1、 1 第 07 讲 不等式（组） 【考点导引】 1.了解不等式(组)有关的概念 2理解不等式的基本性质；会解简单的一元一次不等式(组)；并能在数轴上表示出其解集 3能列出一元一次不等式(组)解决实际问题. 【难点突破】 1. 解不等式要依据不等式的基本性质， 在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变； 在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负 数不等号的方向改变 （符号问题是易错点） 2.不等式组的解集是不等式组中所有不等式解集的公共部分，所以可以求出不等式组中各个不等式的解集， 然后取它们的公共部分即可找公共部分常用的方法
2、有两种： （1）数轴法 把不等式组中所有不等式的解集在同一条数轴上表示出来，直观地观察得到公共部分两个一元一次不等 式所组成的不等式组的解集有以下四种情形（设 ab，在数轴上表示如图： 不等式组 bx ax 的解集是 xa，在数轴上表示如图： 不等式组 bx ax 的解集是bxa，在数轴上表示如图： 不等式组 bx ax 无解 ，在数轴上表示如图： （2）口诀法 2 应用口诀“大大取较大，小小取较小；大小小大中间找，大大小小无解了”来确定 3. (1)本题综合考查了列一元一次不等式与列二元一次方程解决实际问题. 不管是列不等式还是列方程， 其解 题关键是在读懂题意的基础上，寻找不等关系或相等关
3、系，并能正确用含未知数的代数式表示不等关系或 相等关系中的有关量. (2)列方程(组)或不等式解应用题的一般步骤为： 审：是指审清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的数量关系. 找：找出题中表示关键意义的相等关系或不等关系，特别是隐含的数量关系； 设：根据题意，设恰当的未知数. 设未知数有“直接设元”与“间接设元”两种方法. 列：将相等关系或不等关系中的各个量用含未知数的代数式表示出来，再根据相等关系或不等关系列出 方程或不等式. 解：解方程或不等式，得出未知数的值或取值范围. 验：审查得出的方程的解或不等式的解集是否符合题意，舍去不合题意的解. 答：写出结论. (注意，如果是
4、间接设元，要先将未知数的值转化为题中所求的量，再作答). 【解题策略】 1.类比思想，解一元一次不等式的全部过程，与解一元一次方程相比，只是最后一个步骤上有所变化 2.数形结合思想，本讲中在数轴上表示不等式的解集是典型的数形结合思想的体现，它可以形象、直观地看 到不等式有无数多个解，尤其是根据不等式的解集确定字母的取值范围时，借助数形结合思想效果更明显 3.分类思想，分类讨论思想在不等式中的应用主要体现在求含有字母系数的不等式的解集将一个不等式两 边同时乘以(或除以)同一个不确定的数，则需要进行分类讨论 4.已知不等式(组)的解集确定不等式(组)中字母的取值范围有以下四种方法： (1)逆用不等
5、式(组)解集确定； (2) 分类讨论确定；(3)从反面求解确定；(4)借助数轴确定 【典例精析】 类型一：不等式的性质 【例 1】 （2019四川省广安市3 分）若 mn，下列不等式不一定成立的是（ ） Am+3n+3 B3m3n C Dm2n2 【答案】D 【解答】解：A、不等式的两边都加 3，不等号的方向不变，故 A 错误； B、不等式的两边都乘以3，不等号的方向改变，故 B 错误； C、不等式的两边都除以 3，不等号的方向不变，故 C 错误； 3 D、如 m2，n3，mn，m2n2；故 D 正确； 故选：D 类型二：不等式 (组)的解集的数轴表示 【例 2】 （2019湖北省仙桃市3 分
6、）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B CD 【答案】C 【解答】解：解不等式 x10 得 x1， 解不等式 52x1 得 x2， 则不等式组的解集为 1x2， 故选：C 类型三：不等式(组)的解法 【例 3】 （2019山东泰安4 分）不等式组的解集是（ ） Ax2 Bx2 C2x2 D2x2 【答案】D 【解答】解：， 由得，x2， 由得，x2， 所以不等式组的解集是2x2 故选：D 类型四：确定不等式(组)中字母的取值范围 【例 4】(2019云南4 分)若关于 x 的不等式组 0 2) 1(2 xa x 的解集为 xa，则 a 的取值范围是( ) Aa2 Ba2 Ca2 D
