上方或下方？为什么？ （2）如图在（1）的条件下，L 上纵坐标为 3 的点 P 与点 C 关于原点 O 对称，PQx 轴于点 Q，CDx 轴于点 D求 QCD 的面积 （3）若 L 与线段 AB 有公共点，直接写出 k 的取值范围 【解析】 （1）L 经过点 A， k=-31=-3， 图象 L 的解析式为y = 3 x(x 0) 点 B 在图像 L 的上方，理由是： 当 x=-2 时，y= 3 ;2 = 3 2 2, L 不经过点 B，
22、 3 2k x的取值范围是_ 【解析】 （1）由题意易得 AD=CD,ADC=90，进而可得ADO=DCG，然后问题可求证； （2）由直线 AD 的解析式可求出 A(-1,0),D(0,3)，由（1）可得 DG=OA=1,CG=OD=3，则有 OG=2，然后联立一次函数 与反比例函数解析可求解； （3）由（2）及图像可直接进行求解 （1）证明：正方形 ABCD， AD=CD,ADC=90， AOD=DGC=90， ADO+GDC=DCG+GDC=90 ADO=DCG， AODDGC； （2）解：y=3x+3=0 时，x=-1， A(-1,0),D(0,3)， 由(1)可知 DG=OA=1,CG
23、=OD=3， OG=2， 即 C(3,2)， 即y = 6 x， 联立 y = 3x + 3 y = 6 x ， 解得：x1= 2,x2= 1； E(1,6),F(-2,-3)； （3）由图像及（2）可得： 不等式 3x+3k x的取值范围是-2x1； 22.如图 1，一次函数 y=kx-3 的图像与 y 轴交于点 B，与反比例函数y = m x（x0）交于 A(8,1) （1）k=_;m=_; （2）点 C 是线段 AB 上一点（不与 A,B 重合） ，过点 C 作 y 轴的平行线与该反比例函数的图像交于点 D，连接 OC， OD，AD，当四边形 OCAD 的面积等于 24 时，求点 C 的
24、坐标； （3）在（2）的前提下，将OCD 沿射线 BA 方向平移一定的距离后，得到OCD，若点 O 对应点 O恰好落在该 反比例函数图像上，如图 2，请直接写出此时点 D 的对应点 D的坐标； 【解析】 （1）k=,1 2，m=8； （2）点 C 是线段 AB 上一点, C 点坐标为（a, 1 2a-3）, 则 D（a, 8 a） CD=8 a 1 2a+3, 当四边形 OCAD 的面积等于 24 时， SOCAD= SOCD+ SACD= 1 2( 8 a 1 2a + 3) a + 1 2( 8 a 1 2a + 3) (8 a)=24， 整理得a2 6a 16 = 0， 解得 a=2 或
25、-8(舍去), C(2,-2) （3）由平移性质可得 OO/AB， 则直线 OO的解析式为 y=1 2x， 联立方程 y = 1 2x y = 8 x ， 解得 x=4 或-4（舍去） ， 则 O坐标为（4，2）, 则OCD 向右平移 4 个单位，再向上平移 2 个单位，得到OCD， 由（2）可知 D（2，4）, D(6,6) 23.如图， 直线 y=3x+b 经过点 A(-1,0),与 y 轴正半轴交于点 B， 与反比例函数y = k x(x0)交于点 C， 且 BC=2AB， BD/x 轴交反比例函数于点 D，连接 AD. （1）b=_,k=_； （2）求ABD 的面积； （3）若 E 为
26、射线 BC 上一点，设 E 的横坐标为 m，过点 E 作 EF/BD，交反比例函数的图像于点 F，且 EF=1 3BD.,求 m 的值。 【解析】 (1)将 A 点坐标代入 y=3x+b 中，可得 b=3， B(0,3),OB=3, 作 CGy 轴于点 G， 由 CG/OA 可得OA CG = OB BG = AB BC = 1 2， 可得 CG=2,BG=6, OG=9， C(2,9)， k=29=18； (2)由 BD/x 轴可得 D 点纵坐标为 3, 由 D 点横坐标为 183=6, D(6,3),BD=6, SABD= 1 2 6 3=9 (3)由 EF=1 3BD.,BD=6, 可得 EF=2， 设 E(m,3m+3)， 当 F 点在 E 点右侧时， 由 EF/BD 可得 F（m+2, 3m+3）, F 点在反比例函数图像上， (m+2)( 3m+3)=18, 解得 m=1 或 m=-4(舍去)； 当 F 点在 E 点左侧时， 由 EF/BD 可得 F（m-2, 3m+3）, F 点在反比例函数图像上， (m-2)( 3m+3)=18, 解得 m=1:33 2 或 m=1;33 2 (舍去)； 综上所述，m=1 或1:33 2
