1、6.4数列的递推关系与通项考情考向分析由数列的递推关系求通项是高考的热点，考查学生的转化能力和综合应用能力，一般以解答题形式出现，中档难度1递推数列(1)概念：数列的连续若干项满足的等量关系ankf(ank1，ank2，an)称为数列的递推关系由递推关系及k个初始值确定的数列叫递推数列(2)求递推数列通项公式的常用方法：构造法、累加(乘)法、归纳猜想法2数列递推关系的几种常见类型(1)形如anan1f(n)(nN*，且n2)方法：累加法，即当nN*，n2时，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1.(2)形如f(n)(nN*且n2)方法：累乘法，即当nN*，n2时，ana1.注意：n
2、1不一定满足上述形式，所以需要检验(3)形如anpan1q(nN*且n2)方法：化为anp的形式令bnan，即得bnpbn1，bn为等比数列，从而求得数列an的通项公式(4)形如anpan1f(n)(nN*且n2)方法：两边同除pn，得，令bn，得bnbn1，转化为利用累加法求bn，从而求得数列an的通项公式概念方法微思考用构造法求数列通项一般构造什么样的数列？这体现了何种数学思想方法？提示构造等差或等比数列，体现了转化与化归思想题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在数列an中，a11，anan1(n2)，则an.()(2)在数列an中，a12，an1an3n2
3、，则ann2.()(3)已知在数列an中，a11，前n项和Snan，则an.()(4)已知数列an的前n项和为Sn，且满足log2(Sn1)n1，则an2n.()题组二教材改编2P52公式推导过程在数列an中，已知a11，那么an_.答案3P41T13若数列an满足a11，annan1(n2，nN*)，则数列an的通项公式为_答案an4P68T14在数列an中，a11，an1，则an_.答案解析an1可化为n，当n2时，1，2，3，n1.累加得12(n1)，又a11也符合上式，an.题组三易错自纠5在斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13，中，an，an1，an2的关系是_答案an2anan
4、16已知数列an满足a11，an13an2，则an_.答案23n11解析因为an13an2，所以an113(an1)，所以3，所以数列an1为等比数列，公比q3，又a112，所以an123n1，所以an23n11.题型一累加法、累乘法求数列的通项公式1已知在数列中，a10，an1an2n1，求an.解由已知得anan12n3，当n2时，an(anan1) (an1an2)(a2a1)a1(2n3)(2n5)10(n1)2.当n1时，a10符合上式，所以an(n1)2，nN*.2数列满足a1，anan1(n2，nN*)，求数列的通项解由anan1(n2，nN*)且a1，anan1an1an2，a
5、2a11，各式累加整理得an，n取1时，1a1，所以an(nN*)3已知在数列中，a12，且nan1(n2)an，求an.解由已知得，当n2时，ana12n(n1)，当n1时，a12也符合上式，所以ann(n1)(nN*)思维升华(1)求形如an1anf(n)数列的通项公式，此类题型一般可以利用累加法求其通项公式，即an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1，累加求得通项公式；(2)求形如f(n)数列的通项，此类题型一般可以利用累乘法求其通项公式，即ana1，累乘求得其通项题型二构造等差数列求通项例1(1)已知在正项数列an中，Sn表示前n项和且2an1，则an_.答案2n1解析方法一
