1、第5讲 直线、平面垂直的判定与性质 基础题组练1.如图，在RtABC中，ABC90，P为ABC所在平面外一点，PA平面ABC，则四面体PABC中共有直角三角形的个数为()A4B3C2D1解析：选A.由PA平面ABC可得PAC，PAB是直角三角形，且PABC.又ABC90，所以ABC是直角三角形，且BC平面PAB，所以BCPB，即PBC为直角三角形，故四面体PABC中共有4个直角三角形2下列命题中不正确的是()A如果平面平面，且直线l平面，则直线l平面B如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面C如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D如果平面平面，平面平面，l，那么l解析
2、：选A.根据面面垂直的性质，知A不正确，直线l可能平行于平面，也可能在平面内或与平面相交3在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，点D在棱BB1上，且BD1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为()A.B.C.D.解析：选B.如图，取AC，A1C1的中点分别为M，M1，连接MM1，BM，过点D作DNBM交MM1于点N，则易证DN平面AA1C1C，连接AN，则DAN为AD与平面AA1C1C所成的角在直角三角形DNA中，sin DAN.4.如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面PAED平面P
3、DE平面ABC解析：选D.因为BCDF，DF平面PDF，BC平面PDF，所以BC平面PDF，故选项A正确在正四面体中，AEBC，PEBC，DFBC，所以BC平面PAE，则DF平面PAE，从而平面PDF平面PAE.因此选项B，C均正确5若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的余弦值为_解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意rl3r2，即l3r，母线与底面夹角为，则cos .答案：6.如图，已知BAC90，PC平面ABC，则在ABC，PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有_；与AP垂直的直线有_解析：因为PC平面ABC，所以PC垂直于直线AB，BC，AC.因为ABAC，ABP
4、C，ACPCC，所以AB平面PAC，又因为AP平面PAC，所以ABAP，与AP垂直的直线是AB.答案：AB，BC，ACAB7如图，在四棱锥EABCD中，平面EAB平面ABCD，四边形ABCD为矩形，EAEB，点M，N分别是AE，CD的中点求证：(1)直线MN平面EBC；(2)直线EA平面EBC.证明：(1)取BE的中点F，连接CF，MF.因为M是AE的中点，所以MF綊AB.因为N是矩形ABCD中边CD的中点，所以NC綊AB，所以MF綊NC，所以四边形MNCF是平行四边形，所以MNCF.又MN平面EBC，CF平面EBC，所以MN平面EBC.(2)因为平面EAB平面ABCD，平面EAB平面ABCD
5、AB，BC平面ABCD，又因为在矩形ABCD中，BCAB，所以BC平面EAB.又因为EA平面EAB，所以BCEA.因为EAEB，BCEBB，EB平面EBC，BC平面EBC，所以EA平面EBC.8.如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，PAAD2，点M，N分别在棱PD，PC上，且PC平面AMN.(1)求证：AMPD；(2)求直线CD与平面AMN所成角的正弦值解：(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以CDAD.又因为PA底面ABCD，所以PACD，故CD平面PAD.又AM平面PAD，则CDAM，而PC平面AMN，有PCAM，又PCCDC，则AM平面PCD，故AMPD.(2)
6、延长NM，CD交于点E，因为PC平面AMN，所以NE为CE在平面AMN内的射影，故CEN为CD(即CE)与平面AMN所成的角，又因为CDPD，ENPN，则有CENMPN，在RtPMN中，sin MPN，故CD与平面AMN所成角的正弦值为.综合题组练1(应用型)正方形ABCD与等边三角形BCE有公共边BC，若ABE120，则CE与平面ABCD所成角的大小为()A.B.C.D.解析：选C.作EG底面ABCD于点G，作GHDC于点H，设所求的角为，连接EH，CG，则ECG，则CDEH.又得ECD120，设AB2a，则EHa，GHa，所以EGa，sin ，所以.故选C.2(2018高考全国卷)已知圆锥
7、的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30.若SAB的面积为8，则该圆锥的体积为_解析：由题意画出图形，如图，设AC是底面圆O的直径，连接SO，则SO是圆锥的高设圆锥的母线长为l，则由SASB，SAB的面积为8，得l28，得l4.在RtASO 中，由题意知SAO30，所以SOl2，AOl2.故该圆锥的体积VAO2SO(2)228.答案：83(2019广州市调研测试)如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA底面ABCD，EDPA，且PA2ED2.(1)证明：平面PAC平面PCE；(2)若ABC60，求三棱锥PACE的体积解：(1)如图，连接BD，交AC
8、于点O，设PC的中点为F，连接OF，EF.易知O为AC的中点，所以OFPA，且OFPA，因为DEPA，且DEPA，所以OFDE，且OFDE，所以四边形OFED为平行四边形，所以ODEF，即BDEF.因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.因为四边形ABCD是菱形，所以BDAC.因为PAACA，所以BD平面PAC.因为BDEF，所以EF平面PAC.因为EF平面PCE，所以平面PAC平面PCE.(2)法一：因为ABC60，所以ABC是等边三角形，所以AC2.又PA平面ABCD，AC平面ABCD，所以PAAC.所以SPACPAAC2.因为EF平面PAC，所以EF是三棱锥EPAC的高易知
9、EFDOBO，所以三棱锥PACE的体积VPACEVEPACSPACEF2.法二：因为底面ABCD为菱形，且ABC60，所以ACD为等边三角形取AD的中点M，连接CM，则CMAD，且CM.因为PA平面ABCD，所以PACM，又PAADA，所以CM平面PADE，所以CM是三棱锥CPAE的高易知SPAE2，所以三棱锥PACE的体积VPACEVCPAESPAECM2.4(综合型)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，M为棱AC的中点ABBC，AC2，AA1.(1)求证：B1C平面A1BM；(2)求证：AC1平面A1BM.证明：(1)连接AB1与A1B，两线交于点O，连接OM.在B1AC中，因为M，O分别为AC，AB1的中点，所以OMB1C，又因为OM平面A1BM，B1C平面A1BM，所以B1C平面A1BM.(2)因为侧棱AA1底面ABC，BM平面ABC，所以AA1BM，又因为M为棱AC的中点，ABBC，所以BMAC.因为AA1ACA，AA1，AC平面ACC1A1，所以BM平面ACC1A1，所以BMAC1.因为AC2，所以AM1.又因为AA1，所以在RtACC1和RtA1AM中，tan AC1Ctan A1MA，所以AC1CA1MA，即AC1CC1ACA1MAC1AC90，所以A1MAC1.因为BMA1MM，BM，A1M平面A1BM，所以AC1平面A1BM.- 6 -
