1、8.6 立体几何中的向量方法(一) 证明平行与垂直,第八章 立体几何与空间向量,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,1.理解直线的方向向量与平面的法向量. 2.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系. 3.能用向量方法证明有关线面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.两个重要向量,知识梳理,ZHISHISHULI,无数,无数,2.空间位置关系的向量表示,1.直线的方向向量如何确定？,【概念方法微思考】,2.如何确定平面的法向量？,题组一 思考辨析,
2、1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的.( ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.( ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.( ) (5)若ab，则a所在直线与b所在直线平行.( ) (6)若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面平行.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编,2.设u，v分别是平面，的法向量，u(2，2，5)，当v(3，2，2)时，与的位置关系为_；当v(4，4，10)时，与的位置关系为_.,1,2,3,4,5,解析 当v(3
3、，2，2)时， uv(2，2，5)(3，2，2)0. 当v(4，4，10)时，v2u.,6,1,2,3,4,5,3.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是_.,垂直,6,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,ON与AM垂直.,6,4.直线l的方向向量a(1，3，5)，平面的法向量n(1，3，5)，则有A.l B.l C.l与斜交 D.l或l,1,2,3,4,5,题组三 易错自纠,解析 由an知，na，则有l，故选B.,6,1,2,3,4,5,5.已知平面，的法向量分别为n1(2，3，5
4、)，n2(3，1，4)，则 A. B. C.，相交但不垂直 D.以上均不对,6,解析 n1n2，且n1n22(3)315(4)230， ，既不平行，也不垂直.,1,2,3,4,5,6.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是 A.(1，1，1) B.(1，1，1),6,xyz.故选C.,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 利用空间向量证明平行问题,师生共研,例1 如图所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证：PB平面EFG.,证明 平面PAD
5、平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD， AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0).,即(2，0，2)s(0，1，0)t(1，1，1)，,PB平面EFG，PB平面EFG.,若本例中条件不变，证明平面EFG平面PBC.,又EF平面PBC，BC平面PBC，EF平面PBC， 同理可证GFPC，从而得出GF平面PBC. 又EFGFF，EF，GF平
6、面EFG， 平面EFG平面PBC.,利用空间向量证明平行的方法,跟踪训练1 如图，在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，BAC90.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PAAC4，AB2. 求证：MN平面BDE.,由题意，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)，N(1，2，0).,设n(x，y，z)为平面BDE的一个法向量，,因为MN平面BDE，所以MN平面BDE.,题型二 共线定理、共面定理的应用,例2 如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的所有棱
7、长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1平面A1BD.,多维探究,命题点1 证明线面垂直,证明 方法一 设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面 向量定理，则存在实数，使m,显然它们不共面，并且|a|b|c|2，abac0，bc2，以它们为空间的一个基底，,方法二 取BC的中点O，连接AO.,因为ABC为正三角形， 所以AOBC. 因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1， 且平面ABC平面BCC1B1BC，AO平面ABC， 所以AO平面BCC1B1.,取B1C1的中点O1，以O为原点，分别以OB，OO1，OA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如
8、图所示，,故AB1平面A1BD.,命题点2 证明面面垂直,例3 如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB. 求证：平面BCE平面CDE.,证明 设ADDE2AB2a， 以A为原点，分别以AC，AB所在直线为x轴，z轴，以过点A垂直于AC的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，,设平面CDE的法向量为n2(x2，y2，z2)，,设平面BCE的法向量为n1(x1，y1，z1)，,所以n1n2， 所以平面BCE平面CDE.,利用空间向量证明垂直的方法,跟踪训练2 如图所示，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，
9、侧面PBC底面ABCD.证明：,(1)PABD；,证明 取BC的中点O，连接PO， 平面PBC底面ABCD，PBC为等边三角形， 平面PBC底面ABCDBC，PO平面PBC， PO底面ABCD. 以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.,PABD.,(2)平面PAD平面PAB.,又PAPBP，PA，PB平面PAB， DM平面PAB. DM平面PAD，平面PAD平面PAB.,题型三 利用空间向量解决探索性问题,师生共研,例4 (2018林州模拟)如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方
10、形，PDDC，E，F分别是AB，PB的中点.,(1)求证：EFCD；,证明 如图，以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，,(2)在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论.,对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”.,跟踪训练3 如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PACD，PA1，PD ，E为PD上一点，PE2ED.,(1)求证：PA平面ABCD；,P
11、A2AD2PD2，即PAAD. 又PACD，ADCDD，AD，CD平面ABCD， PA平面ABCD.,(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.,解 以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，,设平面AEC的法向量为n(x，y，z)，,令y1，则n(1，1，2).,存在点F，使得BF平面AEC，且F为PC的中点.,3,课时作业,PART THREE,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,基础保分练,1.若直线l的方向向量为a(1，0，2)，平面
