1、第2讲 两直线的位置关系 基础达标1(2019富阳市场口中学高三质检)已知直线l1：xay10与直线l2：yx2垂直，则a的值是()A2B2CD解析：选C.因为直线l2的斜率为，直线l1：xay10与直线l2：yx2垂直，所以直线l1的斜率等于2，即2，所以a，故选C.2(2019金华十校联考)“C5”是“点(2，1)到直线3x4yC0的距离为3”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析：选B.点(2，1)到直线3x4yC0的距离为3等价于3，解得C5或C25，所以“C5”是“点(2，1)到直线3x4yC0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.3(2019义乌
2、模拟)直线x2y10关于直线x1对称的直线方程是()Ax2y10B2xy10C2xy30Dx2y30解析：选D.由题意得直线x2y10与直线x1的交点坐标为(1，1)又直线x2y10上的点(1，0)关于直线x1的对称点为(3，0)，所以由直线方程的两点式，得，即x2y30.4已知点A(1，2)，B(3，4)，P是x轴上一点，且|PA|PB|，则PAB的面积为()A15BC6D解析：选D.设AB的中点坐标为M(1，3)，kAB，所以AB的中垂线方程为y32(x1)即2xy50.令y0，则x，即P点的坐标为(，0)，|AB|2.P到AB的距离为|PM|.所以SPAB|AB|PM|2.5已知点P(x
3、0，y0)是直线l：AxByC0外一点，则方程AxByC(Ax0By0C)0表示()A过点P且与l垂直的直线B过点P且与l平行的直线C不过点P且与l垂直的直线D不过点P且与l平行的直线解析：选D.因为点P(x0，y0)不在直线AxByC0上，所以Ax0By0C0，所以直线AxByC(Ax0By0C)0不经过点P，排除A、B；又直线AxByC(Ax0By0C)0与直线l：AxByC0平行，排除C，故选D.6两条平行线l1，l2分别过点P(1，2)，Q(2，3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是()A(5，)B(0，5C(，)D(0， 解析：选D.当PQ与平行
4、线l1，l2垂直时，|PQ|为平行线l1，l2间的距离的最大值，为，所以l1，l2之间距离的取值范围是(0， 故选D.7已知坐标平面内两点A(x，x)和B，那么这两点之间距离的最小值是_解析：由题意可得两点间的距离d，即最小值为.答案：8直线x2y30与直线ax4yb0关于点A(1，0)对称，则b_解析：在直线x2y30上取两点P1(1，1)、P2(3，0)，则P1、P2关于点A的对称点P1、P2都在直线ax4yb0上因为易知P1(1，1)、P2(1，0)，所以所以b2.答案：29(2019瑞安四校联考)若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合
5、，则mn_解析：由题可知纸的折痕垂直平分点(0，2)与点(4，0)的连线，可得折痕所在直线为y2x3，又折痕也垂直平分点(7，3)与点(m，n)的连线，于是解得所以mn.答案：10(2019浙江新高考冲刺卷)已知mR，若点M(x，y)为直线l1：myx和l2：mxym3的交点，l1和l2分别过定点A和B，则|MA|MB|的最大值为_解析：动直线l1：myx过定点A(0，0)，动直线l2：mxym3化为m(x1)(y3)0，得x1，y3.过定点B(1，3)因为此两条直线互相垂直，所以|MA|2|BM|2|AB|210，所以102|MA|MB|，所以|MA|BM|5，当且仅当|MA|MB|时取等号
6、答案：511已知直线l1：xa2y10和直线l2：(a21)xby30(a，bR)(1)若l1l2，求b的取值范围；(2)若l1l2，求|ab|的最小值解：(1)因为l1l2，所以b(a21)a20，即ba2(a21)a4a2，因为a20，所以b0.又因为a213，所以b6.故b的取值范围是(，6)(6，0(2)因为l1l2，所以(a21)a2b0，显然a0，所以aba，|ab|2，当且仅当a1时等号成立，因此|ab|的最小值为2.12已知直线l经过直线2xy50与x2y0的交点P.(1)点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；(2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值解：(1)因