6、由已知2an1，得当n1时，a11；当n2时，anSnSn1，代入已知得2SnSn11，即Sn1(1)2.又an0，故1或1(舍)，即1(n2)，由定义得是以1为首项，1为公差的等差数列，n.故an2n1.方法二2an1，4Sn(an1)2，当n2时，4Sn1(an11)2，两式相减，得4an(an1)2(an11)2，化简可得(anan1)(anan12)0，an0，anan12，2a11，a11.数列an是以1为首项，2为公差的等差数列，an2n1.(2)已知在数列中，a12，an12an32n，则an_.答案2n，nN*解析在递推关系an12an32n的两边同除以2n1，得，令bn1，则
7、bn1bn，b11，所以bn是以1为首项，为公差的等差数列所以bn1(n1)n，故an2n，nN*.思维升华 (1)形如an1panqbn的递推关系可构造等差数列(2)对于含an，Sn混合型的递推关系，可通过an消去an或Sn.跟踪训练1(1)在数列an中，已知a11，an1，则an_.答案，nN*解析由已知可知an0，即，又1，是以1为首项，为公差的等差数列，(n1)，an，nN*.(2)已知在数列中，a1，且当n2时，有an1an4anan10，则an_.答案(nN*)解析由题意知an0，将等式an1an4anan10两边同除以anan1得4，n2，则数列为等差数列，且首项为5，公差d4，
8、故(n1)d54(n1)4n1，an(nN*)题型三构造等比数列求通项公式例2(1)已知数列an满足a12，an12an2，求数列an的通项公式解an12an2，an122(an2)，又a124，an2是以4为首项，2为公比的等比数列，an242n1，an2n12(nN*)(2)已知数列an中，a11，anan1n，记T2n为an的前2n项的和，bna2na2n1，nN*，求数列bn的通项公式解anan1n，an1an2n1，即an2an.bna2na2n1，a11，a1a2，a2，b1a1a2.bn是首项为，公比为的等比数列bnn1(nN*)思维升华形如anpan1q(pq0)型的递推关系，
9、可构造等比数列求通项公式跟踪训练2(1)已知数列满足anan12，a11，求数列的通项公式解设an(an1)，解得3，则an3(an13)，令bnan3，则数列是以b1a132为首项，为公比的等比数列，所以bn，所以an3(nN*)(2)(2018苏州、无锡、常州、镇江调研)已知n为正整数，数列an满足an0,4(n1)ana0，若a12，求an.解由已知可得4，an0，2，又a12，是以a12为首项，2为公比的等比数列，2n，an2n(nN*)1已知a13，an1an(n1，nN*)，则an_.答案解析当n2时，ana13.a13也符合上式，所以an.2已知在数列中，a1，an1an，则an
10、_.答案(nN*)解析由已知可得an1an，令n1,2，(n1)，代入得(n1)个等式累加，即(a2a1)(a3a2)(anan1)，ana1，ana1，即an1(nN*).3在数列an中，若a12，an1anln，则an_.答案2lnn(nN*)解析当n2时，anan1lnan1ln，an1an2ln，an2an3ln，a2a1ln2，累加可得ana1lna1lnn，an2lnn，nN*(经验证a12也符合此式)4已知各项均为正数的数列an的前n项和满足Sn1，且6Sn(an1)(an2)，nN*，则数列an的通项公式为_答案an3n1解析由a1S1(a11)(a12)，解得a11或a12.