12、的法向量为n(2，1，1)，则 A.l B.l C.l或l D.l与斜交,解析 a(1，0，2)，n(2，1，1)， an0，即an， l或l.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.若a(2，3，m)，b(2n，6，8)，且a，b为共线向量，则mn的值为 A.7 B. C.6 D.8,解得m4，n2，则mn6.故选C.,3.已知平面内有一点M(1，1，2)，平面的一个法向量为n(6，3，6)，则下列点P中，在平面内的是 A.P(2，3，3) B.P(2，0，1) C.P(4，4，0) D.P(3，3，4),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,
13、11,12,13,14,15,16,点P在平面内，同理可验证其他三个点不在平面内.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.如图，F是正方体ABCDA1B1C1D1的棱CD的中点，E是BB1上一点，若D1FDE，则有,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，,设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，F(0，1，0)，D1(0，0，2)，设E(2，2，z)，,z1，B1EEB.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1
14、1,12,13,14,15,16,5.设u(2，2，t)，v(6，4，4)分别是平面，的法向量.若，则t等于 A.3 B.4 C.5 D.6,解析 ， uv262(4)4t0， t5.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.(2018广州质检)已知平面内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面的一个法向量n(1，1，1)，则不重合的两个平面与的位置关系是_.,解析 设平面的法向量为m(x，y，z)，,m(1，1，1)，mn， mn， .,1,2,3,
15、4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,ABAP，ADAP，则正确； 又ABADA，AP平面ABCD，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E平面ABF，则CE与DF的和为_.,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，
16、设CEx，DFy， 则易知E(x，1，1)，B1(1，1，0)，F(0，0，1y)，B(1，1，1)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,证明 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长度，DA，DP，DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.,由题意得Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又DQDCD，DQ，DC平面DCQ， PQ平面DCQ，又PQ平面PQ
17、C， 平面PQC平面DCQ.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点D是AB的中点.,(1)证明：ACBC1；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,证明 因为直三棱柱ABCA1B1C1的底面边长分别为AC3，BC4，AB5，所以ABC为直角三角形，ACBC. 所以AC，BC，C1C两两垂直.,则C(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，4，0)，C1(0，0，4)， A1(3，0，4)，B1(0，4，4)，D.,如图，以C为坐标原点
18、，直线CA，CB，CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)证明：AC1平面CDB1.,因为DE平面CDB1，AC1平面CDB1， 所以AC1平面CDB1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C和侧面AA1B1B都是正方形且互相垂直，M为AA1的中点，N为BC1的中点.求证：,(1)MN平面A1B1C1；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,证明 由题意，知AA1，AB
19、，AC两两垂直， 以A为坐标原点，分别以AA1，AB，AC所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.,设正方形AA1C1C的边长为2， 则A(0，0，0)，A1(2，0，0)，B(0，2，0)，B1(2，2，0)，C(0，0，2)， C1(2，0，2)，M(1，0，0)，N(1，1，1). 由题意知AA1A1B1，AA1A1C1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又A1B1A1C1A1，A1B1，A1C1平面A1B1C1， 所以AA1平面A1B1C1.,又MN平面A1B1C1， 故MN平面A1B1C1.,1,2,3,4,5,6,7,
20、8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)平面MBC1平面BB1C1C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,证明 设平面MBC1与平面BB1C1C的法向量分别为n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2),令x12，则平面MBC1的一个法向量为n1(2，1，1) 同理可得平面BB1C1C的一个法向量为n2(0，1，1) 因为n1n22011(1)10， 所以n1n2，所以平面MBC1平面BB1C1C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
21、,11,12,13,14,15,16,解析 设AC与BD相交于O点，连接OE，,AM平面BDE，且AM平面ACEF， 平面ACEF平面BDEOE， AMEO， 又O是正方形ABCD对角线的交点， M为线段EF的中点.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.相交 B.平行 C.垂直 D.MN在平面BB1C1C内,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 以点C1为坐标原点，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,
22、12,13,14,15,16,又C1D1平面BB1C1C，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以MN平面BB1C1C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,拓展冲刺练,15.如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周).若AMMP，则点P形成的轨迹 长度为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 以O点为坐标原点，OB，OS所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，,设P(x，y，0
23、)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD中点.,(1)求证：B1EAD1；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,设ABa.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以B1EAD1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 存在满足要求的点P， 假设在棱AA1上存在一点P(0，0，z0)，,再设平面B1AE的一个法向量为n(x，y，z).,因为n平面B1AE，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以棱AA1上存在点P，满足DP平面B1AE，,