7、a2 【答案】D 【解答】解：分别解两个不等式得2x，ax ，根据同大取大的求解集的原则，2a，当2a时，也 满足不等式的解集为2x，2a，故选 D 4 类型五：不等式(组)的应用 【例 5】 （2019 湖南益阳 10 分）为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植 一季水稻的“虾稻”轮作模式某农户有农田 20 亩，去年开始实施“虾稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获 得的利润为 32 元（利润售价成本） 由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养 殖成本下降 25%，售价下降 10%，出售小龙虾每千克获得利润为 30 元 （1）求去年每千克小龙虾的养殖成本与
8、售价； （2）该农户今年每亩农田收获小龙虾 100 千克，若今年的水稻种植成本为 600 元/亩，稻谷售价为 25 元/千 克，该农户估计今年可获得“虾稻”轮作收入不少于 8 万元，则稻谷的亩产量至少会达到多少千克？ 【答案】 （1）去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为 8 元、40 元； （2）稻谷的亩产量至少会达到 640 千克 【解析】解： （1）设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为 x 元、y 元， 由题意得：， 解得：； 答：去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为 8 元、40 元； （2）设今年稻谷的亩产量为 z 千克， 由题意得：20 100 30+20 2.5z20600
9、80000， 解得：z640； 答：稻谷的亩产量至少会达到 640 千克 【真题检测】 1 .(2019 甘肃省陇南市)（3 分）不等式 2x+93（x+2）的解集是（ ） Ax3 Bx3 Cx3 Dx3 【答案】A 【解答】解：去括号，得 2x+93x+6， 移项，合并得x3 系数化为 1，得 x3； 故选：A 2. 2019湖南衡阳3 分）不等式组 23 +42 xx x 的整数解是（ ） 5 A0 B1 C2 D1 【答案】B 【解答】解： 23 +42 xx x 解不等式得：x0， 解不等式得：x2， 不等式组的解集为2x0， 不等式组 23 +42 xx x 的整数解是1， 故选：B
10、 3. （2019山东省德州市 4 分）不等式组的所有非负整数解的和是（ ） A10 B7 C6 D0 【答案】A 【解答】解：， 解不等式得：x2.5， 解不等式得：x4， 不等式组的解集为：2.5x4， 不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4， 不等式组的所有非负整数解的和是 0+1+2+3+410， 故选：A 4. （2019湖南怀化4 分）为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优 质种羊若干只在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户 1 只；若每户发放母羊 5 只，则多出 17 只母羊， 若每户发放母羊 7 只，则有一户可分得母羊但不足 3 只这批种羊
11、共（ ）只 A55 B72 C83 D89 【答案】C 【解答】解：设该村共有 x 户，则母羊共有（5x+17）只， 6 由题意知， 解得：x12， x 为整数， x11， 则这批种羊共有 11+5 11+1783（只） ， 故选：C 5. （2019江苏泰州3 分）不等式组 1 3 x x 的解集为 【答案】x3 【解答】解：等式组 1 3 x x 的解集为 x3， 故答案为：x3 6. （2019 湖南常德 3 分）不等式 3x+12（x+4）的解为 【答案】x7 【解答】解：3x+12（x+4） ， 3x+12x+8， x7 故答案为：x7 7. （2019甘肃3 分）不等式组的最小整数