11、由已知a1S11，得a12.又由an1Sn1Sn(an11)(an12)(an1)(an2)，得an1an30或an1an.因为an0，故an1an不成立，舍去因此an1an30，即an1an3，从而an是公差为3，首项为2的等差数列，故an的通项公式为an3n1.5已知在数列中，a1，an1ann1，则an_.答案(nN*)解析在an1ann1的两边同乘以2n1得2n1an1(2nan)1，令bn2nan.则b1，bn1bn1，于是可得bn13(bn3)，bn3n12n，bn32n，an3n2n(nN*)6(2018江苏省南通市启东中学月考)设数列an的前n项和为Sn，且满足Sn2an2，则
12、_.答案4解析Sn2an2，a12a12，解得a12，anSnSn1(2an2)(2an12)，n2，整理，得2，an是首项为2，公比为2的等比数列，4.7设数列满足a1a，an1can1c，cN*，其中a，c为实数，且c0，则数列的通项公式为_答案an(a1)cn11(nN*)解析an11c(an1)，当a1时，是首项为a1，公比为c的等比数列，an1(a1)cn1，即an(a1)cn11.当a1时，an1仍满足上式数列的通项公式为an(a1)cn11(nN*)8已知数列an的前n项和为Sn，且anSnn，则数列an的通项公式为_答案an1n(nN*)解析anSnn，an1Sn1n1.得an
13、1anan11，2an1an1，2(an11)an1，又a1a11，a11，.设cnan1，首项c1a11.数列cn是以为首项，为公比的等比数列故cnn1n，ancn11n(nN*)9已知数列满足n(nN*)，且a26，则数列an的通项公式为_答案ann(2n1)，nN*解析由n，得(n1)an1(n1)an(n1)，当n2时，有，所以，由累加法，得当n3时，ann(2n1)把n1，a26代入n，得a11，经验证a11，a26均满足ann(2n1)综上，ann(2n1)，nN*.10已知数列an满足a12，an1(nN*)，则该数列的前2 019项的乘积a1a2a3a2 019_.答案3解析由
14、题意可得a23，a3，a4，a52a1，数列an是以4为周期的数列，而201945043，a1a2a3a41，前2019项的乘积为1504a1a2a33.11已知在数列中，a11，a22，且an1(1q)anqan1(n2，q0)(1)设bnan1an(nN*)，证明是等比数列；(2)求数列的通项公式(1)证明由题设an1(1q)anqan1(n2)，得an1anq(anan1)，即bnqbn1(n2)又b1a2a11，q0，所以是首项为1，公比为q的等比数列(2)解由(1)，知a2a11，a3a2q，anan1qn2(n2)将以上各式相加，得ana11qqn2(n2)所以当n2时，an上式对
15、n1显然成立所以an(nN*)12已知在数列an中，a11，且满足递推关系an1(nN*)(1)当m1时，求数列an的通项公式；(2)当nN*时，数列an满足不等式an1an恒成立，求m的取值范围解(1)因为m1，由an1(nN*)，得an12an1，所以an112(an1)，又a1120，所以数列an1是以2为首项，2为公比的等比数列于是an122n1，所以an2n1(nN*)(2)因为an1an，而a11，知an1，所以an，即ma2an，由题意，得m(an1)21恒成立因为an1，所以m2213，即满足题意的m的取值范围是3，)13(2019盐城模拟)已知数列an满足：a13，an2an
16、13(1)n(n2)a1，ak2ak3成等差数列，k2，k3N*，k2k3，则k3k2_.答案1解析根据题意，数列an满足：a13，an2an13(1)n(n2)，则a22a132333，a32a232339，a42a3329315，其中a1，a3，a4为等差数列的前3项，又由akn是等差数列，且k11，则有k23，k34，则k3k21.14对于正项数列an，定义Hn为an的“惠兰”值现知数列an的“惠兰”值Hn，则数列an的通项公式为_答案an2(nN*)解析由题意得，即a12a23a3nann2，所以当n2时，a12a23a3(n1)an1(n1)2，得nann2(n1)22n1，所以an
17、2(n2)当n1时，a11，也满足此通项公式，所以an2(nN*)15设数列an的前n项和为Sn，已知4an2n3Sn，则an_.答案34n12n1(nN*)解析由已知得4an12n13Sn1，4(an1an)2n3an1，an14an2n，an12n4an2n14(an2n1)，又4a123S1，a12，an2n1是以3为首项，4为公比的等比数列an2n134n1，an34n12n1(nN*)16已知数列an，bn满足：对于任意正整数n，当n2时，abna2n1(nN*)(1)若bn(1)n，求aaaa的值；(2)若bn1，a11，且数列an的各项均为正数，求数列an的通项公式解(1)由题意知，aa3，aa5，aa11，aa13，aa19，aa21，所以aaaa72.(2)由题知aa2n1(n2)，所以aa3，aa5，aa7，aa2n1.将上面(n1)个式子相加，得aa，所以a1n2(n2)因为an的各项均为正数，所以ann(n2)因为a11也适合上式，所以ann(nN*)13