7、为经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y50，所以3，解得或2.所以直线l的方程为x2或4x3y50.(2)由解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离，则d|PA|(当lPA时等号成立)所以dmax|PA|.能力提升1(2019温州八校联考)已知M，N(x，y)|ax2ya0，且MN，则a()A6或2B6C2或6D2解析：选A.集合M表示去掉一点A(2，3)的直线3xy30，集合N表示恒过定点B(1，0)的直线ax2ya0，因为MN，所以两直线要么平行，要么直线ax2ya0与直线3xy30相交于点A(2，3)因此3或2a6a
8、0，即a6或a2.2设两条直线的方程分别为xya0，xyb0，已知a，b是方程x2xc0的两个实根，且0c，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是()A，B，C，D，解析：选A.由题意知a，b是方程x2xc0的两个实根，所以abc，ab1.又直线xya0，xyb0的距离d，所以d22c，而0c，所以22c20，得2c，所以d.3(2019浙江省名校协作体高三联考)在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，又与直线l重合若直线l与直线l1关于点(2，3)对称，则直线l的
9、方程是_解析：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxb，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1：yk(x3)5b，再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，则平移后的直线方程为yk(x31)b52，即ykx34kb.所以b34kb，解得k.所以直线l的方程为yxb，直线l1为yxb，设直线l上的一点P，则点P关于点(2，3)的对称点为，所以6bm(4m)b，解得b.所以直线l的方程是yx，即6x8y10.答案：6x8y104(2019宁波效实中学高三月考)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休”事实上，有很多代
10、数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离结合上述观点，可得f(x)的最小值为_解析：因为f(x)，所以f(x)的几何意义为点M(x，0)到两定点A(2，4)与B(1，3)的距离之和，设点A(2，4)关于x轴的对称点为A，则A为(2，4)要求f(x)的最小值，可转化为|MA|MB|的最小值，利用对称思想可知|MA|MB|AB|5，即f(x)的最小值为5.答案：55设直线l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中实数k1，k2满足k1k220.(1)证明：l1与l2相交；(2)证明：l1与l2的交点在椭圆2x2y21上证明：(1)反证法假设l1与l2
11、不相交，则l1与l2平行，有k1k2，代入k1k220，得k20.此与k1为实数的事实相矛盾，从而k1k2，即l1与l2相交(2)由方程组解得交点P的坐标(x，y)为而2x2y221.即P(x，y)在椭圆2x2y21上6在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.(1)求动点P的轨迹方程；(2)设直线AP和BP分别与直线x3交于点M，N，问：是否存在点P，使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由解：(1)因为点B与A(1，1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，1)设点P的坐标为(x，y)由题意，得，
12、化简，得x23y24(x1)故动点P的轨迹方程为x23y24(x1)(2)法一：设点P的坐标为(x0，y0)，点M，N的坐标分别为(3，yM)，(3，yN)则直线AP的方程为y1(x1)，直线BP的方程为y1(x1)令x3，得yM，yN.于是PMN的面积SPMN|yMyN|(3x0).又直线AB的方程为xy0，|AB|2，点P到直线AB的距离d.于是PAB的面积SPAB|AB|d|x0y0|.当SPABSPMN时，得|x0y0|.又|x0y0|0.所以(3x0)2|x1|，解得x0.因为x3y4，所以y0.故存在点P，使得PAB与PMN的面积相等，此时点P的坐标为.法二：若存在点P使得PAB与PMN的面积相等，设点P的坐标为(x0，y0)，则|PA|PB|sinAPB|PM|PN|sinMPN.因为sinAPBsinMPN，所以，所以，即(3x0)2|x1|，解得x0.因为x3y4，所以y0.故存在点P，使得PAB与PMN的面积相等，此时点P的坐标为.8