12、解是 【答案】0 【解答】解：不等式组整理得：， 不等式组的解集为1x2， 则最小的整数解为 0， 故答案为：0 8. （2019贵州省铜仁市4 分）如果不等式组的解集是 xa4，则 a 的取值范围是 【答案】a3 7 【解答】解：解这个不等式组为 xa4， 则 3a+2a4， 解这个不等式得 a3 9. （2019湖北省鄂州市3 分）若关于 x、y 的二元一次方程组 343 55 xym xy 的解满足 x+y0，则 m 的 取值范围是 m2 【答案】m2 【解答】解： 343 55 xym xy ， +得 2x+2y4m+8， 则 x+y2m+4， 根据题意得 2m+40， 解得 m2 故
13、答案是：m2 10. (2019湖北宜昌6 分)解不等式组 1) 3 7 ( 3 2 1 xx x x ，并求此不等式组的整数解 【答案】不等式组的整数解为：1、2、3 【解答】解：， 解不等式，得：x， 解不等式，得：x4， 此不等式组的解集为：x4故此不等式组的整数解为：1、2、3 11.（2019四川省凉山州10 分）根据有理数乘法（除法）法则可知： 若 ab0（或0） ，则或； 若 ab0（或0） ，则或 8 根据上述知识，求不等式（x2） （x+3）0 的解集 解：原不等式可化为： （1）或（2） 由（1）得，x2， 由（2）得，x3， 原不等式的解集为：x3 或 x2 请你运用所学
14、知识，结合上述材料解答下列问题： （1）不等式 x22x30 的解集为 （2）求不等式0 的解集（要求写出解答过程） 【答案】 （1）1x3 （2）不等式0 的解集为 x1 或 x4 【解答】解： （1）原不等式可化为：或 由得，空集， 由得，1x3， 原不等式的解集为：1x3， 故答案为：1x3 （2）由0 知或， 解不等式组，得：x1； 解不等式组，得：x4； 所以不等式0 的解集为 x1 或 x4 12. （2019，四川巴中，8 分）在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户已知甲 物品的单价比乙物品的单价高 10 元，若用 500 元单独购买甲物品与 450 元单独
15、购买乙物品的数量相同 请问甲、乙两种物品的单价各为多少？ 如果该单位计划购买甲、乙两种物品共 55 件，总费用不少于 5000 元且不超过 5050 元，通过计算得出共 有几种选购方案？ 【答案】设甲种物品的单价为 100 元，乙种物品的单价为 90 元； 9 有 6 种选购方案 【解答】解：设乙种物品单价为 x 元，则甲种物品单价为（x+10）元，由题意得： 解得 x90 经检验，x90 符合题意 甲种物品的单价为 100 元，乙种物品的单价为 90 元 设购买甲种物品 y 件，则乙种物品购进（55y）件 由题意得：5000100y+90（55y）5050 解得 5y10 共有 6 种选购方
16、案 13. （2019山东省聊城市8 分）某商场的运动服装专柜，对 A，B 两种品牌的运动服分两次采购试销后， 效益可观，计划继续采购进行销售已知这两种服装过去两次的进货情况如下表： 第一次 第二次 A 品牌运动服装数/件 20 30 B 品牌运动服装数/件 30 40 累计采购款/元 10200 14400 （1）问 A，B 两种品牌运动服的进货单价各是多少元？ （2）由于 B 品牌运动服的销量明显好于 A 品牌，商家决定采购 B 品牌的件数比 A 品牌件数的倍多 5 件， 在采购总价不超过 21300 元的情况下，最多能购进多少件 B 品牌运动服？ 【答案】 （1）A，B 两种品牌运动服的进货单价各是 240 元和 180 元； （2）最多能购进 65 件 B 品牌运动服 【解答】解： （1）设 A，B 两种品牌运动服的进货单价各是 x 元和 y 元，根据题意可得： ， 解得：， 答：A，B 两种品牌运动服的进货单价各是 240 元和 180 元； （2）设购进 A 品牌运动服 m 件，购进 B 品牌运动服（m+5）件， 10 则 240m+180（m+5）21300， 解得：m40， 经检验，不等式的解符合题意， m+5 40+565， 答：最多能购进 65 件 B 品牌运动服
