1、第8讲 直线与椭圆、抛物线的位置关系 基础达标1过点(0，1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有()1条B2条C3条D4条解析：选C.结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x0，过点(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x0)2已知直线l：y2x3被椭圆C：1(ab0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有()y2x3; y2x1；y2x3; y2x3.A1条B2条C3条D4条解析：选C.直线y2x3与直线l关于原点对称，直线y2x3与直线l关于x轴对称，直线y2x3与直线l关于y轴对称，故有3条直线
2、被椭圆C截得的弦长一定为7.3过抛物线y22x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线()A有且只有一条B有且只有两条C有且只有三条D有且只有四条解析：选B.若直线AB的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意若直线AB的斜率存在，设直线AB的斜率为k，则直线AB为yk(x)，代入抛物线y22x得，k2x2(k22)xk20，因为A、B两点的横坐标之和为2.所以k.所以这样的直线有两条4经过椭圆y21的一个焦点作倾斜角为45的直线l，交椭圆于A，B两点设O为坐标原点，则等于()A3BC或3D解析：选B.依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为
3、y0tan 45(x1)，即yx1，代入椭圆方程y21并整理得3x24x0，解得x0或x，所以两个交点坐标分别为(0，1)，所以，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得.5(2019杭州严州中学模拟)过抛物线y28x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于点C，若|AF|6，则的值为()ABCD3解析：选D.设A(x1，y1)(y10)，B(x2，y2)，C(2，y3)，则x126，解得x14，y14，直线AB的方程为y2(x2)，令x2，y8即C(2，8)，联立方程解得B(1，2)，所以|BF|123，|BC|9，所以3.6已知圆M：(x1)2y2，椭圆C：y21，若直线l与椭圆
4、交于A，B两点，与圆M相切于点P，且P为AB的中点，则这样的直线l有()A2条B3条C4条D6条解析：选C.当直线AB斜率不存在时且与圆M相切时，P在x轴上，故满足条件的直线有2条；当直线AB斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，由y1，y1，两式相减，整理得：，则kAB，kMP，kMPkAB1，kMPkAB1，解得x0，由0)上异于坐标原点O的点，过点Q与抛物线C2：y2x2相切的两条直线分别交抛物线C1于点A，B.若点Q的坐标为(1，6)，求直线AB的方程及弦AB的长解：由Q(1，6)在抛物线y22px上，可得p18，所以抛物线C1的方程为y236x.设抛物线
5、C2的切线方程为y6k(x1)联立消去y，得2x2kxk60，k28k48.由于直线与抛物线C2相切，故0，解得k4或k12.由得A；由得B.所以直线AB的方程为12x2y90，弦AB的长为2.12(2019宁波市余姚中学高三期中)已知椭圆E经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e.(1)求椭圆E的方程；(2)求F1AF2的平分线所在直线l的方程；(3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由解：(1)设椭圆方程为1(ab0)，因为椭圆E经过点A(2，3)，离心率e，所以，所以a216，b212，所以椭圆E方程为1.(2)F1(
6、2，0)，F2(2，0)，因为A(2，3)，所以AF1方程为3x4y60，AF2方程为x2，设角平分线上任意一点为P(x，y)，则|x2|.得2xy10或x2y80，因为斜率为正，所以直线l的方程为2xy10.(3)假设存在B(x1，y1)，C(x2，y2)两点关于直线l对称，所以kBC，所以直线BC方程为yxm代入1得x2mxm2120，所以BC中点为，代入直线2xy10，得m4.所以BC中点为(2，3)与A重合，不成立，所以不存在满足题设条件的相异的两点能力提升1.(2019温州模拟)已知直线l：yx3与椭圆C：mx2ny21(nm0)有且只有一个公共点P(2，1)(1)求椭圆C的标准方程
7、；(2)若直线l：yxb交C于A，B两点，且PAPB，求b的值解：(1)联立直线l：yx3与椭圆C：mx2ny21(nm0)，可得(mn)x26nx9n10，由题意可得36n24(mn)(9n1)0，即为9mnmn，又P在椭圆上，可得4mn1，解方程可得m，n，即有椭圆C的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线ybx和椭圆方程，可得3x24bx2b260，判别式16b212(2b26)0，x1x2，x1x2，y1y22b(x1x2)，y1y2(bx1)(bx2)b2b(x1x2)x1x2，由PAPB，即为(x12)(x22)(y11)(y21)x1x22(x1x2)4y
8、1y2(y1y2)1250，解得b3或，代入判别式，知b成立故b为.2.(2019绍兴市高三教学质量调测)已知点A(2，0)，B(0，1)在椭圆C：1(ab0)上(1)求椭圆C的方程；(2)P是线段AB上的点，直线yxm(m0)交椭圆C于M，N两点若MNP是斜边长为的直角三角形，求直线MN的方程解：(1)因为点A(2，0)，B(0，1)在椭圆C：1上，所以a2，b1，故椭圆C的方程为y21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去y，得x2mxm210，则2m20，x1x22m，x1x22m22，|MN|x1x2|.当MN为斜边时， ，解得m0，满足0，此时以MN为直径的圆方程为x2y
9、2.点A(2，0)，B(0，1)分别在圆外和圆内， 即在线段AB上存在点P，此时直线MN的方程yx，满足题意当MN为直角边时，两平行直线AB与MN的距离d|m1|，所以d2|MN|2|m1|2(105m2)10，即21m28m40，解得m或m(舍)，又0，所以m.过点A作直线MN：yx的垂线，可得垂足坐标为，垂足在椭圆外，即在线段AB上存在点P，所以直线MN的方程yx，符合题意综上所述，直线MN的方程为yx或yx.3(2019丽水市高考数学模拟)如图，已知抛物线C：x24y，直线l1与C相交于A，B两点，线段AB与它的中垂线l2交于点G(a，1)(a0)(1)求证：直线l2过定点，并求出该定点
10、坐标；(2)设l2分别交x轴，y轴于点M，N，是否存在实数a，使得A，M，B，N四点在同一个圆上，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，两式相减可得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)，可得kABa，由两直线垂直的条件可得直线l2的斜率为；即有直线l2：y(xa)1，可得l2：yx3过定点(0，3)(2)l2：yx3过M，N(0，3)，假设存在实数a，使得A，M，B，N四点在同一个圆上，由中垂线的性质可得MANMBN，可得MAN90，即有|AG|2|MG|NG|，由，可得x22ax2a240，x1x22a，x1x22a24，由弦长公式可得|AB| ，即有|MG|NG|(4a2)，所以(4a2)(a24)，所以a22，解得a.故存在这样的实数a，且为.10
